三重积分中值定理地证明与应用

1、实用标准文案文档数学分析自主研究课题:二、三重积分中值定理的证明和应用摘要：本报告探究的是由积分第一中值定理和推广的 积分第一中值定理引伸出的推广形式的二重积分中值 定理和二、三重积分中值定理的证明及其相关应用。 关键词：积分第一中值定理，推广形式的二重积分中 值定理，二、三重积分中值定理一、引言在数学分析的学习过程中我们已经详细了解了的积分第一中值定理（一重积分中值定理） 及其证明和应用，而对二、三重积分中值定理并没有给出详细的证明和应用，所以本报告将详细的对其作出证明和说明其简单的应用二、积分第一中值定理（一重积分中值定理）（积分第一中值定理）若f在a,b上连续，则至少存在一点&a,b,使

2、得bf(x)dx f( )(b a).a实用标准文案文档和（推广形式的积分第一中值定理）若f和g都在a,b上连续，且g（ x）在a,b上不变号，则至少存在一点a，b,使得bbf(x)g(x)dx f( ) g(x)dxaa(明显当g (x)1时，即为积分第一中值定理)三、推导二、三重积分中值定理及证明由积分第一中值定理我们类似的推导出二重积分中值定理：若f(x,y)在有界闭区域 D 上连续，则存在(,)D，使得f (x, y)d f( , )SDD这里SD是区域 D 的面积.证明：由于f(x, y)在有界闭区域 D 上连续，SD为这个区域的面积存在最大值 M 和最小值 m，得m f (x, y

3、)M,(x, y) D,使用积分不等式性质得mSDf(x,y)dWMSD,D1实用标准文案文档即m f (x, y)dM.SDD再由连续函数的介值性，至少存在一点(，)D,使1f( , )f(x, y)d ,SD D即f(x,y)d f( , )SDD由此定理得证.实用标准文案文档那对于二重积分是否也存在推广形式的二重积分中值定理：若f(x,y)在有界闭区域 D 上连续，g(x,y)在 D 上可积且不变号，则存在一点(，)D，使得显然定理是存在的，下面我们就来证明一下证明：由于f(x,y)在有界闭区域 D 上连续，所以f(x,y)在 D 上存在最大值 M 和最小值 m，有m f (x, y)0

4、 时，有mg(x, y)f (x, y)?g(x,y) 0 时，由上式得D实用标准文案文档f(x,y)g(x, y)dg(x,y)dD知，至少存在一点(，)f (x, y)g(x, y)df(,)g(x, y)d，D同理可证当g(x,y)0 时，由此，定理得证.特别的，当g(x,y) 1时，即为二重积分中值定理三重积分中值定理：若f(x,y,z)在三维空间可求体积的有界闭区域 V 上连续，则存在(，)V,使得f (x, y,z)dV f( , , )VvM,由闭区域连续函数的介值定理D，使f (x, y)g(x,y)dDf( , ) g(x,y)dDf (x, y)g(x, y)d f (,D

5、g(x，y)d也成立.实用标准文案文档V这里Vv是积分区域 V 的体积.证明：由于f(x,y,z)在三维空间可求体积的有界闭区域V 上连续，Vv为这个区域的体积.存在最大值 M 和最小值 m,有m f (x, y, z)M,(x, y,z) V.使用积分不等式性质得mVvf(x,y,z)dV MVv,V1即m f (x, y,z)dVM.再由连续函数的介值性，至少存在一点(，)V使f(x,y,z)dV即f(x, y,z)dV f ( , , )Vv.V由此定理得证.同样的，对于三重积分中值定理，也有推广形式的三重积分 中值定理，这里不详细证明了.四、二、三重积分中值定理的应用1.设f(x,y)

6、(f(x,y,z)有界闭区域 D(V)上的连续函数，D( V)是包含定点 Po(xo，y0)( Po(xo，y0，Z0)的 D(V)的有界闭 子域，由积f(实用标准文案文档分中值定理得，存在(，)D(，) V),使f (x, y)d f ( , )SDD(f(x,y,z)dV f( , , )Vv)V其中显然(，)D( , , ) V)，SD(VD)是区域 D(V)的面 积(体积).当D( V)的区域d 趋于零，便有实用标准文案2x文档1ldm0S7 /（x，y）ddimV（，）f（x，y。）.1（lim /（x，y，z）dVdim0f（，）f（x，y，z。）这个极限过程与证明变上限定积分对上

7、限求导的极限过程 是类似的，所以上式的极限为重积分在点 Po（Xo,yo）（Po（Xo,yo，Zo）处对区域的导数.根据重积分中值定理，可以证得一个连续函数的重积分对区域的导数等于其被积函数2.应用重积分中值定理估计积分值|x |y 10100 cos2x cos2y的值.3.求极限:例：估计积分1解：由于f(x, y)2 2loo cos x cos y在有界闭区域D (x,y)|x10上连续，则2D1oo cos x12 2cos y 100 cos矿？（D).而SD2oo,丄1o2121oo cos2COS10051my| 1100 cos2x cos2y实用标准文案2x文档解：由积分中

8、值定理，至少有例 1.求limof(x,y)d2 2y,其中f（x, y）为连续函数实用标准文案文档D=(x,y)|x2y22,使12f(x,y)df(,),lim0f(x, y)d2lini f( , ) f (0,0)0例 2.证明limn.n /2sin (xy2)d(x,y)|0 x2y2证明：对（0,2）存在 08e,有n 2sin (x0 x2y2-2y2)dn 2sin (x0 x2y2)dx2n :sin (x2yy2)d0,nsinn 2|sin (x2y)|d2x2n 2|sin (x2y2y2)dnsinnsin2-,所以|sin E1,故存在N 时，有实用标准文案文档lim sinn(x2y2)d0nD五、体会通过这次的自主探究实践， 让我得出所研究课题的结论，让我体会到数学知识的紧密联系， 在学习的过程中不断积累知识，从而去解决更深一层的问题， 做到不抛开条件去解决问题， 比如在证 明过程中用到的介值定理和积分不