概率统计作业题答案

1、概率统计标准作业题答案专业班级:学号:姓名:1第一章概率论基础一、填空题1设P(A)=0.4, P(AB) = 0.7，若A,B互不相容，则P(B) =0.3 若A,B相互独立，则P(B)二 0.5 2设P(AJ = P(A2)= P(A3)=13，A!, A2, A3相互独立，则 为1927；A!, A2, A3恰好出现一个的概率为49;A!, A2, A3最多出现一个的概率为20273 一袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个是黄球，30 个是白球今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是0.44设在一次试验中，事件A发生的概率为p.现进行n次独立试验，则事件

2、A至少发生一次的概率为1一1一pn；而事件A至多发生一次的概率为Tn |/n(1 - p ) + np(1 - p )5三个人独立破译以密码，他们能单独译出的概率分别为15，13,14，则此密码被译出的概率为0.6 二、选择题1 .设A、B为两个事件，则(A B)(A B)表示(C ) (A)必然事件；(B)不可能事件；(C)A与B恰有一个发生；(D)A与B不同时发生.2.对事件A、B,下列命题正确的是(D ) (A)如果A、B互不相容，则A、B也互不相容；(B)如果A、B相容，则A、B也相容；(C)如果A、B互不相容，且P(A) 0,P(B) 0，则A、B相互独立；(D)如果A、B相互独立，

3、则A、B也相互独立.3 .设AB C，贝U( A ) (A)AB C； (B)A二C且B二C； (C)- C； (D)A二C或B二C.4.设A、B是任意两个事件，则P(A-B)二(C ).(A)P(A)-P(B)；(B)P(A)-P(B) P(AB)；(C)P(A)-P(AB)；(D)P(A) P(B)-P(AB).5 设A、B是任意两个事件，则一定有P(A BH( D ).(A)P(A) P(B)；(B)P(A) P(B)-P(A)P(B)；(C)1 -P(A)P(B)；(D)P(A) P(B)-P(AB).三、计算与证明题1 指明在下列各条件下，事件A,B,C之间的包含关系.(1)若A和B

4、同时发生，则C必发生；(2)A和B有一个发生，则C必发生；13, A2, A3至少出现一个的概率概率统计标准作业题答案专业班级:学号:姓名:2(3) 若A发生，则B必不发生；(4)A和B同时发生的充分必要条件是C不发生;(5)A发生的充分必要条件是B不发生.解(1)AB C，即积事件AB包含于事件C；(2)(AU B) C，即和事件AU B包含于事件C；(3)AB=：:，即积事件AB为不可能事件；(4)AB=C，即积事件AB等于事件C的对立事件C；概率统计标准作业题答案专业班级:学号:姓名:23(5)A二B，即积事件A等于事件B的对立事件B.2对任意的随机事件 代B,C，证明：P(AB) P(

5、AC)-P(BC)乞P(A). 证明因为A二(AB一AC)，所以P(A) _ P(AB一AC)二P(AB) P(AC) - P(ABC) _ P(AB) P(AC) - P(BC)3 .将 3 个球随机地投入 4 个盒子中，求下列事件的概率：(1) A 是任意 3 个盒子中各有 1 个球；(2) B 是任意 1 个盒子中有 3 个球；(3) C 是任意 1 个盒子中有 2 个球，其它任意 1 个盒子中有 1 个球.山C：汉3汉2C4解1 P A430.3 7 52 P B4=0.0625,4解(请自己作图结合图形阅读)一面涂有颜色的小立方体个数(8 8) 6=384,其中8 8为大立方体每个表

6、面含有此类小立方体的数目，6是大立方体的表面总数.(8 4) 696，分子数值的由来与前相似，除以2 是因为每个此类2小立方体被重复计算 2 次.线段OC,CA,OB三线段能构成一个三角形的概率.1解 设OC =x,贝y CA =1 -x,OB二才 三线段能构成三角形，应有OB OC CA, OB CA OC,41 * 33 P C =4；33=0.5625.4 .把一个表面涂着颜色的立方体等分成1000 个小立方体，从这些小立方体中任意取出一个，求它有k面涂着颜色的概率(k = 0 , 1 , 2,3).面涂有颜色的小立方体个数三面涂有颜色的小立方体个数:8 (即大立方体顶点个数)0 面涂有

