【精品教案】北师大版八年级下册数学十字相乘法及分组分解法-教师版(提高)

1、十字相乘法及分组分解法【学习目标】1 .熟练掌握首项系数为1的形如x2 （p q）x pq型的二次三项式的因式分解.2 .基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.3 .对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.（但应控制好难度）4 .掌握好简单的分组分解法.【要点梳理】要点一'、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式x2 bx c ,若存在 pq c，则x2 bx c x p x qp q b要点诠释：（1）在对x2 bx c分解因式时，要先从常数项C的正、

2、负入手，若c 0,则p、q同号（若c 0 ,则出q异号），然后依据一次项系数b的正负再确定p、q的符号（2）若x2 bx c中的b、c为整数时，要先将c分解成两个整数的积（要考虑到分解的各种可能），然后看这两个整数之和能否等于 b ,直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式ax2 bx c（aw0）中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积，即a aa2 ,常数项c可以分解成两个因数之积，即c cQ2,把五a2, G, a排列如下：a人wa c2按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2 a2Gl，若它正好等于二次三项式ax2 bx c的一次项系数b ,即a1c2 a2clb

3、,那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x c1与a2x c2之积，即 ax2 bx c ax g a?x c2 .要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数a一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次 三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.要点三、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分 步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式 分解一一分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有:r方法分类分组方法特点分组 分解 法四项二项

4、、二项按字母分组按系数分组 符合公式的两项分组三项、一项先完全平方公式后平方差公式一五项三项、二项各组之间有公因式六项三项、三项二项、二项、二项各组之间后公因式三项、二项、一项可化为二次三项式要点四、添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项)，使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形 .添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.【典型例题】类型一、十字相乘法1、分解因式：x2 (a 1)x (6a2 13a 6)【答案与解析】解：原式=x2 a 1 x

5、2a 3 3a 2x 2a 3 x 3a 2x 2a 3 x 3a 2【总结升华】 将a视作常数，就以x为主元十字相乘可解决.举一反三：【变式】分解因式：3xy y2 3x 4y 5【答案】解：原式 y2 (3x 4)y 3x 5 (y 3x 5)( y 1)1 r r J - J 3 为-5工一一 f j U伊2、分解因式:(白。-一14(4"一+ 24【思路点拨】该题可以先将a2 a看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再套用一次十字相乘.【答案与解析】- t (a 1 -)、/-2解：因为a %X id (口 一 口) - 1 Z22一 2.22 a a 12 a a 14 a

6、a所以：原式=(产一口)一 2 d-4-122_2_=(a a 2)( a a 12)= a1a 2a 3a 4【总结升华】十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家一定要熟练掌握 举一反三：【变式】分解因式：(x2 3x)2 2(x2 3x) 8;【答案】解：原式 x2 3x 4 x2 3x 2x 4 x 1 x 1 x 23、分解下列因式2222(1) (x x 1)(x x 2) 12(2) (x 3x 3)(x 3x 4) 8【答案与解析】解：(1)令 x2 x 1 t ,则原式 t(t 1) 12 t2 t 12 (t 4)(t 3) (x2 x 5)(x2 x 2)(x 2)

7、(x 1)(x2 x 5)(2)令 x2 3x m ,原式(m 3)(m 4) 8 m2 m 20 (m 5)( m 4)2_2_2_(x 3x 5)(x 3x 4) (x 4)(x 1)(x 3x 5)【总结升华】此两道小题结构都非常有特点，欲分解都必须先拆开，再仔细观察每个式子 中都存在大量相同的因式一整体性想法.整体性思路又称换元法，这与我们生活中搬家有些 类似，要先将一些碎东西找包，会省许多事.类型二、分组分解法歌4、分解因式：x2 2xy y2 3x 3y 2【思路点拨】对完全平方公式熟悉的同学，一看见该式，首先想到的肯定是式子中前三项 恰好构成(x y)2 , 第 4、5 项 3(

