关于高等数学中求极限的方法小结

1、高等数学中求极限的方法小结2.求极限的常用方法2.1 利用等价无穷小求极限这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小 .(2) 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷 小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替).3设 、 且lim lim ;则： 与 是等价无穷小的充分必要条件为：0( )常用等价无穷小：当变量x 0时,x1 2sin x x,tan x x,arcsin x x,arctan x x,e 1 x,ln(1 x) x,1 cosx x ,2jx 小x x,(1 x) 1 x .求 l

2、xm01 cosxxarctan x1 2解 Q x05t ,1 cosx x ,arctan x x ,21 2-x 1故，原式 lim J -x 0 x221例 2 求 lim (1 x)3 1 .x 0 cosx 1药.2 11 21 2斛 Q x05t,(1 x )1 x ,1 cosx - x ,因止匕:321 2 x原式3 lim -3x 0 1 2 x2例 3 求 lim 1 3 1 x 0 tanx例4求lim0 2xln(1x)0 日t,ex1 x,ln(1 x) x ,故:1- x故：原式= lim 3x 0 x解 x01, 3/1 x 1 - x,tan x x ,3原式

3、试确定常数0时,axn与 ln(1x3） x3为等价无穷小.lim 4x 0 ax而左边lim3x2. 23 3x1 xn 1 naxlim 1 x 0 6a36a3x5lxm0b，1.22 x lim 2 x 0 2x22.2利用洛必达法则求极限利用这一法则的前提是:函数的导数要存在;0比0型或者型等未定式类型.洛必达法则分为3种情况：（1） 0比0,无穷比无穷的时候直接用.（2） 0乘以无穷，无穷减去无穷，通项之后，就能变成（1）中形（无穷大与无穷小成倒数关系时）通常无穷大都写成无穷小的倒数形式 式了 .（3） 0的0次方，1的无穷次方，无穷的 0次方，对于（指数，哥函数）形式的方法主要是

4、取指数0与无穷的形式了 .的方法，这样就能把骞函数指数位置的函数移下来了，就是写成洛必达法则中还有一个定理：当x a时，函数f（x）及F（x）都趋于0；在点a的某去心邻域内,lim "lim 变Hm -f（x）、F（x）的导数都存在且F （x）的导数不等于0; x a F（x）存在，那么x a F（x） x a F （x） . 1求极限有很多种方法如洛必达法则，夹逼定理求极限的秘诀是：强行代入，先 定型后定法.3X厂 2 s X8 XX 2 llnsi 阴 Hx 求 6 例221100-2-2-4000分析秘诀强行代入，先定型后定法（0 0）40 0）甘皿（此为强行代入以定型） 00

5、00 0可能是比0 0高阶的无穷小，倘若不这样，或(0 0)(0 0) 0 00 0040202(0 0)(0 0) 0 00 0041lxm0( sx2 cos x2 xlim x 0一一 22sin xcos x.2sin xlxm0(x sinxcosx)(x sinxcosx)x sin xcosxsin xcosx211mox sinxcosx由洛必达法则的2,有：上式= 2lim21 cos x.2sin x3x224sin x4一 lim 2-一3x 0 x 3求1xm0x e 2 xlim/ x(ex 0 (x1)x)1m求limx 13 x-x原式limx 1求1xm02x

6、1xim0x e2 x3x 2x x 13x2 33x2 2x1x xe e 2xsin xlim16x6x（二次使用洛必达法则）原式limx 01 cosx1msin xlxmx xe e 小i 2 .0 cosx210 求 1imx2 x 1 x4x 32x原式 lim 24 x 1 2x 2tan x11 求 lim原式12求limx 1x 2 xQ lim0 xsin xarcsinlimx 0原式二tanx x'xxx cot xln x12- cos x3x22 cos x223x cos x1 2(1 cos)- xlim22x 0 3x cos x原式 limx 02s

