函数极限连续

1、第一讲函数、极限、连续1 .考试要求1 .理解函数概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系2 . 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性3 .理解复合函数及分段函数概念，了解反函数及隐函数的概念4 .掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念5 .理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右 极限之间的关系.6 .掌握极限的性质及四则运算法则.7 .掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.8 .理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求 极限.9 .理解函数连续性的概念(含左连续与

2、右连续)，会判别函数间断点的类型 .10 . 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质.n.考试内容一.函数1 .函数的概念.fx I y f(x) y R注：(1)函数f的定义包括两个部分：定义域Df与对应法则f .y f(x),s f(t)函数关系相同.(2)函数新的表达形式(极限，积分，级数，方程)(3)如何确定值域(在最值存在的情况下，由最大值最小值确定)(4)由实际问题建立函数关系.2 .函数的性质3 . 1 有界性 x (a,b),有 M 0,使|f(x) M,x (a,b)f (x) M ,有上界；

3、f (x) M有下界f (x)有界 f (x)有上界且有下界注：(1)几何特征1(2)常用有界函数 sinx, cosx, arctanx , arc cot x, sin - x(3)函数是否有界与所讨论区间有关(4)确定界与求最值有关(5)有界性在微积分中的结论与应用.闭区间上的连续函数有界，可积函数有界 .有界函数的导函数与原函数不一定有界.2. 2 单调性xi x2 I ,有 f(xi) f(x2)( f(xi)f(x2), f(x)增(减)注：(1)图像特征(2)单调性与区间有关(在整个定义域上单调增加 ，或者单调减少的函数称为单调 函数).(3)单调性在微积分中的结论与应用.单调性

4、由f (x)的符号确定，单调性可用于证明不等式.(凡是用不等式定义的概念都可以证明不等式)单调函数的导函数与原函数不一定单调.2 . 3 周期性 f(x T) f (x)注：(1)图像特征(2)周期性在微积分中的结论与应用.可导周期函数的导函数是周期函数.可积周期函数的原函数不一定是周期函数.2.4 奇偶性 x (l,l),且 f(x) f(x) ( f(x),则 f(x)偶(奇)注：(1)图像特征(2)奇，偶函数的和，积以及复合的奇偶性.奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇*奇=偶，偶*偶=偶，奇*偶=奇(3)奇偶性在微积分中的结论与应用.可导奇函数的导函数为偶函数，可导偶函数的导函数为奇函数；3 .

5、函数的种类3. 1基本初等函数 xy C,y x,y a,y ln x, y sin x , y cosx, y arc sin x , y arccosx .3. 2复合函数多合一y f(u),u (x) 一拆多 y f( (x)1 ,、3. 3 反函数 y f (x), x f ( y)注：(1) y "*)与* f1(y)的图形是同一个函数(同一条曲线) ，y f(x)与1y f (x)的图形关于y x对称(2)单值函数的反函数存在，其反函数也是单值的.3.4初等函数3. 5 隐函数 F(x,y) 03. 6 哥指函数f(x)g(x) eg(x)lnf(x)3. 7分段函数典型

6、的分段函数及隐含的分段函数 y f (x)fi(x), xfz(x),x, y f (x), y f(x), y x0sgn f(x) y max f (x), g(x) , y min f (x), g(x),3. 8参数方程(数一、二要求)3. 9极坐标方程二.极限1.极限定义lim xn A0, Nn若记 f (n) xn, Jm f (n)lim f (x) A0, Xlim f (x)A0,x x00,当 n N 时， Alim xn n0,当 xX时，f(x)A0,当 0xXo 时，f (x)A注：(1f()A, f( ) A的几何意义.水平渐近线，单侧水平渐近线.(2 )重要结果

7、：lim n/n 1, lim a 1(a 0), limqn 0(|q| 1) nnn2.单侧极限lim f (x) f (x0 0), lim f (x)f (x0 0)X X)x Xolim f(x)A f(x0 0) f(x0 0) A.x X)xlim f (x) f ()im f(x) f () f( ) A f( ) f().注：(1)分段函数分段点的讨论a bx2, x 0例：当a, b满足什么条件时，x 0时，函数f(x) sinbx有极限？,x 0(2)隐形分段函数的分段点记住lim exX 0lim ex0, limarctan, limarctan x ox 0x2 x

8、 oxlim arccot -0, lim arctan -x 03.极限的性质3. 1唯一性3. 2局部保号性0若 lim f(x)x x(x )f(x) 0A 0,则U(x0)(|x| X),使得在其内有注：(1)号性(2)逆命题不成立3. 3局部有界性若lim f(x) A 0存在，则 U°(Xo)(|x| X),使得在其内f(x)是有界的，即 x X(X )注：数列整体有界4.无穷大量无穷小量无穷大4. 1 定义 lim f(x) 0 无穷小，lim f (x)注：(1)无穷小，无穷大与过程有关 .(2)无穷大与无穷小互为倒数(0除外，同一过程)(3)无穷大与无界的关系无穷大