7、颜色的小立方体个数1000-8 8 6_(8 4) 6_8二512.2所以k =0,1,2,3的概率分别为512 p0=Pk=00.512;100096p2= Pk =20.096 ;10005 设OA是Ox轴上长为 1 的线段，3845 二Pk =1P3二Pk =3B为OA的中点,-0.384; 100080.008.1000C为OA上任一点，求解得C点可在0,1上取，但构成三角形的点只能在1 34,4上取，故由几何概型可得所求概率为概率统计标准作业题答案专业班级:学号:姓名:2411x 1 - X,1 -x X.223_丄44概率统计标准作业题答案专业班级:学号:姓名:5(1从1000 个

8、灯泡中任意取出的100 个灯泡都是好灯泡的概率；(2)如果任意取出的 100 个灯泡都是好的，则 1000 个灯泡都是好灯泡的概率.&甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它解 (1)设 Bi(i=0, 1, 2, 3, 4, 5)表示 1000 个灯泡中有i个坏灯泡，A 表示任取的100 个灯泡都是好灯泡，显然1P(B)=6，P(AB100C1000 iC10005P(A)八P(Bi)P(ABJ7100C999100C998100C997100C996+100C1000100C1000100

9、C1000100C1000=1(1 +0.9 +0.8099 + 0.7287 + 0.6557+0.5857)= 0.78(2)根据贝叶斯公式:P(B。|A)二P(B0)P( A | B0)5、P(Bi)P(A | Bi)i =01001000100C1000100100100100 C999 C998C997 C996100995= 0.214.7 .发报台分别以概率 0.6 及 0.4 发出信号“ ”及“一”.由于通信系统受到干扰，当发出信号“”时，收报台以概率 0.8 及 0.2 收到信号“ ”及“一”；又当发出信号“一”时，收报台以概率 0.9 及 0.1 收到信号“一”及“ ” .

10、求：(1)收报台收到信号“ ”的概率；(2)收报台收到信号“一” 的概率；(3)当收报台收到信号“ ”时，发报台确系发出信号“ ”的概率；(4)当收报台收到信号“一”时，发报台确系发出信号“一”的概率.解本题是典型的利用全概率公式和贝叶斯公式来求概率的例子.设A表示事件“发出信号“ ”，A表示事件发出信号“ 一”，B表示事件收到信号“ ”，B表示事件收到信号“ 一 ”，由题意可得P(B|A)=08, P(B|A)=0.2,P(B|A)=0.9,P(B A0.1,P(A) =0.6,P(A) =0.4,于是根据全概率公式和贝叶斯公式(1)(2)(3)(4)P(B)二P(A)P(B A) P(A)

11、P(B A) = 0.6 0.8 0.4 0.1 = 0.52P(B)二P(A)P(B|A) P(A)P(B A) = 0.6 0.2 0.4 0.9 =0.48P(AB)审P(AB)=P(A)P(BA)0.6 0.80.52-0.9231P(B)0.4 0.90.48= 0.75.10010001001000100C995C100概率统计标准作业题答案专业班级:学号:姓名:6们中的任何一艘都不需等候码头空出的概率.解 设甲乙两艘轮船到达码头的时刻分别为x、y,则所有基本事件可表示为:概率统计标准作业题答案专业班级:学号:姓名:70 _x _24,0 _ y _24,而“不需等候空出码头”的事

