7-4微积分基本定理

1、§7-4微积分基本定理一、变上限积分函数1. 设e Ra,b,/x g a,b,定义F(x) = f f(t)dt9积分上限函数2. 定理 1若f 凤a#,则F(x) g Ca,b证明:Vx0,x0 +7r go,6F(x0+/i)-F(x0)J aJ aJ Xq琏砧有界肘a)|<M °+hf(t)dt<Mh,:.limF(x0 +7i)-F(xo) = Oh-0由兀o任意性F(兀)e Ca，方.积分上限函数的可导性质定理2如果/在方上连续，则积分上限函数F(x) = f(t)dt在a，方上具有导数，且它的导数 是儿叱7曲5)(a-x-b)证 F(x + h)

2、= +hAF =F(x + h)-F(x)=ffgtJaJafxfx+hpx=f /W + fwwJaJxJafix+hya x £ * + 方 b=J/力，Jx由积分中值定理得21F = f ©llex,x + h,必=于(歹)，lim 代 = lim/h 丿0 h hQ J 7仇一0，歹一兀 Ff(x) = f(x).补充如果/连续，a(x)t (兀)可导，则F(x) = *；/(讪的导数刃(工)为F3 = ；1(：fW= / 6(x)&r(x)-/tt(x)az(x) 证 )=(：)+JT h(讪Fx) = /6(x)&x) -/a(x)ar(x)例1

3、求limx->0J4.2e'dtcosxX2分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.dxJ1Jcosx补2Cl fCOSX ,2-e"cos2x-(cosxy = sin x e cos2 xlimf e t2dtJcosx21宀宀兀一02x2e例2设于（兀）在（-8，+8）内连续，且/（兀） 0.证明函数尸=严在（0,+8）内为单调增 Jo fdt加函数 证 第;（咖=灯（x）, £览/（恫=/（兀），x/（x）r f（t）dt-f（x）rt/（t）dtF （兀）=7v（鳥町叫）=何（一5曲,v/(x)>o, (x>0)/*(/)力 >0,

4、(x 一> 0,(兀 一> 0,/. Fx)>0 (x > 0).故F （兀）在（0,+8）内为单调增加函数.例3设于（兀）田0,1上连续，_a/（x）<i.证明2x - J： /（妙=1田0,1上只有一个解.证 令 F(x) = 2x-ff(t)dt-l9 f(x) v 1，.F'(x) = 2 -f(x) > 0,F（兀）在0，l上为单调增加函数F（0） = -1<0,F(l) = l-ff(t)dt = jl-f(t)dt > 0,所以F"） = 0即原方程在0,1上只有一个解.定理3 (原函数存在定理)如果/*(兀)在a

5、,上连续，则积分上限的函 数F(x) = V f(t)dt就是于(兀)在a,上的一个 Ja原函数.定理的重要意义：(1) 肯定了连续函数的原函数是存在的.(2) 初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.1、牛顿一莱布尼茨公式定理4 (微积分基本公式)如果F(x)是连续函数/(兀)在区间a，方上 的一个原函数，则f(x)dx = F(b)-F(a).证/已知F(x)是/(兀)的一个原函数， 又a)=£7(tw也是/(兀)的一个原函数, F(x)一(兀)=Cx g a,b令 X a => F(a)-(a) = C，t (a) = £y(l)d/ = O =>

6、F(a) = C, F(x)-f/W=C.打(ns)-F), 令x =b => f(x)dx = F(b)-F(a).tt牛顿一莱布尼茨公式f(x)dx = F(b)-F(a)=F(x)l微积分基本公式表明:一个连续函数在区间a,方上的定积分等于它的任意一个原函数在区间S,方上的增量.求定积分问题转化为求原函数的问题.注意 当a >b时，£/(x)rfx = F(b)-F(a)仍成立.例4求f(2cosx + sinx-l)rfx.设于（兀）=2x50<x<ll<x<2求仃（兀）必2 12Jo f(x)dx =/(X)6tr +£ f(x

7、)dx在1,2上规定当兀=1时，/（x） = 5, 原式=2兀必+ J 5必=6.例 6 求 J： maxx, x2 dx 解由图形可知/(x) = maxx,x2x2 -2<x<0=< x 0<x<l，x2 l<x <2原式=J x2dx + xdx +>dx = T求J :打兀当XV 0时，丄的一个原函数是lnlxl,ilxf_2= in I x l 2= In 1 In2 = In2.计算曲线j =sinx在0,冗上与x轴所围 成的平面图形的面积.解面积A =sinxdxJo= -cos 咄=2.1积分上限函数F(x) = f(t)dt2积分上限函数的导数F7x) = /(x)3微积分基本公式 打Mdx = F(b)-F(a) 之间的关系.牛顿一莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学01arJ思考题设/（兀）在a，方上连续,则f（tyit与f/