9、一"定无界，无界不一"定无穷大.(4)无穷大是极限不存在的情况 .(5)无穷大也不需要单调增加或单调减少.4. 2无穷小的主要运算任意有限个无穷小的和与积仍是无穷小有界量与无穷小之积仍是无穷小例:limX2x 100(5sin x6arctan x)lim f (x) A存在 f (x) A (0)5. 无穷小的比较设 lim (x) 0,lim (x) 0,且 limx) l,则 (x)(1) l0,l,(x)与(x)同阶(2) l1,(x) (X)(3) l 0,(x)是(x)的高阶无穷小，(x) o( (x)(4) l(x) o( (x)(x)的k阶注：(1) lim

10、 (x) lim (x) 0,若 lim k(x) l,l 0, l ,(x)是(x)无穷小. limoJl0(x)(3)等价无穷小的应用(*)若 (x) (x) ,(x) (x)则 lim (x) f (x) lim (x) f (x).(x)(x),lim f (x) lim f (x), (x)(x)只在乘除法中应用，x sin x的等价无穷小可以用泰勒公式常用的几个等价无穷小当x 0时，x sin x tan x arcsin x arctan x ex 1 ln(1 x),2 x x. k1 cosx, a 1 xln a(a 0) , (1 x) 1 kx , Ji x 12,1

11、x21例：limx 01 cos . 1 cosx6.极限存在法则6. 1单调有界数列必有极限注：单增+上界单减+下界极限存在例：设函数f(x)在(，)内单调有界，xn为数列，下列命题正确的是(A)若xn收敛,则f(xn)收敛.(B)若xn单调，则 f (2)收敛(C)若f(xn)收敛，则xn收敛.(D)若 f(xn)单调，则xn收敛“从实例出发猜测可能的结果，然后予以证明”是数学的一条常用的研究路线例：设 x172 , xn 1 jxn_2 (n 1,2,),求极限 lim xn6. 2 如果 g(x) f (x) h(x), x U 0(x0),且 lim g(x) lim h(x) A

12、,X xx x0lim f(x) Ax x0一12n例：lim ( - -2) .n nn 1 nn 2 nn n注：适当的缩放.7 .两个重要极限7. 1lxm0sin x推广型:22s2XX1 - X1/V Hx 2e1- X!/ X推广：1 , lim (x) 0 iim(i1(x)产 e一1例：(11209)lxm0(-2x0, lim (x) 0 ,则 lim sin凶 10(x)x例：(11309)设 f (x) lim x(1 3t)，则 f (x)8 .极限的运算法则若 lim f (x) A , lim g (x) B ,则f(x) Alim f (x)g(x) A B ,

13、lim f (x) g (x) AB, lim - , ( B 0)g(x) Blim (x) a, lim f(u) A,则 lim f (x) A. x x0u ax x0注：(1)参加运算的只有有限项，且每项极限均存在0,n mlimxnn 1a°x&x Lanm m 1a0xhx Lbm,n m(2)四则运算的讨论和差：一存，一不存和差一定不存在，两不存和差不确定一存，和存另一极限定存积商：一存，一不存(或两不存)积不确定，一存，积存另一极限不确定注：在反常积分，无穷级数收敛中的应用9 .洛必达法则9. 1 若 lim f (x) 0 , lim g(x) 0 ,且

14、g (x) 0 , lim x a(x则 Hm 要 lim 3 .Xxa)g(x)Xxa)g(x)方法 使用洛必达法则，将求函数的商的极限的问题，变成求导函数的商的极限的问题.有时，后者容易计算.2 cn 1x sin 一注：(1)逆定理不成立.反例limxx 0 sin x(2)对于一型的未定式，也有类似的法则.型未定式与2型的未定式不同，只0需分母是无穷大，即可使用.(3)此外，还有0,1 ,00, 0型的未定式，都必须变成商，再用洛必达法则.9. 2求极限常用的方法等价代换(变量代换，有理化)，四则运算，洛必达法则，泰勒公式三连续1 .定义 若limn y 0,即limf(x) f(x0

15、),则称y f (x)在x x0点连续x 0x 5注：连续就是极限等于该点的函数值.因此，通过计算极限，可以判定连续.反过来,如果已知连续，求极限时，只需计算函数值.2 .单侧连续左连续lim f (x)x x0lim f (x) f (x0)x x3f(x0)与右连续 lim f (x)f (x0).x x0f(x0)lim f (x) lim f (x)x x0x x0注：用于分段函数分段点的讨论3 .区间连续如果函数y f (x)在区间(a,b)中的每一点处都连续，则称y f (x)在区间I中连续，记作f(x) C(a,b),如果I是闭区间，则在其端点处，指的是单侧连续.连续函数 的图象