12、件A必需满足条件:y - x _ 1x-y-2，可以用图中阴影面积:12 22 2322表示，所有基本事件的面积为242，所以232+222232-. 0.8792 242第二章随机变量、填空题1 设随机变量X的概率分布为:2 设随机变量X的概率密度为:kxb,0,f(X)= *= 0.75，则k= _2YOX9 题图P X = k = c 3 ,k = 1,2,3，则0 ： x : 1, (b 0, k 0),其他._ 27c一383 .已知随机变量X的分布函数为:1B =Ji;P*X|c1=0.5 ;概率密度f(x) =F (x) = A B arctan x，贝U A=10.5;2二(1

13、X2)k4设随机变量X的概率分布为：Px几 5 订20,1,2,3,，其中 一为常数，则a-上5.设随机变量2X N(10, 0.02 )，已知：:qx)二.x1e2dx,七弩2二贝 U X 落在区间(9.95, 10.05)内的概率为 0.9876.12D由曲线y及直线y=0,x=1,x=e2所围成，二维随机变量(X,Y)在区域D服x从均匀分布，则(X,Y)关于 X 的边缘概率密度在X=2处的值为 0.25.(2.5) =0.9938,6 .设平面区域二、选择题1 .设连续型随机变量的密度函数和分布函数分别为f (x), F(x),则下列选项中正确的是B )0乞f (x)乞1；PX二x二F

14、(x)；(A)(C)(B)PX =x乞F(x)；(D)P X = xf (x)(A)2 设f(X)=CO$K为随机变量X的概率密度A )-HlTt(C)0,；则随机变量X的可能取值充满区间(D)二3 设随机变量X N(=二2)，且PX c = PX c，则C=( B ).概率统计标准作业题答案专业班级:学号:姓名:8概率统计标准作业题答案专业班级:学号:姓名:9(A)0 ；(B)J；(C)-；(D)匚14 设两个随机变量X与Y相互独立且同分布：PX二-1 = PY =一1=，1PX = = PY =1二，则下列各式中成立的是(A )1(A)PX二丫P ；(B)PX二Y =1；1 1(C)PX

15、Y =0=4；(D)PXY =1 =45 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为:则随机变量X与Y为(B)独立不同分布；(D)不独立也不同分布.三、计算与证明题1 .设Fx),F2(X)都是分布函数，又a 0, b 0,且a，b=1.证明a Fx) - bF2(x)也是分布函 数.证明令F(x)二aFjx) bF2(x),(1)F(一匚：1) = aF1(-切bF2(Q)= 0 0=0,F(：)二aF, ：) bF2(二)=a b =1.对任意x R,有a 0 b 0 = 0空aF1(x) bF2(x)空a 1 b仁a b = 1, 即0mF(x)1.(2)对任意X。,F1(x。0)=F1(

16、x),F2(X。0)=F2(X),故F(x。0)二aF1(x。0) bF2(x。0) =aF1(x) bF2(x。)=F(x。).(3)对任意X1：X2, F1(X1)岂F1(X2), F2(X1)岂F2(X2),故F (x1aF1(x1) bF2(xj _ aF1(x2) bF2(x2F (x2).所以，F(x)满足分布函数的三个性质，故必为某随机变量的分布函数.2 .问C应取何值，下列函数才能成为离散型随机变量的分布律.cf(k) =,k=1,2,NN解 显然，f (k)的值应是有限多或可列个，如果每个值都在0,1上，且和为 1，则f(k)是分布律.由Nf(kHN- =1,k1N得C=1

17、3一页书上印刷错误的个数服从参数0.5的泊松分布.试求在一页书上印刷错误至少一个的概率.解设X为一页书上印刷错误的个数，则1e2P(X =k) ,0,1,2,x2y2_1 ,其他.(C ) (A) 独立同分布；(C)不独立同分布;概率统计标准作业题答案专业班级:学号:姓名:102 k!一页书上印刷错误至少一个的概率为P(X 1) =1 - P(X =0) =1 -e.5: 0.3935.4设X在0, 5上服从均匀分布，求方程4t2 4Xt X 2 =0有实根的概率. 解 方程有实根的充要条件是判别式(4X)2-4 4 (X 20，解得概率统计标准作业题答案专业班级:学号:姓名:11X K2或X

