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文档简介

1、第六章定积分应用上一章，已经系统地介绍了定积分的基本理论和计算方法。在这一章中，将利用这些知 识来分析解决一些实际问题。定积分的应用很 广泛，在自然科学和生产实践中有许多实际问 题最后都归结为定积分问题。本章不仅对一些 几何物理量导出计算公式，更重要的是介绍运 用“微元法”将所求的量归结为计算某个定积 分的分析方法。微元法，面积，弧长，旋转体的体积，定 积分在物理方面的应用，EJ瑋点 微元法，参数方程确定的曲线所围的 面积，定积分在物理方面的应用。基痒要求頤餵龍掌握微元法的基本思想，并鑽蠶幾现瞬瓣出 会求旋转体的体积 会求平面曲线的弧长 会用定积分解决物理方面的实际问题。第一节定积分的微元法1

2、=通过对不均匀量（如曲边梯形的面积， 变速直线运动的路程）的分析，采用“分 割、近似代替、求和、取极限”四个基本 步骤确定了它们的值，并由此抽象出定积分的概念，我们发现，定积分是确定众多 的不均匀几何量和物理量的有效工具。那 么，究竟哪些量可以通过定积分来求值呢? 我们先来回顾一下前章中讲过的方法和步 骤是必要的。设量U非均匀地分布a 0 上求u的步骤分用分点 a = xQ<x<-<xn_i<xn=b 将 区间分成n个小区间x._1?x.,Az = £ -兀丿把U在小区间上的局部量 用某个函数门工）在血呃,和）的值与之积代替AUfAx,和 把局部量的近似值累加

3、得到总量 的近似值”即”1=1 1=1精2=max Axin li <.nbu = jf(x)dxi=la由此可知，若某个非均匀量U在区间S如上 满足两个条件：(1) 总量在区间上具有可加性，即把区间 分成几个小区间时总量就等于各个小区间上 的局部量之和，(2) 局部量可用/)-近似表示 它们之间只相差一个加，的高阶无穷小不均匀量U就可以用定积分来求得1=这是建立所求量的积分式的基本方法 分析其实质，不难将四步简化为两步 第一步“分割取近似”含“分”、“粗”两步即将区间分成子区间 在其上用均匀变化近似代替非均匀变化 求得局部量的近似值AUfAx, 它对应着积分表达式中的被积式fMdx 第二步“求和取极限”含“和”、“精”两步:各局部量的近似 值相加并取极限得到总量的准确值即对被积式作积分U = f(x)dx I O求微元"写出典型小区间x,x+dxca,b 上的局部量Au的近似值dU = f(x)dx这就是局部量的微元II O求积分即把微元du在区间。，方上“无

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