中考数学总复习第24讲圆的基本性质教学案

1、第24讲圆的基本性质自主学习（«陕西考情分析»）陕西中考 说明陕西2012 2014年中考试题分析考点归纳考试要求年份题型题号分值考查内容分值比重考点1圆的 主要概念理解圆及其 有关概念考点2圆的 有关性质1. 了解弧、 弦、圆心角 的关系；2. 了解并探索 点与圆的位 置关系；3. 知道圆周角 与圆心角的 关系及直径 所对的圆周 角为直角； 90°的圆周 角所对的弦 是直径；4. 了解三角形 的内心和外 心；5.探索圆的性质2014填空题163以动点和求 最值的形式 考查垂径定 理、勾股定 理、图形面 积的计算等2013填空题163圆与三角形 结合，涉及 三角形

2、中位 线、圆周角 定理、直角 三角形的性 质2012选择题93垂径定理的 有关计算， 涉及勾股定 理和止方形 的性质2.5%陕西近三年对本节内容的考查主要涉及垂径定理和圆周角定理及推论，题型以选择和填空为主，分值为 3分，综合性较强，难度较大，如 2013年和2014年的第16题，都涉 及圆中的动点问题，对学生的理解能力要求较高.预计2015年中考对本节内容的考查仍会出现在选择或填空的压轴题位置，考查垂径定理或圆周角定理的有关计算.夯实基础10t要点就.理T1.主要概念(i)圆：平面上到定点 的距离等于 定长 的所有点组成的图形叫做圆.定点叫圆心，定长_叫半在H O为圆心的圆记二丁O.(2)弧

3、禾蕨圆上任意两点间的部分叫弧，连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，直径是最长的整_.(3)圆心角：顶点在_H殳_,而函两边与圆相交的角叫圆心角.(4)圆周角：顶点在_圆上,角的两边与圆相交的角叫圆周角.(5)等弧：在同圆或鸟而中,能够完全重合的弧.2.圆的有关性质一(1)圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是过圆心的任意一条直线圆是中心对称图形，对称中心是 圆心 .旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转任意一不福蔗，都能与原来的图形重合.(2)垂径定理及推论：垂径定理：垂直于弦的直径 平分弦,并且平分弦所对的两条弧 .垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦_,并且平分弦所对的两

4、条弧 ;弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.(3)弦、弧、圆心角的关系定理及推论：弦、弧、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.推论：在同圆或等圆中，如果两个_圆心角_、 _两条弧 _、 _两条弦 _、 _两条弦心距 中有一组量相等，那么它们所对应的晟各组量而分丽等.(4)圆周角定理及推论：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等.半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90。的圆周角所对的弦是直击

5、".(5)点和圆的位置关系(设d为点P到圆心的距离，r为圆的半径)：点P在圆上？ d= r ;点P在圆内？ _d<r_ ;点P在圆外？ d>r .(6)过三点的圆：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆.经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心； 三角形的外心是三边 垂直平分线的交点，这个三角形叫做这个圆的内接三角形. 锐角三角形 的外心在三角形内部；直角三角形的外心在斜边中点处； 钝角三角形的外心在三角形的外部.(7)圆的内接四边形：圆内接四边形的对角互补 .(8)正多边形和圆的关系把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，

6、这个圆就是这个正边心独多边形的外接圆；外接圆的中心到正如图所示，我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心， 半径叫做正多边形的半径， 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角,8多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.3.相关辅助线学法魅导一一个防范对垂径定理的理解，同学们往往把定理所需要的条件遗漏，如容易漏掉经过圆心或者垂直，而这两个条件必须同时具备.一种思想分类讨论思想：在很多没有给定图形的题目中，常常不能根据题目的条件把图形确定下来，因此会导致解的不唯一性.对于这种多解题必须要分类讨论，分类时要注意标准一致， 不重不漏.如：圆周角所对的弦是唯一的，但是弦所对的圆周角不

