二项式定理.版块三.二项展开式3赋值求某些项系数的和与差.学生版

1、赋值求某些项系数的和与差且IM隹 知识内容i.二项式定理二项式定理（“ + 与"=C” + cy-'b + cy-2b2 + + C；bn （n e N*）这个公式表示的定理叫做二项式定理.二项式系数、二项式的通项C：" + Canb + C；an2b- + . + C,沏'叫做（a + ）"的二项展开式，其中的系数C；（r = O,L 2,，）叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用（+1表示,即通项为展开式的第厂+ 1项：2=/厂方.二项式展开式的各项甯指数二项式（。+ h）n的展开式项数为 +1项，各项的事指数状况是各项的次数都等于二项

2、式的事指数.字母a的按降哥排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零，字母按升事排列，从 第一项起，次数由零逐项增1直到.几点注意通项& =是（。+ ）”的展开式的第厂+1项，这里/ = 0, 1, 2,.二项式（a+ /吠的厂+ 1项和他+a）”的展开式的第 + 1项是有区别的，应用二项式 定理时，其中的a和是不能随便交换的.注意二项式系数（C；）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负.通项公式是（。+8）"这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项公式是（只须把-看成代入二项式定理）这与（+i=C）”-方是不同的，在这 里对应项的二项式系

3、数是相等的都是c：,但项的系数一个是（T）' c：，一个是C；，可看出， 二项式系数与项的系数是不同的概念.设 u = ,b = x,则得公式：（1 + X）' = 1 + Cx + C;x2 +. + C'nxr +. + xn.通项是J1=C：lan-rhr （r = 0, 1, 2,，n）中含有b, k /五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素.当不是很大，卜|比较小时可以用展开式的前几项求（1 + x）"的近似值.2.二项式系数的性质杨辉三角形：对于是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可 以直接用杨辉三角计算.杨

4、辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1.其余各数都等于它肩上两个数字的和.” 二项式系数的性质：（。+）"展开式的二项式系数是：c从函数的角度看C：可以看成是，,为自变量的函数/。），其定义域是:0,1, 2, 3，.当 =6时，/（）的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和 =6时/（）的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质.对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由公式C；=CT'得到.增减性与最大值如果二项式的哥指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的事指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大.由于展开式各项的二项

5、式系数顺次是C =LC=-,C =-“ 11.2小("1)("2)C =, 901-2-3*' =(一 1)( - 2)(- A + 2) (一 1)( - 2)+ 2)( - +1)123.(I)1 2 3(4一1)女£；=1其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如，-1,-2,.）,分母是乘以逐次增大的数（如1, 2, 3,）.因为，一个自然数乘以 一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当出依次取1，2, 3,等值时，C；的值转化为不递增而递减了.又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式

6、系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间.当是偶数时，+ 1是奇数，展开式共有+ 1项，所以展开式有中间一项，并且这一项的 二项式系数最大，最大为C,二当是奇数时，+ 1是偶数，展开式共有+ 1项，所以有中间两项.n-l "+I这两项的二项式系数相等并且最大，最大为c,3 = c了.二项式系数的和为2”，即c：+C+C +G +G = 2".奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C：+C+C；+-=c,；+c；+c"=2"T.常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题.miu

7、ie典例分析二项展开式3赋值求某些项系数的和与差【例1】j的展开式中常数项为.各项系数之和为.（用数字作答）【例2】若展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为 （用数字 X3【例3】（2-«）A. -1:展开式中小片x4的m的余数卬为B. 29C. 2,（）D. 215【例4】若任+ |展开式的各项系数之和为32,则 =,其展开式中的常数项为 .（用数字作答）【例5】（1一%）6 =）+ cixx + a2x2 +- + abx（y,贝Ijg + ax +%+ +， =【例6】在二项式V7+-L 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有2底）理项.7 V【例7】x

