【KS5U解析】安徽省六安市第一中学2020届高三下学期3月月考数学（理）试题 Word版含解析

1、六安一中2020届高三年级停课不停学测试理科数学试卷(一)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.设集合ay|y2x1，xr，bx|2x3，xz，则ab（ ）a. （1，3b. 1，3c. 0，1，2，3d. 1，0，1，2，3【答案】c【解析】【分析】先求集合a，再用列举法表示出集合b，再根据交集的定义求解即可【详解】解：集合ay|y2x1，xry|y1，bx|2x3，xz2，1，0，1，2，3，ab0，1，2，3，故选：c【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题2.设（1+i）（a+bi）2，其中a，b是实数，i为虚数

2、单位，则|3a+bi|（ ）a. 2b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】利用复数除法运算化简已知条件，根据复数相等的知识求得，由此求得，进而求得.【详解】由题意可知：，a1，b1，3a+bi3i，|3a+bi|3i|，故选：d.【点睛】本小题主要考查复数除法、复数相等、复数模的求法等知识，属于基础题.3.已知a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，且a，b，a，b，则“ab“是“”的（ ）a. 充分不必要条件b. 必要不充分条件c. 充要条件d. 既不充分也不必要条件【答案】d【解析】【分析】根据面面平行的判定及性质求解即可【详解】解：a，b，a，b，由ab，不一定有，与可能相交；反

3、之，由，可得ab或a与b异面，a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，且a，b，a，b，则“ab“是“”的既不充分也不必要条件故选：d.【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，考查面面平行的判定与性质，属于基础题4.若则的值为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根据诱导公式得，再根据二倍角的余弦公式求解即可【详解】解：，故选：a【点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式，属于基础题5.马林梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p1作了大量的计算、验证工作，人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，

4、将形如2p1（其中p是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（ ）a. 3b. 4c. 5d. 6【答案】c【解析】【分析】模拟程序的运行即可求出答案【详解】解：模拟程序的运行，可得：p1，s1，输出s的值为1，满足条件p7，执行循环体，p3，s7，输出s的值为7，满足条件p7，执行循环体，p5，s31，输出s的值为31，满足条件p7，执行循环体，p7，s127，输出s的值为127，满足条件p7，执行循环体，p9，s511，输出s的值为511，此时，不满足条件p7，退出循环，结束，故若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是5，故选：c【点睛】本

5、题主要考查程序框图，属于基础题6.若实数x，y满足约束条件，则zx+y的最小值为（ ）a. 8b. 6c. 1d. 3【答案】b【解析】【分析】画出可行域，结合图像判断出经过时取得最小值.【详解】由题意作平面区域如下，由解得，a（4，2），zx+y经过可行域的a时，目标函数取得最小值.故zx+y的最小值是6，故选：b.【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数最值，属于基础题.7.已知函数f（x）ebxexb+c（b，c均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f（5）+f（1）（ ）a. 2b. 1c. 2d. 4【答案】c【解析】【分析】根据对称性即可求出答案【详解】解：点（5，f（5）与点（

6、1，f（1）满足（51）÷22，故它们关于点（2，1）对称，所以f（5）+f（1）2，故选：c【点睛】本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题8.易·系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（ ） a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】先根据组合数计算出所有的情况数，再根据“3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列”列举得到满足条件的情况，由此可求解

7、出对应的概率.【详解】所有的情况数有：种，3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的情况有：，共种，所以目标事件的概率.故选：c.【点睛】本题考查概率与等差数列的综合，涉及到背景文化知识，难度一般.求解该类问题可通过古典概型的概率求解方法进行分析；当情况数较多时，可考虑用排列数、组合数去计算.9.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】由该几何体的三视图还原成直观图，然后算出其表面积即可【详解】满足三视图的几何体为四棱锥，如图所示：则，所以表面积为，故选：c【点睛】不太特殊的几何体，由三视图还原成直

8、观图常常借助于长方体.10.已知双曲线e的左、右焦点分别为f1，f2，p是双曲线e上的一点，且|pf2|2|pf1|，若直线pf2与双曲线e的渐近线交于点m，且m为pf2的中点，则双曲线e的渐近线方程为（ ）a. y±b. y±c. y±2xd. y±3x【答案】c【解析】【分析】画出图象，根据双曲线的定义及性质可得f1p2a，mf22a，oma，cosmof2，再根据余弦定理得齐次式，从而可求出渐近线方程【详解】解：画出图象如图：可得f1p2a，mf22a，oma，cosmof2，所以4a2a2+c22accosmof1，解得，5a2c2，即4a2b2