7、是唯一的.两条辅助线（1）有关弦的问题，常作其弦心距，构造直角三角形；（2）有关直径的问题，常作直径所对的圆周角.陡曲中考17版更检切记1. （2012 陕西）如图，在半径为5的圆。中，AB, CD是互相垂直的两条弦，垂足为 巳 且AB= CD= 8,则OP的长为（C ）A 3B. 4C. 3，2D. 4 ,：2l与。0相交于A, B两点，M, N是。0,则四边形 MAN晌积的最大值是432. （2014 陕西）如图，O。的半径是2,直线 上的两个动点，且在直线 l的异侧，若/ AMB= 45°3. （2013 陕西）如图，AB是。0的一条弦，点 C是。0上一动点，且/ ACB= 3

8、0° ,点E, F分别是AC, BC的中点，直线 EF与。0交于G, H两点，若。0的半径为7,则G日FH 的最大值为 的.5 .归类探究考点呈现考点D圆周角与圆心角的关系【例1】（2014-山西）如图，。是 ABC的外接圆，连接 OA OB Z OBA= 50° ,则ZC的度数为（B ）A 30°B. 40°C 50°D. 80°【点评】当图中出现同弧或等弧时，常常考虑到弧所对的圆周角或圆心角，一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半，通过相等的弧把角联系起来. 对应词跳 诉守宣甲一二宜工1. （2014 临沂）如图，在。O中，

9、AC/ OB Z BAO 25° ,则/ BOC勺度数为（B ）A. 25° B , 50°C. 60° D , 80°考点后点与圆的位置关系【例2】 矩形ABC珅，AB= 8, BC= 酢，P点在边AB上，且BP= 3AP,如果圆P是 以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（C ）A.点B, C均在圆P外B.点B在圆P外，点C在圆P内C.点B在圆P内，点C在圆P外D.点B, C均在圆P内【点评】 本题考查了点与圆的位置关系的判定，根据点与圆心之间的距离和圆的半径 的大小关系作出判断即可.对应调绯”追皂0尸友；二2.在数轴上，点A所

10、表示的实数为3,点B所表示的实数为a,。A的半径为2.下列说 法中不正确的是（A ）A.当a<5时，点B在OA内B.当1va<5时，点B在OA内C.当a<1时，点B在OA外D.当a>5时，点B在OA外考延> 垂径定理及应用-1的1【例3】（2014 -南宁）在直彳至为200 cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图.若油面的宽AB= 160 cm则油的最大深度为（A ）A. 40 cm B. 60 cmC. 80 cm D. 100 cm【点评】本题考查垂径定理及其推论、勾股定理、方程思想.对应训练2?有田型£££；3. （2014

11、 哈尔滨）如图，O。是 ABC的外接圆，弦 BD交AC于点E,连接CD且AE= DE, BC= CE.(1)求/ ACB的度数；(2)过点O作O吐AC于点F,延长FO交BE于点G DE= 3, EG= 2,求AB的长.解：在4AEB和4DEC中, / A= / D,AE= ED.AEB DECASA,EB= EC,又BO CEBE= CE= BC,/ AEB= / DEC EBC为等边三角形，/ ACB= 60°(2)解：,. OFLAC AF= CF, EBC为等边三角形， . / GEF= 60° , . . / EGF= 30° ,. EG= 2,EF= 1

12、,又. AE= ED= 3, . CF= AF= 4, . AC= 8, EC= 5, . BC= 5,作 BMLAC55 3于点 M,. /BC阵60, ./ MBC= 30,C阵2，BIM=1bC-CM =. .A隹AC-CM112=, . AB= ：aM+ bM = 7舄铝专KN4,卜七位久婆就清1.试题4ABC内接于半径为r的。O,且BOAB>AC,ODL BC于D,若OD= y,求/A的度数.11错解 解：当圆心 O在 ABC内时，如图，连接 OB OC.-. OD= -r =2OC； ODL BC,/ OCD= 30° ,DOC= 60° .同理，/ BOD= 60° ,/ BOC= 120° , / A= 60° .当圆心 O在ABC外时，如图，同上，可求得/ BOC= 120°，/ A= Z BOC= 120° .综上，/ A的度数为60°或120° .剖析 上述解法看上去好像思考周全，考虑了两种情况，其实又错了，因为BO AB>AC BC是不等边 ABC的最大边，所以/A= 60