18、兰1,注意到X 0,5,舍去X乞-1所求概率为/13P(X_2)=-dt2555 某市南郊到北郊火车站有两条路可走，第一条路线路程较短，但交通拥挤，所需时间 X 服从 N( 50,100);第二条路线路程较长，但交通不易阻塞，所需时间Y 服从N(60, 16) 若有 70 分钟可用，应该走哪条路线？解 选择走哪条路线合理的原则是，在给定的时间内到达火车站的概率较大走第一条路线所需时间X服从N(50,102),所以走第二条路线所需时间Y服从N (60,42),所以Y -6070 -60、，/70 -60、P(Y _70) = P()=)=：(2.5) =0.9938,444可见P(Y 70) .

19、 P(X乞70),故应走第二条路线.6一箱中有 3 个白球和 3 个黑球作一系列的不放回取球，直至首次出现白球为止，设X是取出的球数.接着继续取球，直至首次出现黑球为止，设丫是第二个序列中取出的球数试求(X,丫)的联合P(X =4,Y =1) =P(X =4,Y =2) =P(X =4,Y =3) =0,P(X =1,Y =0) =P(X =2,Y =0) =P(X =3,Y =0) =0(X,Y)关于X,Y的边缘分布分别为：10631P(X =1)=-,P(X =2),P(X=3),P(X =4);20202020P(Y =0)1106320202020P(X 0,y：0时，F(x,y) =

20、 J。J06ex书y)dxdy = (1_e/X)(1_ey),；(1dx)(1dy),0,F(x,y)(3)P(2X 3丫乞6) =6e42x3y)2x 316=1 -7e : 0.9826.x 0, y 0;x _0或y _0.32(Ddxdy=6 dx o3e42x 3y)dy& 随机变量（X,Y）的联合密度为：f （x,y）x 0, y 0;0,其他求X -1条件下Y的条件密度.当x 0时，有fx（x）二O02fY|X（小忙需(1 x y)8dy二1(1 x)2=（2 y）30，1设随机变量X的密度函数为fx（x）：,y 0,二（1%巧，求随机变量Y =1 -3X的密度函数fY(y).

21、Y的分布函数Fy(y) = P(Y岂y) = P(1_3X P(3X _1 _ y)dx= P(X一(1 -y)3)二,2)3二(1x)21二3(arctan(1 - y),二2因此Y的密度函数为:fY（y）十丫）23(1 - y)1 (1-y)6JT10随机变量X,Y相互独立，其密度函数分别为1,0WxE1,0其他.求随机变量Z =2X Y的密度函数. 解因为X与Y相互独立，所以fx(X)= “fY(y) = y o,y 0.fZ三fX（X）fY（Z-2X）dX =Z的密度函数为1fY(z - 2x)dx-00,24Z-2x)e0dx,0 : z岂2,e4zx)dx,z 2.0,=丿丄（1e

22、）, 0Vz21 2 -（e -1）e , z 2.11.设随机变量Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处.X与丫相互独立，下表列出了二维随机变量（X,丫）的联合分布律及关于X和关于概率统计标准作业题答案专业班级:学号:姓名:1014概率统计标准作业题答案专业班级:学号:姓名:15解y1y2y3PX=Xi = R.1111 nX12481241313X2一8844PY=yj=P1111623第三章随机变量的数字特征一、填空题21 设随机变量X的数学期望EX =2，方差DX = 4，贝y EX =_8.2设随机变量XB(n,p)，已知EX =1.6, DX =1.28，则参数n

23、=_8_,p= 0.2E(a bX) =0, D(a bX) =15设DX =4,DY =1,；-XY=0.6，则D(3X -2Y)=25.62 26 设X N(h, f ),Y N(J,二2)，且X与丫相互独立，则(1)X Y N叫2,G2G2; (2)2X-3YN(21-32,4129；22)7X1,X2, X3都服从0, 2 上的均匀分布，则E(3X1-X22X3)= 4&设X表示 10 次独立重复射击中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4,则X2的数学期望E(X2)=18.4二、选择题1 设X是随机变量，X。为任意实数，EX为X的数学期望，则(B )(A)E(X-X0)2=E(X