9、，所以2，所以双曲线的渐近线方程为：y±2x，故选：c【点睛】本题主要考查双曲线的定义及其性质，属于中档题11.已知定义在上的偶函数的部分图象如图所示，设为的极大值点，则（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】利用偶函数的性质可以出的奇偶性，然后根据正弦型函数的性质,可以求出函数的解析式，然后对函数进行求导，结合函数奇偶性、辅助角公式进行求解即可.【详解】因为为偶函数，为偶函数，所以为偶函数，又，所以，由图象及可知，所以，因为和为偶函数，所以只需考虑的情况，当时，其中当时，有极大值，此时 故选：b【点睛】本题考查了偶函数的性质，考查了正弦型函数的性质，考查了利用导数研

10、究函数的极值，考查了数学运算能力.12.已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）a b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】原不等式化为，函数与函数互为反函数，其图象关于直线对称，要使得恒成立，只需恒成立，即恒成立，利用导数求出的最小值即可得结果.【详解】函数的定义域为，由，得，函数与函数互为反函数，其图象关于直线对称，所以要使得恒成立，只需恒成立，即恒成立，设，则，在上递减，在递增，可知当时，取得最小值，所以，又因为，所以的取值范围是，故选b【点睛】本题主要考查反函数的性质、不等式恒成立问题以及利用导数求函数的最值，属于难题. 不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立(

11、即可)或恒成立（即可）； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值或恒成立； 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卷相应位置上.13.已知向量，且向量与的夹角为_.【答案】0【解析】【分析】根据向量数量积的定义求解即可【详解】解：向量，且向量与的夹角为，|；所以：（）2cos220，故答案为：0【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的定义，属于基础题14.已知展开式中含项的系数为，则正实数_.【答案】 【解析】 展开式的通项公式 的系数为 .15.设抛物线y22x的焦点为f，准线为，弦ab过点f且中点为

12、m，过点f，m分别作ab的垂线交l于点p，q，若|af|3|bf|，则|fp|mq|_.【答案】【解析】【分析】利用抛物线定义以及结合平面几何知识，求得和的长，由此求得.【详解】如图，作bfl于f，作ael于e，令准线与x轴交点为s，ab交准线于k.设bhm，则af3m，bk2m则sinhkb，hkb30°.，|fk|2.|qm|mk|tan30°4m×tan30°.则|fp|mq|.故答案为：.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.16.如图，在平面四边形中，是等边三角形，且，则面积的最大值为_.【答案】【解析】【

13、分析】设，由余弦定理可得，,由正弦定理可得，由，对其进行化简由三角函数性质，可得其最大值.【详解】解：设，则由余弦定理，可得，.又由正弦定理，可得，即，所以.又因为，故当时，面积最大，最大值为，故答案为：.【点睛】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及三角形的面积公式，考查学生的运算求解能力，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内.17.已知数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，；当时，.（2），用错位相减法求出即可【详解】（1）由

14、，得当时，；当时，.经检验当时，也成立，所以.（2）由（1）知，故.所以.，由，得，所以.【点睛】常见数列的求和方法：公式法（等差等比数列）、分组求和法、裂项相消法、错位相减法.18.公元2020年春，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命.为了尽快遏制住病毒的传播，我国科研人员，在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中，利用小白鼠进行科学试验.为了研究小白鼠连续接种疫苗后出现症状的情况，决定对小白鼠进行做接种试验.该试验的设计为：对参加试验的每只小白鼠每天接种一次；连续接种三天为一个接种周期；试验共进行3个周期.已知每只小白鼠接种后

15、当天出现症状的概率均为，假设每次接种后当天是否出现症状与上次接种无关.（1）若某只小白鼠出现症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率；（2）若某只小白鼠在一个接种周期内出现2次或3次症状，则在这个接种周期结束后，对其终止试验.设一只小白鼠参加的接种周期为，求的分布列及数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出实验至多持续一个接种周期的概率；（2）设事件为“在一个接种周期内出现2次或3次症状”，分别求出，由此能求出的分布列和数学期望.【详解】（1）已知每只小白鼠接种后当天出现症状的概率均为

16、，且每次试验间相互独立，所以，一只小白鼠第一天接种后当天出现症状的概率为 在第二天接种后当天出现症状的概率为：能参加第三天试验但不能参加下一个接种同期的概率为：，一只小白鼠至多参加一个接种周期试验的概率为：；（2）设事件为“在一个接种周期内出现2次或3次症状”，则；随机变量可能的取值为1，2，3，则；所以的分布列为123随机变量的数学期望为：【点睛】本题考查（1）相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式（2）随机变量的分布列及数学期望，考查计算能力，属于中等题型.19.如图，圆台o1o2的轴截面为等腰梯形a1a2b2b1，a1a2b1b2，a1a22b1b2，a1b12，圆台o1o2的侧

17、面积为6.若点c，d分别为圆o1，o2上的动点且点c，d在平面a1a2b2b1的同侧.（1）求证：a1ca2c；（2）若b1b2c60°，则当三棱锥ca1da2的体积取最大值时，求a1d与平面ca1a2所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）设圆o1，o2的半径分别为r，2r，由题意可得r1，则，连接o1o2，o1c，o2c，可得o1o2o1c，由此可证结论；（2）由题意可求得点d为弧a1a2的中点时，v有最大值，连接do2，以点o2为坐标原点，以o2d，o2a2，o2o1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量即可求得线

