人教B版必修第四册11.2平面的基本事实与推论学案

1、关键能力素养形成类型一符号语言与图形语言间的转化【典例】1.若点A在平面口内，直线a在平面口内，点A不在直线上，用符号语言可表示为()A.A6 % ,a? % ,A?aB.A6 % ,a 6 % ,A?aC.A? %,a? %,A?aD.A6 % ,a? % ,A?a2 .下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是3 .如图所示，根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系点P与直线AB.(2)点C与直线AB.(3)点A与平面AC.直线AB与直线BC.直线AB与平面AC.(6)平面AB与平面AC.【思维弓I】1.依据符号语言即可表示.2. 注意被遮挡的线画成虚线.3. 判断点、直

2、线和平面的位置关系, 选择恰当的数学符号表示出来.【解析】1.选A.点与线、面的关系用6、？；线与面的关系用？、？.B项中，“aS % ”错;C项中“A? %”错;D项中“A?a”错.2 .选D.画两个相交平面时,被遮住的部分用虚线表示，只有D画法正 确.3 .(1)点 P6 直线 AB.点C?直线AB.(3)点A?平面AC.直线ABA直线BC=( B.(5) 直线 AB? 平面 AC.(6)平面ABA平面AC直线AB.【内化悟1在用符号表示点、线、面之间的关系时，如何区别“6”与“？ ” ？ 提示：可借助集合的观点区分“6”与“ ？ ” .点与直线(或平面)的位置关系，用“ 6 ”或“ ？”

3、表示；直线与平面的位置关系 , 用“ ？ ”或“？”表示; 直线与直线相交、平面与平面相交要类比集合与集合交集说明交点或交线.【类题通】三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示 再用符号语言表示.(2)要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“ 6 ”或?”，直线与平面的位置关系只能用“ ？ ”或“？” .【习练破】1 .如图所示，用符号语言可表示为()C.l / B , l?%【解析】选D.显然题干图中52 .如图所示，用符号语言表示以下各概念点A,B在直线a上 直线a在平面口内;点D

4、在直线b上，点C在平面内【解析】根据点、线、面位置关系及其表示方法可知：A 6 a,B 6 a,a ? % ,D 6 b,C6 % .答案： A6a,B6a a? %D 6 b,C 6 %【加练固】如图所本,下列说法正确的是 （）A.可以表水a在内B.把平面口延展就可以表示a在平面内C.因为直线是无限延伸的，所以可以表示直线a在平面口内D.不可以表示直线a在平面口内，因为画法不对【解析】选D.当直线a在内时，直线应该画在平面内，所以选项A 错误；平面可以用平行四边形表示，所以选项B错误；虽然直线是无限 延展的，但画直线时,经常画成一条线段，所以选项C错误;不可以表 示直线a在平面口内，因为画法

5、不对，所以选项D正确.类型二点线的共面问题【典例】证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.【思维弓I】用纳入法证明，即先由两条相交直线确定一个面，再证第 三条直线在这个平面内【证明】已知：如图所示,ll A l2=A,l2Al3 = B,llA l3=C.求证：直线li, 12,13在同一平面内.证明：方法 因为11n 12=a，所以ii和12确定一个平面0c.因为12n 13=B,所以B6 12又因为12? % ,所以B6民.同理可证C6 % .又因为B6 13,C6 13，所以13? % .所以直线11, 12, 13在同一平面内.方法二 :因为11n 12=A，所以1i, 12确定一

6、个平面口 .因为12 n 13=B,所以12, 13确定一个平面(3 .因为 A6 12, 12? a ,所以 A6 % .因为 A6 12, 12? B ,所以 AS B .同理可证 B6 % ,B 6 B ,C 6 % ,C 6 B .所以不共线的三个点A,B,C既在平面0c内，又在平面(3内.所以平面和(3重合，即直线1i, 12,13在同一平面内.【内化悟1判断点、直线共面的依据有哪些?提示 : 判断点、直线共面的依据主要是3 个基本事实与3 个推论 .【类题通】证明点、线共面的两种常用方法(1) 纳入法 : 先由部分点、线确定一个面, 再证其余的点、线都在这个平面内 .(2)重合法:

7、先由其中一部分点、线确定一个平面0c ,其余点、线确定另一个平面B,再证平面与B重合.【习练破】1. 空间两两相交的三条直线, 可以确定的平面数是()A.1B.2C.3D.1 或 3【解析】选D.若三条直线两两相交共有三个交点，则确定1个平面；若三条直线两两相交且交于同一点时 ，若三条直线共面，则能确定1 个平面,若三条直线不共面，则能确定3个平面.2.如图，已知直线AB和ACS在平面口内，直线BCW直线AB,AC分别 相交于B,C两点，试判断直线BC与平面0c的位置关系.【解析】因为ABA BC=Bj9f以B6 AB? % ,即B6 % ；同理,AC A BC=CJ9f 以 C6 AC? %