24、-EX)2;(B)E(X-x0)2一E(X - EX)2;(C)E(X-X0)211144EXY = rxdxy(2 xCov(X,Y)二EXY EXEY144Cov(X,Y)XYJ DX r DY113设随机变量X P()，且EX0.8，令随机变量概率统计标准作业题答案专业班级:学号:姓名:20PY二8 = P1 X0.82e2!PY = 0 = 1 - 0.8088 - 0.1898 = 0.0014 , 从而EYT0 0.8088 8 0.1898 9.64.对圆的直径作近似测量， 设其值均匀地分布在区间 a, b内，求圆面积 的数学期望.X，贝y X在a, b上服从均匀分布，概率密度为

25、1a,f（X）0,丫=X2设圆的面积为 Y，则4.10,X1Y 8, 1X40,X 4，求EY? 8 + c c 8二e0.8e二0.8088乞4 = PX二2 PX二3 PX二4 e0.8应e08= 0.1898,x a,b,其他，0.8设圆的直径为概率统计标准作业题答案专业班级:学号:姓名:21b212 2a 4Xbla * 12(a油 35.已知生男孩的概率为 0.515,求在 10000 个新生婴儿中女孩不少于男孩 的概率.解 设 X 为 10000 个新生婴儿中男孩的个数，则其中 n=10000 , p=0.515 , 10000 个新生婴儿中女孩不少于男孩，即=PJnp(1 p)n

26、p(1 p)np(1 p)5000T00007.515-o0T0000 汇 0.51571000 0.515(1 一 0.515)A/1000 0.515(1 - 0.515)丿(3( -103) 1 一(3) =1 - 0.9987 二 0.0013.6.设Xi(i一1,2,10)相互独立，且在(0, 1) 上都服从均匀分布，故，EX5000P0 空X5000：，由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理，所求的概率为0-np X - np5000- np试利用中心极限定理计算的近似值.E(X1x二d0.5 x2E(Xi )=1x2dx =022 2- E(Xi)-E(Xi)12概率统计标准作业题答案专

27、业班级:学号:姓名:22r10P Xi6由中心极限定理，得概率统计标准作业题答案专业班级:学号:23 10、 6 1- P瓦Xj兰6 1LiJLi =1JM (1.095) = 10.8643二0.1357.10、Xi- 10 0.56-10 0.56 - 10 0.5f(X1, X2,Xn)=0,X1,X2,Xn- 0；其他.姓名:i概率统计标准作业题答案专业班级:学号:24第四章参数估计一、填空题n1 若总体的分布函数为F(x)，那么样本(X1,X2, ,Xn)的分布函数F(X1,X2，Xn)“【F (Xi)，iT设总体X e( ), 试写出样本 (X1,X2/ ,Xn)的概率密度函数概率

28、统计标准作业题答案专业班级:学号:姓名:25_ 2N()分布，若ai为常数n4 总体XN(；2),X是样本均值，S2是样本方差，n为样本容量，则常 用的统计量U二X N(0,1)；T =Xt(n -1)；2=(n-12)s2(n 1).二ns n匚5 设随机变量Xi,X2,X3,X4独立且都服从N(0冷)，则(Xi- X2)2(X X4)2服从2(2)分布，若要使aX12- b(X2X3- X4)22(2),则需a= 2,b=|.323X16设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N (0,2 )的简单随机样本，则一22服从px2+ X3+x42 2X1+X2t(3)分布，笫仝务服从F(2,2)