8、x y).【答案与解析】解：原式(x y)2 3(x y) 2 (x y 1)(x y 2)【总结升华】熟记公式在复杂背景下识别公式架构很重要；我们前面练习中无论公式、配方、十字相乘一般都只涉及单一字母，其实代数式学习是一个结构的学习，其中任一个 字母均可被一个复杂代数式来替代，故有时要有一些整体性认识的想法.举一反三：【变式11分解因式：(1) a222=2b a 2c2 2b a c2 1 c2 1=2b a c2 1 2b a c2 1 .类型三、拆项或添项分解因式 5、(2015春?吉州区期末)阅读理解：对于二次三项式 x2+2ax+a2可以直接用公式法分 解为(x+a) 2的形式，但

9、对于二次三项式x2+2ax-8a2,就不能直接用公式法了.我们可以 在二次三项式x2+2ax-8a2中先加上一项a2,使其成为完全平方式，再减去a2这项，使整个 式子的值不变，于是又：x2+2ax - 8a2=x2+2ax - 8a2+a2 - a2=(x2+2ax+a2) - 8a2 - a2=(x+a) 2 - 9a2 b2 ac bc22(2) 5a 5b 3a 3b(3) 3xy y2 3x 4y 5【答案】解：(1)原式 a b a b cab ababc;2. 2(2)原式5 a b 3 a b5 a b a b 3 a b ab 5a 5b 3；(3)原式3xy 3xy2 4y

10、53x(y 1) (y 1)(y 5)(y 1)(3x y 5).【变式2 (2016秋？昌江区校级期末)分解因式：a2 4b2 c=(x+a) +3a (x+a) - 3 4ab 2ac2 4bc2 1 .【答案】解：a2 4b2c44ab2ac2 4bc212. 2_2,24,=a 4b 4ab 2ac 4bc c 1-5 -=(x+4a) (x-2a)像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添(拆)项法.(1)请认真阅读以上的添(拆)项法，并用上述方法将二次三项式：x2+2ax-3a2分解因式,(2)直接填空：请用上述的添项法将方程的x2-4xy+3y2=0化为(x-)?x -=0并直接写出

11、y与x的关系式.(满足xyw0,且xwy)22(3)先化简2-三二L,再利用(2)中y与x的关系式求值. y |x| xy【答案与解析】解：(1) x2+2ax- 3a2=x2+2ax+a2 - 4a2=(x+a) 2 - 4a2=(x+a+2a) (x+a - 2a)=(x+3a) (x- a)；(2) x2 - 4xy+3y2=x2 - 4xy+4y2 - y2=(x - 2y) 2 - y2=(x-2y+y) (x - 2y - y)=(x - y) (x- 3y);x=y 或 x=3y;故答案为：y; 3y2 _ , 2 _ 2 _ 2(3)原式三XVxy一交K若x=y,原式=-2;2

12、右x=3y,原式=_ .3【总结升华】此题考查了因式分解-添(拆)项法，正确地添(拆)项是解本题的关键.【巩固练习】-.选择题1. （2016秋惠民县期末）如果多项式 mx2 nx 2能因式分解为3x 2 x p，那么下列结论正确的是().A. m=6 B. n = 1 C. p=-2 D. mnp=32.若 x2a b x ab x2 x 30,且 b a ,贝U b 的值为().A.5B. -6C. 5D.62 3.将x y 5 x y 6因式分解的结果是().A. x y 2 x y 3B.x y 2 x y 3C. x y 6 x y 1D.x y 6 x y 14 .(滨湖区校级期中