18、面角【详解】（1）证：设圆o1，o2的半径分别为r，2r，圆台的侧面积为6，解得r1，在等腰梯形a1a2b2b1中，连接o1o2，o1c，o2c，在圆台o1o2中，o1o2平面b1cb2，o1c在平面b1cb2内，o1o2o1c，又o1c1，故在o1co2中，co22，在ca1a2中，故a1ca290°，即a1ca2c；（2）解：由题意可知，三棱锥ca1da2的体积为，又在rta1da2中，当且仅当时取等号，即点d为弧a1a2的中点时，v有最大值，连接do2，o1o2平面a1da2，do2o2a2，以点o2为坐标原点，以o2d，o2a2，o2o1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图

19、所示的空间直角坐标系，则a1（0，2，0），a2（0，2，0），d（2，0，0），由b1b2c60°，可知，设平面ca1a2的一个法向量为，则，可取，a1d与平面ca1a2所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查线线垂直的证明，考查线面角的向量求法，属于中档题20.在直角坐标系xoy上取两个定点a1（，0），a2（，0），再取两个动点n1（0，m），n2（0，n），且mn2.（1）求直线a1n1与a2n2交点m的轨迹c的方程；（2）过r（3，0）的直线与轨迹c交于p，q，过p作pnx轴且与轨迹c交于另一点n，f为轨迹c的右焦点，若（1），求证：.【答案】（1）1（x±）；（2

20、）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意先写出两直线的方程，再根据条件化简即可求得答案；（2）设p（x1，y1），q（x2，y2），设l：xty+3，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理得y1+y2且y1y2，根据题意得 x13（x23），y1y2，再代入即可证明结论【详解】（1）解：依题意知直线a1n1的方程为：y（x）；直线a2n2的方程为：y（x）设q（x，y）是直线a1n1与a2n2交点，、相乘，得y2（x26）由mn2整理得：1n1、n2不与原点重合，可得点a1，a2不在轨迹m上，轨迹c的方程为1（x±）；（2）证明：设l：xty+3，代入椭圆方程消去x，得（3+t2）y2+

21、6ty+30.设p（x1，y1），q（x2，y2），n（x1，y1），可得y1+y2且y1y2，可得（x13，y1）（x23，y2），x13（x23），y1y2，证明，只要证明（2x1，y1）（x22，y2），2x1（x22），只要证明，只要证明2t2y1y2+t（y1+y2）0，由y1+y2且y1y2，代入可得2t2y1y2+t（y1+y2）0，【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力与推理能力，属于难题21.已知函数f（x）（1+x）t1的定义域为（1，+），其中实数t满足t0且t1.直线l：yg（x）是f（x）的图象在x0处的切线.（1）求l的方程：yg

22、（x）；（2）若f（x）g（x）恒成立，试确定t的取值范围；（3）若a1，a2（0，1），求证： .注：当为实数时，有求导公式（x）x1.【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据函数的解析式求出导函数的解析式，求出切点坐标及切线的斜率（切点的导函数值），可得直线的方程；（2）构造函数，若恒成立，即在上恒成立，即在上的最小值不小于0，分类讨论后可得满足条件的的取值范围；（3）分和两种情况证明结论，并构造函数，先征得是单调减函数，进而得到结论.【详解】（1）f（x）（1+x）t1f'（x）t（1+x）x1，f'（0）t，又f（0）0，l的方程为：ytx；（2）

23、令h（x）f（x）g（x）（1+x）ttx1，h'（x）t（1+x）t1tt（1+x）t11当t0时，（1+x）t11单调递减，当x0时，h'（x）0当x（1，0），h'（x）0，h（x）单调递减；当x（0，+），h'（x）0，h（x）单调递增.x0是h（x）的唯一极小值点，h（x）h（0）0，f（x）g（x）恒成立；当0t1时，（1+x）t11单调递减，当x0时，h'（x）0当x（1，0），h'（x）0，h（x）单调递增；当x（0，+），h'（x）0，h（x）单调递减.x0是h（x）的唯一极大值点，h（x）h（0）0，不满足f（x）g（x）恒成立；当t1时，（1+x）t11单调递增，当x0时，h'（x）0当x（1，0），h'（x）0，h（x）单调递减；当x（0，+），h'（x）0，h（x）单调递增.x0是h（x）的唯一极小值点，h（x）h（0）0，f（x）g（x）恒成立；综上，t（，0）（1，+）；证明：（3）当a1a2，不等式显然成立；当a1a2时，不妨设a1a2则令，xa1，a2下证（x）是单调减函数：易知a1a2（1，0