8、 +二 的展开式中/的系数是;其展开式中各项系数之和为 .（用数字作答）【例8】 若（2工+ 3=即+6文+ %/+%/+。/4 1贝IJ （4+/+4）2-（4+内尸的值为 （用数字作答）.【例9】设（5、-«的展开式的各项系数之和为M ,二项式系数之和为N,若M-N = 240,则展开式中/的系数为（）A. -150B. 150C. -500D. 500【例10若G + 2）”展开式的二项式系数之和等于64,则第三项是【例11若； + !展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为k x）【例12】的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.7求展开式的第四项；求展开式的常数项

9、；求展开式的各项系数的和.【例 13若(2- ", = 4 + ax + a2x2 + a3xy +a00xw, 求(4 +a2 +% + +q(M)y -(4 +% +%+。)的值【例 14若(l + x) + (l + x)2+ (l + x)“ =4 + %(11) + 4&_1)， 贝I1 % + q +q =【例15若(2x +a4 = & + a2x2 + n4x4 ,则(%+ a2 +。4尸一 ( + %-的值为(用数字作答).【例 16 若(x 2)、=4)+ ax + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5 , 则 + a2 + &

10、; + & + a5 =【例 17 】已知(1 一 2x)7 = “0 + ax + a2x2 + . + 47x 求 I 玛 I +1 % I +1 % I .【例18若（l + 2x）=q）+ q +小丁+。414 + 为人"+，求ao+Q+4+ae的值.【例 1 9 若(2x + 6)4 = % +。3酎 +/ 9 则(4 + a2 + 4 4尸 _ (% + % )2 的值为().A. 1 B. -1C. 0D. 2【例20若(l + 2x)g =% +q(xl) + 42(x l)- +. + 1Go(xl)""',则 % +% +% +

11、 99 = ()A.B. 1(3,<W+1) C. 1(5HW-1) D. l(5,(x)+ l)2222【例21】已知(l -2x)'=&+qx + a2/ + %x ,求:(1) % + C(2 + % + + % ；(2)%+43+45+4；(3) % + U2 + 44 + 46 【例22 若(2 - >/5a) = a。+ ux + a2x2 + a3x3 + + a(xa, 求(g + / + % + +4m ) (4 + % + % + +(3)的值.例23 若(x 2)、=%/ + n4x4 + t/3x3 + a2x2 +,.（用数字作答）则 ay

12、 + a2 + 4 + ”4 + a5 =【例24若(1 + x) + (1 + a)* + + (1 + x)n = 4 + q(x - 1) + 4(x - 1)" 9 贝lj aQ + q +q =【例25若(2片 /+平+ 叫 则叫+墨+舞的值为()A. 0B. 2C. -1D. -2【例26】已知(x +1)" ="0 +ay(x-l) + a2(x-1)2 +a3(x - )3 + + 式九- 1)”( 2 2, w N.).(1)当 =5 时，求 4 + % + a2 + % + % + % 的值；(2)设 =*, 7 =仇+5+- + . 2一3

13、"234n试用数学归纳法证明：当22时，工,( + 1)(-1).3【例27】请先阅读：在等式cos2x = 2cos2x-l(xwR)的两边求导得(cos2x)' = (2cos2x-l)', 由求导法则得(一sin2x) 2 = 4cosA-(-sin.v),化简得sin2x = 2sinxcosx.利用上述想法(或其他方法)，结合等式 (l + x=C：+Cd + C>2+ C：T 尸+C 了 ( xeR ,整数 22),证明：n(l + xr1-l = 2</-'jt-2对于整数23,求证：£(-投比：=0.AT10/,+| 1对于整数23,求证皂(-1)"2c：=0；£一5J)" + 1 + 1【例28】证明：*依：=“("+ 1)2”- A-0“19,+2 >> 3【例29证明：V-一<；=-.£（女 + 1）也 + 2）（” + 1）5 + 2）【例30】求证：C：+2C：+* + C：=2T【例31】求;的二项展开式.【例32】设/。） = 丁-5/+10./一 10/+5X + 1,则尸（X）等于（）A. 1 + y/x B. 1 Wx 2C. 1 + jx - 2 D. 1 - /x【例 33】设 a = 2 + i,