人教高中数学必修一复合函数问题练习(含答案).docx

1、复合函数问题一、复合函数定义：设y=网)的定义域为 A, u=g6)的值域为B,若A 3B,则y关于x函数的y=f g(x)叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.二复合函数解析式1、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法例1 设f(x)是一次函数，且ff(x)壬4xt3，求f&).= +*0),则 =+ =+ +=+ +解：设 f (x) ax b (aff(x) af (x) b a (ax b) b a2 x ab bja =2或 .b - 1 b = 3或 f (x)= - 2x3 .fg &)的表达式，求 f(x)的解析式，fg(x)的表达式容易配/. /

2、 a2 =4 , ab +b = 3.二 f(X)1+2、配凑法：已知复合函数成g(x)的运算形式时，常用配凑法.但要注意所求函数f6)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域.例2 已知f&+L)=x2 +二 (x>0)，求f(x)的解析式.2 XX解：*/ f & +)= & -U) 2 _ 2 , x +1>2 , f.(.x) x 2=_2 (x >2) .3、换元法：已知复合函数f g (x)的表达式时，还可以用换元法求f6)的解析式.与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化.例3 已知f (心。=x +24-,求f(x功.解：令

3、t = "x * 1,则 t 1 1 , x = (t 1)2 .f (、& t) = x , 二 f(t)- (t-l)2 + 2(t-l)=t2-l, f (x) =x 2 -1 & 之1) , .二 f (x + 1)= (x41) 2 -1 = x 2 + 2x (x- 0).4、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法y =x2 +x与y=g (x)的图象关于点(N,3)对称，求g(x)的解析式.例4已知：函数 解：设M (x, y)为y = g (x)上任一点，且 M (x : y )为M 6, y)关于点(2t3)的对称点.则解得

4、:点 M 7x y')在 y = g (x)上'x = -x - 4,代入得：6 -yy=6-y=(-x 4) 2 + (r 4).整理得 y 二 x 乙一7 x 6 ,，g &) = x2 7 x 6 .5、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造 方程组，通过解方程组求得函数解析式.例 5 设 f (x)满足 f (x2 f C_ )=x，求 f (x). x /、 1解f(X)_ 2W(± x X显然 X W 0,将 x 换成，得：f (_1 )_2 f(X)= 1 XXXv 9 解联立的方程组，得：f(X)二一 .3

5、3x6、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性” 的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式.例 已知：f (0)1 ,对于任意实数、，等式f (x y) f (x) y(2x y 1)恒成立,= = 十7x y求 f &) .解;对于任意实数 X、y,等式f& 一 yA f(X)y(2x y电)恒成立,不妨令 x =0 ,则有 f (-y) = f (0) y(p + l)=l + y(y 宜)亨 2 -y 4.再令y = x得函数解析式为：f(x)=x2+ #1.7、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系

6、式，然后通过 迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式.例8设f(x)是定义在N上的函数，满 足f (1) = 1 ,对任意的自然数a, b都有f (a) + f (b) = f (a "fc) a±),求 f (x).解f 6)+ f (b) = f 3 t) at, a,b = N + ,二不妨令 a = x, b =1 ,得：f (x) +f (1) = f (x + l)- x ,又 f(l) =1,故 f &+1) - f (x) = x +1 令式中的 x= 1, 2 ,n- 1 得：f (2) -f (1)丑，f (3) -f 9)凸"HM，f

7、 3 1L n =将上述各式相加得：f （n） f 4） 2去 + f&) =1X2 I ,2 f <h) = 1 2+ 3fn =n (n 力), 72三 复合函数定域（1）、已知的定域，求的定域思路：函数的定域D,即的作用范D,又f用，作用范不，所以，解得的定域。例1.函数的定域（0, 1）,函数的定域解析:函数的定域（0, 1）即的作用范（例2.若函数,函数的定域解析:先求f的作用范，由即f的作用范，所以，即即，解得故函数的定域（2）、已知的定域，求思路：的定域D,即又f x作用，作用范不，所以例3.已知的定域解析：的定域,知又丘&）作用中x足的定域，由此得，所以f

8、的作用范E,的定域。,函数的定域。,即，由此得所以f的作用范作用，作用范不，所以又f hx作用，作用范不，所以解得的定域（1, e）即函数的定义域为的定义域为例4.已知解析：先求f的作用范围，由解得，f的作用范围为，又f对x作用，作用范围不变，所以,即的定义域为(3)、已知的定义域，求的定义域思路：设的定义域为D,即又f对作用，作用范围不变，所以，解得,的作用范围为 E,F为的定义域。例5.若函数的定义域为,则的定义域为解析：的定义域为，即，由此得的作用范围为又f对作用，所以即的定义域为 四、复合函数单调性问题(1)引理证明已知函数y = f(g&).若u =g &)在区间3,

9、 b )上是减函数，其值域为(c , d),又 函数y = f M)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y = f (g&)在区间(a,b )上是增函数.证明：在区间3,b )内任取两个数xi , X2 ,使a < xi < X2 < b因为u = g &)在区间(a,b )上是减函数，所以 g (xi )> g(X2 ),记ui= g (xi ), U2 = g &2)即 Ul > U2,且 Ul , U2 u(C, d)因为函数y = f (u)在区间(c,d)上是减函数，所以即f (g(XI )< f (g 62 )，故

10、函数y = f(g(x)在区间(a,b )上是增函数.(2).复合函数单调性的判断(3)例题演练例1、求函数y =bg &2 - 2x3)的单调区间，并用单调定义给予证明2解：定义域 X2 - 2x-3 >0= X >3 或 X< 1单调减区间是(3, +")设xi ,X2 (3,Fxi <x2则yi =bg i_(xi 2- 2x3)y2 = bgi_ &2 2- 2x2- 3)22-xi )(x2 + xi- 2)(xi2-2xi - 3) - fe2 -2x2-3)= &2+ >xi 2 01又底数。(、彳1 > &g

11、t; >X2 xi 3，X2 xi 0 X222(XI -2xi -3)62 12X2 -3)*- y2 - yi < 0 即 y2 < yiy在(3, )上是减函数 同理可证：y在(一/yi)上是增函数例2、讨论函数 ()=bg (3 2_2 _1)的单调性. f X a X X解由3耳0得函数的定义域为x K、 1(X I X >1,或 X< - 3则当a时，若x>l ,u=3x2 2x-l为增函数，f (x) =bga (3x2 2x1)为增函数.1 9若X<,u=3x2-2xT为减函数.3/ ()=bg (3 2 _2 _1)为减函数。 f Xa xX当0依<1时，若x>l,则f &)=b ga(3x22x4)为减函数，若K，则3f(X)= Jo ga(3x2-2x -1)为增函数.例3、.已知y=bga &X)在0, 1上是X的减函数，求a的取值范围.解：: a> 0 且 a# 1当a>l时，函数1=2- a x >0是减函数由y二bg aa * )在0, 1上x的减函数，知y=bg a t是增函数，/. a> 1由 xE