29、分布.X3X47已知来自正态总体X N(J, 0.92)容量为 9 的简单随机样本，样本均值J 的置信度为 0.95 的置信区间是4.412, 5.588J .二、选择题1.设总体X N(7；2)，其中已知，而孑是未知的，X1,X2,X3是总体的一个样本，试问哪个 不是统计量(C ).13132132(A)XXi; (B)X1X3；(C)飞(Xi-X); (D)(Xi-X).3i1- i d3i d2 2 .设总体X N(1,2 ),X1,必他是来自总体X的样本，X为样本均值，已知Y =aX +b N(0,1)，则有(A ).1111(A)a= -5,b=5； (B)a=5,b=5；(C)a=

30、：,b； (D)a ,b =55553 设X1,X2，Xn为总体X的简单随机样本，EX - *DX-；2,X,S2分别为样本均值及样本方差，则下列结论正确的是(B ).(A)X,S分别是 亠匚的无偏估计；(B)X,S2分别是=匚2的无偏估计；(C)X,S2分别是二2的矩估计量；(D)X,S2分别是 二二2的极大似然估计量.nai式0, i =1, 2,，n)，则瓦a： X i服从N2ai分布.X =5，则未知参数概率统计标准作业题答案专业班级:学号:姓名:26三、计算题与证明题2 1 从正态总体N(52, 6.3 )中随机抽取容量为 36 的样本，求样本均值X落在 50.8 到 53.8 之间

31、的概 率._广6 32解X N 52, d = N (52,1.052),I 36丿概率统计标准作业题答案专业班级:学号:姓名:27X -52P50.8：X :：: 53.8 = P -1.141.71=：(1.71) ：( 一1.14)1.05=G(1.17) G(1.14) 1 =0.8293.22 从正态总体N(0.5 )中抽取样本X1,X2，X10，已知.二=0,求概率估计，求c.解EX1=二EXn=DX1=二DXn= ;2, 因为Xi 1,Xi相互独立，所以cov(Xi 1，Xi) =0,n-12EQ二c E(Xi 1-EXi 1)-(Xi-EXi)i ：1n丄2 2二c E(Xi1

32、-EXi1)E(Xi-EXi) -2cov(Xi 1,Xi)i生nn=c (DXjqDXJnc 2；2=2 (n 1)；2c=：;2,iAi =11c.2(n -1)10Pp Xi24; (2)未i 410P (Xj-X)2_2.85.i 41102x(Xi一)CTi 410P Xi_4二i 4110-2、(Xi-X)二CTi 410兄Xi2110110冷(Xi_X)22(9),0.5 v厶(XiX)2一 今0.52i 40.52= 0.25(查表).n_13 .设X1,X2/,Xn(n_2)为正态总体N(7；2)的一个样本，Q二C (Xi1-Xj)2为二2的无偏iz110P (XiX)2_

33、2.85二Pi =42(10)，一二=16 =0.10(查表).0.52= 11.4QOOO解(1)因为E(X)二 kPX =k二 kp(1 - p)kk=i11nE(X)XXipn y，得p的矩估计量为:(2)似然函数为:nL(p)訓PX二im两边取对数ln L( p)二nln pnXiii(1 p)Xipim二Xi- n In(1 - p),n迟XTPn(1-P)T,所以概率统计标准作业题答案专业班级:学号:姓名:284 总体X服从几何分布，分布律为PX二x =(1-p)2p, x=1, 2，其中p未知参数，且0pt衣n -1)；若备择假设2为Hi:： J，则拒绝域为T：-t：.(n -1)2 2 23 设Xi,X2/,Xn为来自正态总体N亠匚 的样本，-o已知，要检验假设H。：匚=：；0，n2Z (Xi)则应选取的统计量是K二-2-；当Ho成立时，该统bo计量服从(n)分布； 设显著水平为:-， 若备择假设为Hi： 匚匚，则拒绝域为_K：丄(n),或K：(n)；若备择假设为Hi巧2二、选择题, 22i.设Xi,X2，Xn为来自正态总体N亠匚 的样本，匚 已知，在显著性水平=0.05下接受Ho: 4 = % 若将G改为 o.oi时，下面结论中正确的是(B )(A