7、in x2 cos x.2sin xx limx 02sin xcosx例13.2sin x原式 limx 0142 cos x).2.-2x sin求 lim x(原式lim15limx 一2Q secx2xcos x一 22sin xxarctan x).arctanxsecx tan x .limx1 sin x tan x cosx cosx故原式 limx 一 21 sin xcosx0°” 型:16 求 limx 0原式 limx 0In x“1 ” 型:limx 0(x sin xcosx)(x sin xcosx)例17 求lim x解原式limx18 求 limx

8、0/ 1 .tan x(一)x原式 lim ex 01 .tanxln(-)xlim( tanxln x)x 011 x21xsinxcosxlimx亡1. xcosxlim 0.x - sin x 2limx 0xln x elimex 0e* ln xx -eelim ex 0tanxln xlim e tan ex 0xln xtanxxlim( xln x) 0, x 0因此：原式=1.2.3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正、余弦的加减的时候要特别注意)泰勒中值定理定理：如果函数f(x)在含有n的某个开区间(a,b)内具有直到(n 1)阶的导数，则对任一x (a,b),有f

9、 (x)f(Xo) + f (Xo)( X- Xo)+f (x。)/ v 2,-(x-x。)+ 12( x”) n + Rn( x) n!f (n 1)其中 R(x)IE x%n1,这里是x与%之间的某个值.1例19利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限lxm0sin x xcosx3 sin x解由于公式的分母sin3x x3(x0),我们只需将分子中的3 x sin x x 3!3、0( x ), xcosx3 x2!0(x3)代入计算,于是 sin x xcosx3 x x 3!0(x3)3°1 0°药0(x3) 3x3 0(x3),对上式做运算时，把两个x3高阶

10、的无穷小的代数和还是记作0(x3).例 20 lim x3x3 x2 432x 2xlim - x11 x1-24x1x3,limxn2 1(n1)2limx12n1nlimx2)n(2)n3n 1limxn23232.4无穷小与有界函数的处理方法面对复杂函数，尤其是正、余弦的复杂函数与其它函数相乘的时候，一定要注意这个方法.3例21 求limXx sin x解原式lim(1XXsinX1 .)lim(1 -sin x) 1. x X x2.5夹逼定理主要介绍的是如何用之求数列极限，这个主要是看见极限中的通项是方式和的形式，对之放缩或扩大.1例22求limnsin n.2sin n1i sin

11、 nn 1sinlimnsin in1 n olimnsin in1 n 1i sin ni n sin nlim1i 一 n1 n1sin0limn1 .2sin x dX 一 ,0，根据夹逼定理limXi sin n1 n -i2.6等比等差数列公式（的绝对值要小于1) 123设| | 1 ,证等比数列1,的极限为0.1 ,为使Xna，而 Xn anlnlnln，n lnlnlnn N时，即nlnN 1lnlnlnnlnln由定义知lim2nlimn因此，很显然有:0.99lim 0.991. nn2.7 各项以拆分相加3将待求的和式子的各项拆分相加来消除中间的大多数，主要应用于数列极限可

12、以使用待定系数来拆分简化函数例 24 求 lim 1 2*33*4解原式 lim 1n2.8 求左右极限的方式25 求函数f(x)1, x ,x1, x0时，f x的极限.lim f xx 0lim xx 01,lim f xx 0lim因为limx 0limx 00时，f(x)的极限不存在.26x lim x 0 xlimx 0x ( x)xlim ( xx 0因为limx 0x ( x)xlimx 00,所以，原式二0.1 lx ex2.9 应用两个重要极限.sin xlim 1 , limx 0 xx例27求1xm0ex 1x解记x ln 1ex 1 t,则原式= lim t 01 tl

13、im0ln 128 求 lim n原式二lim n29 求 lim n1 n n-1原式=lim 1n1n-1因为limx1=e.1=e.2.10根据增长速度ln xxn(xn30 求 lim 二x en为正整数,原式=lim -1一 =limxn n 12- elimx31 求 lim xln xxnln x lim x x1 lim 一n x nx0.同函数趋近于无穷的速度是不一样的,的x次方快于x! （x的阶乘）快于指数函数，快于募函数，快于对数函数所以增长速度：lnx xn ex （x).故以后上述结论可直接在极限计算中运用2.11换元法1例 32 lim (1).x x解令x t ,