13、)把多项式1+a+b+ab分解因式的结果是()A. (a-1) (b-1) B. (a+1) (b+1)C. (a+1) (bT) D. (a- 1)(b+1)5 .对4x2 2x 9y2 3y运用分组分解法分解因式，分组正确的是 () 2222A. (4x2x) ( 9y 3y) B. (4x 9y ) (2x 3y)C. (4x2 3y) (2x 9y2)D. (4x2 2x 3y) 9y26 .如果x3 3x2 3x m有一个因式为x 3 ,那么m的值是()A. -9B.9C.-1D.1二.填空题7 . (2016?黄冈模拟)分解因式：y2 4 2xy x2 .8.分解因式：4a2 20

14、ab 25b236 =9. x5 x3 x2 1分解因式的结果是 10 .如果代数式16犬+疗有一因式x-4 ,则a的值为.11 .若a3 a2b ab2 b3有因式a b ,则另外的因式是 .12 .分解因式：(1) kx2 (2k 3)x k 3； (2) x2 (n 2m)x m2 mn三.解答题13 .已知 x y 0, x 3y 1,求 3x2 12xy 13y2 的值.14 .分解下列因式：(1) a2 a2 8 a2 a 12(2) 4xy xy3 4x2 y x3y4222 c 2(3) 4x y 5x y 9y(4) 2a4 a3 6a215. (2015?巴南区一模)先阅读

15、下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的 方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等.(1)分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法.如：ax+by+bx+ay= (ax+bx) + (ay+by)=x (a+b) +y (a+b)=(a+b) (x+y)2xy+y2 - 1+x2=x2+2xy+y2 - 12=(x+y) 1=(x+y+1) (x+y 1)(2)拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法.如：x2+2x - 3=x2+2x+1 - 4=(x+1) 2-22=(x+1+

16、2) (x+1 - 2)=(x+3) (x - 1)请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：(1)分解因式：a2 - b2+a - b；(2)分解因式：x2-6x-7;(3)分解因式：a2+4ab 5b2.【答案与解析】一.选择题1 .【答案】B;【解析】 3x 2 x p 3x2 3P 2 x 2P mx2 nx 2, 2p 2,3 p 2 n ,解得 n 1 .2 .【答案】B;【解析】x=x y 4=x y 2 x y 2 .8.【答案】2a 5b 6 2a 5b 6 ;【解析】原式4a2 20ab 25b2 36 x 30 x6x5,由ba,所以b 6.3 .【答案】C;2【解析】把x

17、y看成一个整体，分解x y 5 x y 6 x y 6 x y 1 .4 .【答案】B;【解析】解：1+a+b+ab=(1+a) +b (1+a) =(1+a) (1+b). 故选：B.5 .【答案】B;【解析】A各组经过提取公因式后，组与组之间无公因式可提取，所以分组不合理 .B第一 组可用平方差公式分解得 2x 3y 2x 3y ,与第二组有公因式2x 3y可提取，所以分组 合理，C与D各组均无公因式，也不符合公式，所以无法继续进行下去，分组不合理 .6 .【答案】A;【解析】由题意当x 3时，代数式为零，解得m 9.二.填空题7 .【答案】x y 2 x y 2 .【解析】解：y2 4

18、2xy x2一 2 c2,=y 2xy x 4【解析】由题意当x 4时，代数式等于0,解得a 16.11 .【答案】a b a b ；【解析】a3 a2b ab2 b3 a2 a b b2 a b a b 2 a b12 .【答案】kx k 3 x 1-11 -2【解析】kx2 (2k 3)x k 3kx k 3 x 1 ；22x (n 2m)x m mn x m x m n三.解答题13 .【解析】解：3x2 12xy 13y2 3 x y x 3y 4y21由 x y 0, x 3y 1 解得 y 22所以，原式 3 0 1 411.214 .【解析】a 1 a 2 a 2 a 3 ；22解：(1)原式 a a 2 a a 6(2)原式 xy 4 y2 4x x222xy x 2 yxy x y 2 x y 22 _ _2y 2x 3 2x 3 xa2 2a 3 a 2(3)原式 y2 4x4 5x2 9 y2 4x2 9 x2 143c 222c(4) 2a a 6a a 2a a 61