全等三角形几何证明-通用辅助线

1、.几何证明-常用辅助线（一）中线倍长法：例1、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。已知：如图， ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD < -1 （AB+AC）分析：要证明 AD < 1 （AB+AC）,就是证明AB+AC>2AD ,也就是证明两条线段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边” ，但题中 的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该 进行转化。待证结论 AB+AC>2AD中，出现了 2AD,即中线AD应该加倍。证明：延长 AD至E,使DE=AD ,连CE,则AE=2AD。在4ADB和4EDC中，A

2、D= DE-ZADB=/EDCBD= DC.ADBAEDC(SAS) . AB=CE又在 ACE中，AC+CE >AE . AC+AB >2AD，即 AD < 1 (AB+AC)小结：（1）涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即 中线倍长法（ 它可以将分居中线两旁的两条边 AB、AC和两个角/ BAD和/ CAD集中于同一 个三角形中，以利于问题的获解。课题练习：ABC中，AD是 BAC的平分线，且 BD=CD ,求证AB=AC例2:中线一倍辅助线作法方式1:延长AD到E,使 DE=AD , 连接BE方式2:间接倍长作 CFLAD于 F,作BE LAD的延长线于E

3、连接BEAC延长 MD!ij N, 使 DN=MD 连接CDFC例3: ABC中，AB=5 , AC=3,求中线 AD的取值范围例4:已知在 ABC中，AB=AC , D在AB上，E在AC的延长线上， DE交BC于F,且DF=EF,求证：BD=CEE是AD上一点，且 BE=AC ,延长课堂练习：已知在 ABC中，AD是BC边上的中线,BE交AC于F,求证：AF=EF例5：已知：如图，在 ABC中，AB AC , D、E在BC上，且DE=EC过D作DF /BA 交 AE于点 F, DF=AC.求证：AE平分 BAC课堂练习：已知 CD=AB , /BDA=/BAD, AE是4ABD的中线，求证：

4、/ C= Z BAE作业：1、在四边形 ABCD中，AB / DC, E为BC边的中点，/ BAE= / EAF , AF与DC的延长线 相交于点F。试探究线段 AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论A2、已知：如图， ABC中， C=90 , CM AB于 M , AT平分 BAC交CM于D,交 BC于T,过D作DE/AB 交BC于E,求证：CT=BE.3:已知在 ABC中，AD是BC边上的中线, 于F,求证：AF=EFE是AD上一点,且 BE=AC ,延长BE交AC4:已知 CD=AB , / BDA= Z BAD , AE 是4ABD的中线，求证：/ C=/BAE5、在四边形 A

5、BCD中，AB / DC, E为BC边的中点，/ BAE= / EAF , AF与DC的延长线 相交于点F。试探究线段 AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论D.（二）截长补短法例1.已知，如图1-1 ,在四边形 ABC并，BC>AB, AD=DC B叶分/ ABC求证：/ BAB/BCD180 .分析：因为平角等于180。，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转 化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形, 可通过“截长补短法”来实现 .证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点 E,彳DF，BC于点F,如图 1-2 B叶分/ ABC DE=DF在 RtAAD

6、EW RtACDF,DE DFAD CDRtAADIE RtCDFH。，. / DA巨/ DCF又/ BAB/DAE=180 ,BAB/ DCF=180 ,即/ BAD/ BCB180例2.如图2-1 , AD/ BC点E在线段 AB上，/ AD巨/ CDE / DC巨/ ECB求证：CD=A»BC图2-1C.例3.已知，如图3-1 , /1 = /2, P为BN上一点，且 PDL BC于点D, AaBG2BD求证：/ BAR/BCR180 .例4.已知：如图 4-1 ,在 ABC43, Z C= 2/ B, Z 1 = 72.求证：A&AGCD图4-1作业：1、已知：如图，

7、 ABC虚正方形，/ FAD=/FAE求证：B&DFAE2、五边形 ABCD呼，AB=AE, BGDE=CD / ABG/AEB180 ,求证：AD平分/ CDE（三）其它几种常见的形式:1、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全 等三角形。例：如图1:已知AD为 ABC的中线，且/ 1 = /2,/3=/4, 求证：B曰CF> EF。2、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例：如图2: AD为4ABC的中线，且/ 1 = /2, /3=/4,求证：B日CF>EF练习：已知 ABC AD是BC边上的中线，分别以 AB边、AC边为直角边各 向形外作等腰直角三角形，如图 4,求证EF= 2AD3、延长已知边构造三角形：例如：如图6:已知AO BD, ADL AC于A , BCL BD于B,求证：AD= BC图6C.4、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解 决。例如：如图 7: AB/ CD AD/ BC求证：AB=CD5、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图 8:在 RtzXABC中，AB= AC Z BAC= 90° , /1 = /2, CHBD的延长于E 。求证：BD= 2CE