8、 ,即 C6 % ,即直线BC上有两点B,C在平面0c内，由基本事实2,得直线BC?平面口 .【加练固】求证:如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交，那么这四条直线共面.【解析】 已知:a/b/ c, m a=A,m b=B,m c=C.求证：直线a,b,c和l 共面.证明：如图所示，因为a/ b,由推论3可知直线a与b确定一个平面, 设为 .因为 in a=A,m b=B,所以 AS a,B 6 b,则 AS % ,B 6 % .又因为 AS l,B 6 l,所以由基本事实2可知1? % .因为b / c,所以由推论3可知直线b与c确定一个平面（3 ,同理可知1? B.因为平面和平面（3都

9、包含着直线b与1,且1Ab=B,而由推论2知： 平面与平面（3重合，所以直线a,b,c和1共面.类型三点共线、线共点问题【典例】1.不共线三点A,B,P且P?平面% ,APn % =A,BPA % =B,AB n%=O,当点P在空间中变动时，定点。与动直线AB的位置关系是._2.如图所示，已知空间四边形ABCD,E,H分别是AB,AD的中点,F,G分别是边BC,CD上的点，且"虫上,求证：直线EF,GH,AC交于一点.C.Z） 3【思维弓I】1.注意三点Ai,Bi,0所在的平面，利用基本事实3即可得 出结论.2.可先判断出某两条直线相交，再证明第三条直线也通过这两条直线 的交点.【解

10、析】1.由题意知平面ABP1 %=AB,ABA % =O,所以0平面ABP且OS 0c ,所以OS AB.答案：06 AB2.因为 AE=EB,AH=HD,以 EH/ BD,且 EH=BD.因为二十所以 FG/ BD,且 FG=BD. 3所以EH/ FG,且EH FG,故四边形EFGHl梯形，则EF与GH#相交，设交点为P,P6平面ABC,又P6平面DAC又平面ABCH平面DAC=AC,故 P6 AC,即 EF,GH,AC于一点.【内化悟11 .证明点共线、线共点问题最终都可以归结为什么问题 ？提示：最终都可以归结为利用公理3证明点在直线上的问题2 .利用基本事实3证明点在直线上的关键是什么？

11、提示：关键是恰当选择平面，把直线看作这两个平面的交线【类题通】(1)证明三点共线的方法首先找出两个平面.营后证明这三点都是方法一，这两个平面的公共点.根据基本事实占可排.这些u充於阿卜平司的空钱上有法_ . 画蜃*京二妾立属三应百万 ；一照也在此直线上 |_ 一(2)证明三线共点的步骤步骡一;说明两条直缕其配且交于一点*此聊T:说明这&万两工;其直喜局V:平面相交、交找是第三条直饯I步骤三.得利交拨也过此点.队而博到三线找点i一工 ， . = = K .，_ _ = = J【习练破】1 .已知 ABC在平面 0c外，其三边所在的直线满足 ABA 0c =P,BCA 认=Q,ACT认=R

12、,如图所示.求证:P,Q,R三点共线.【证明】方法一：因为ABA %=P，所以P6 AB,P6平面0c.又AB?平面ABC所以P6平面ABC.所以由公理3可知：点P在平面ABCW平面0c的交线上，同理可证Q,R也在平面ABCW平面的交线上.所以P,Q,R三点共线.方法二：因为APA AR=A,所以直线AP与直线AR确定平面APR.又因为ABA % =P,ACA % =R,所以平面APRH平面 =PR.因为B6平面 APR,CE平面 APR所以BC?平面APR.因为Q6 BC,所以Q6平面APR,又Q6 % ,所以Q6 PR,所以P,Q,R三点共线.2 .如图，ABCWABG 不全等，且 AiBi / AB,BG / BC,CAi / CA.求证:AAi,BBi,CCi交于一点.【证明】如图所示，因为BG/BC,所以BC与BC确定一个平面，记为平面（3 .同理，将CAi与CMf确定的平面记为平面丫.易知B门丫 =CC.因为ABCW ABiG不全等，且 AiB / AB,所以AA与BB相交，设交点为P,P6AA,P6BB.而 AA? 丫，BBi? B ,所以 P6 丫，P 6 B ,所以P在平面（3与平面丫的交线上.又B C 丫 =CC,所以P6 CC,所以AA,BBi,CCi交于一点.【加练固