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1、6-5定积分的换元法r换元公式1、小结一、换元公式定理假设(1) /(兀)在0,上连续；(2) 函数兀= 0(在,0上是单值的且有连续 导数；(3) 当T在区间禺0上变化时，x =(p(t)的值 在方上变化，且0(。) = a、卩(0)= ,则有f/(x)rfx = f f(p(t)(pf(t)dt.证设F(x)是/*(兀)的一个原函数, /(x)rfx = F(ft)-F(a), O(0 = F(p(0L=子*字=fW(pf(t)=伽(切0, dx at是的一个原函数./p(OW = (P)-(a),(pg = a、卩(0)= ，(0)-(=F(0)-F回= F(b)-F(a),f(x)dx

2、 = F(b)-F(a)=(0)-(a)Ja注意 当ap时，换元公式仍成立.应用换元公式时应注意：(1) 用兀=0(f)把变量r换成新变量 时，积分限也 相应的改变.(2) 求出的一个原函数(/)后，不 必象计算不定积分那样再要把变换成原 变量工的函数，而只要把新变量的上、下限 分别代入(/)然后相减就行了.解令 r = cos 兀，dt = -sin xdx兀=0 二 / = 1，cos5 x sin xdxr8 dX例2计算h +貫解令t = Vx,x = f，dx = 3t2dt兀= 0=t = 0, x = S = t = 2,f2 3t2dt=3f2t2-l + l1 + tdt二

3、3 Jo C -1)力 + 7-11=3(/2 -O + ln(l + z)lo = 31n3例3 计算-x2dx (a 0)解 令兀=asintdx =acosf力，7Cx =at = 兀= om = o,271原式=卩 acost acostdtJo=a2兰 l + cos2t 72 dt0c Tier7t!2例4当/(兀)在-。卫上连续，且有 /(兀)为偶函数，则 /(x)rfx = 2匸 f(x)dx ； /(兀)为奇函数，则 /(x)rfx = 0.证 f(x)dx = f /(x)rfx+ V f(x)dxJ-aJ-aJO在fl中令兀=-t,J/(x)rfx =- f (-/ w = f (-/ w，/(兀)为偶函数，则/(-) = /(/),J： f (x)dx =上 / (x)dx +/ (x)dx =2打曲/(兀)为奇函数则/(-() = -/()，J： f (x)rfx = J： f (x)rfx + / (x)rfx= 0.犬学数学教硏宅2020年1月281112时52分首页 上页 卜页屈页返冋11课堂练习:22、Jo J x+i+J（兀+i71

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