14、1 tt 1 t1 t 11则原式=lim 1 - limlim 1 1 =et t t t t t 1t 12.12 利用极限的运算法则1利用如下的极限运算法则来求极限：(1)如果 lim f x A,lim g x B,那么 lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) A B若又有B 0,则lim2则3公 g(x) lim g(x) B(2)如果 lim f(x)存在，而 c 为常数，则 limcf(x) clim f (x)(3)如果 lim f(x)存在，而 n为正整数，则 lim f(x)n lim f(x)n(4)如果 (x)(x),而 lim (x) a,

15、 lim (x) b,则 a b(5)设有数列xn和yn ,如果lim xn ynA B;那么，lim xn ynA B; lim xnyn A Bnn当 yn 0 n 1,2,.且 b 0 时，lim 区 nynB2.13 求数列极限的时候可以将其转化为定积分 1n例33已知f x17 ,在区间0,1上求lim fix (其中将0,1分为n个0i 1小区间xixi , xi1 i xi , 为xi中的最大值).n1解由已知得：lim f i xif x dx0i 10.4(注释：由已知可以清楚的知道，该极限的求解可以转化为定积分，求函数f x在区间0,1上的面积)在有的极限的计算中，需要利用

16、到如下的一些结论、概念和方法：(1)定积分中值定理：如果函数 f x在积分区间a,b上连续，则在a,b上至少有一个点，使下列公式成立：fxdx xba a b；a(2)设函数f x在区间a,上连续，取t a,如果极限lim f xdx存在,t a则称此极限为函数f x在无穷区间a, 上的反常积分，记作 。f(x)dx,即tf (x)dx lim f(x)dx; at a设f x在区间a,b上连续且f x 0,求以曲线y f x为曲线，底为a,b的曲边梯形的面积A,把这个面积A表示为定积分：A= bf xdx的步骤是： a首先，用任意一组的点把区间a,b分成长度为x(i 1,2,n)的n个小区间

17、，相应地把曲线梯形分成n个窄曲边梯形，第i个窄曲边梯形的面积设为其次，计算 A的近似值A f ixi x in然后，求和，得A的近似值A f ixi ；i 1nb最后，求极限，得 A lim。f ( i) xia f (x) dx.i 1例34设函数f x连续，且0,求极限limxx t f t dt .0 2x.x f x t dt0x x t f t dt解 lim -0： = limx 0 xx 0x f x t dt0xxf t0dtxtf t dt0xx f u du0xf t dt+xf x xf x由洛必达得：lim -一xx 0 xf u du xf xff 01lim -dx

18、1 x2 .=lim arctanx lim xx -arctanx =一() 22x 0 f f x f 0 f 02例35计算反常积分：解 dx9 = arctan x1 x22.14 利用函数有界原理证明极限的存在性，利用数列的逆推求极限(1)单调有界数列必有极限；(2)单调递增且有上界的数列必有极限，单调递减且有下界的数列必有极限.3例36 数列xn :行，J2 xn 1 ,。22 % , .极限存在吗？解 由已知可得xn单调递增且有界，由单调有界原理，知 lim xn存在. n又 xn2 xn 1 , lim xn lim2 xn 1nn 记 lim xn =t，则 t J2 t , n即可证xn 2 ,得到t 2.2.15 直接使用求导的定义求极限当题目中告诉你F(0) 0时，F(x)的导数等于0的时候，就是暗示你一定要用导数定义：(1)设函数y f x在点x0的某个领域内有定义，当自变量 x在x0处取得增量x (点x x°仍在该领域内)时，相应的函数取得增量y f x x0 f x0 ;如果y与x之比x 0时的极限存在，则称函数 y f x在点x0处可导，并称这个极限为函数y f x在点入处可导，并称这个极限为函数 y f x在点小处的导数，记作y f x x0f x0x0lim 一 lim ;x 0 x x 0x(2)在某点处