16、是一条连绵的曲线.f(x) C(a,b)注：f(x) Ca,b lim f(x) f (a),类似定义 f(x) C”，f(x) C. . x alim f (x) f (b)x b4 .间断点及其分类4.1 定义：若y f(x)在点x0不连续，则称点x0是函数的间断点.(设函数y f(x)在点x0的一个去心邻域内有定义 ，如果(1)函数在点X0没有定义；或者(2)函数在点Xo有定义，但是极限lim f(x)不存在；或者X X0(3)函数在点Xo有定义，且极限lim f(x)存在，但是lim f (x)f(x0)X X0X Xo则称点Xo是函数的间断点.)4. 2分类：xo是函数的间断点，li

17、m f(x), lim f(x)都存在，称为第一类间断点.否 X x)X Xo则称为第二类间断点.几何分类(四种名称)极限lim f (x)存在，但是lim f (x)f(xo),称为可去间断点.X Xox Xolim f (x) lim f(x),称为跳跃间断点.X Xox Xolim f (x)(lim f (x), lim f (x)称为无穷间断点.X xoX xox xo震荡间断点.例：讨论函数 f(X)1sin,xx 1x2 1,xcos( x)2注：求间断点的方法：函数没有定义的点，分段函数的分段点o的连续性，并判断间断点的类型o5. 初等函数的连续性基本初等函数在定义域内连续.初

18、等函数在定义区间的内部连续 .所谓定义区间，是指包含在定义域内的区间例：y arcsin(x2 1)6. 闭区间上连续函数性质7. 1最值定理 闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值推论：f (X) Ca,b,则 f(x)在a,b有界.注：f (x) C(a,b且 lim f(x)存在，则 f(x)在(a,b有界., x af (x) C( b且 lim f(x)存在，则 f (x)在(，b有界.(, x类似可讨论区间a,b),a,),(,).|x |sin(x 2),、，例：函数f(x) 、在下列哪个区间内有界 .x(x 1)(x 2)2(A) (1,0).(B) (0,1).(C

19、) (1,2).(D) (2,3).8. 2零点定理设函数 y f(x)在区间a,b上连续，且f(a)f(b) 0,则存在(a,b),使得 f( ) 0.注：用于证明方程根的存在性求证：方程x3 4x2 1 0在区间(0,1)内至少有一个根.例2设函数y f(x)在区间0,1连续，且0 f(x) 1 ,则存在 0,1,使得f()证：零点定理.讨论.推论1：设函数y f (x)在区间a,b上连续，且f(a) f(b),则对于介于f(a)与f(b)之间的任意实数C,存在 (a,b),使得f( ) C .注：提示了辅助函数的构造方法推论2:闭区间上连续的函数取到介于最大值与最小值之间的任意一个值 m

20、,题型与例题概念题【例 1 】设 lim f (x)存在，f (x) 2x2 lim 2xf(x),求 f (x).x 1x 1 x2 6x 1【例 1.1】设 lim f(x)存在，f (x) 2x2 f (1)sinx,求 f(x). x 1【例1.2】设连续函数f(x)满足f (x) x 0 f (x)cosxdx,贝U f (x) ,0 f (x)sin xdx .【例1.3设f(x, y)连续，且满足f (x, y) xy d f(u,v)dudv,其中D是由曲小2线y x与直线y 0, x 1围成的区域，则f(x, y)等于1 _(A) xy.(B) 2xy.(C) xy .(D)

21、 xy 1 .8二.求函数极限I4x2 x 1 x 1例2】求极限lim.xx2 sin x【例3】（11315）（本题满分10分）1 2sinx x求极限limx 0 xln(1 x)【例4】1 sin x 计算 lim pinx 0 x2x【例5】计算极限limx 01ln(1 x)【例6】（11115）（本题满分10分）求极限limx 0ln(1 x)x*可直接用公式 lim f (x)g(x) (1 ) e1mg(x)lnf(x) eHm(f(x) 1)g(x)进行十方算.11 ln x【例7】求极限lim x" 1x1_ 一 2 e，【例8】求极限lim(-x 041 ex

22、sin x|x|).sin 6x xf(x)6 f (x) 4【例 9】 右极限lim3 0 ,贝U lim2v' 为x 0x3x 0 x2(A) 0.(B) 6.(C) 36.(D)无穷小的比较（已知极限求参数）小结：1.*已知limf（囚 A, g（x）(1)若 g(x) 0,贝 U f (x)0；(2)若 f(x) 0,且 A 0,则 g(x) 0., f (x)2.已知 limA, g(x)(1)若 f(x) ，则 g(x) ；(2)若 g(x)，且 A 0 ,则 f (x)【例10】(11201)已知当x 0时，f(x) 3sinx sin 3x与cxk是等价无穷小，则)(A

23、) k 1,c 4.(B) k 1,c4.(C) k 3,c 4.(D) k 3,c4.四.求数列的极限【例 11 】求 lim n4 cos- e 2n2 . nn【例12】(11118)(本题满分10分)111 一证明：对任意正整数设an 1 12n,都有ln(1 -) 一成立.n 1 nn11 ln n(n 1,2,)，证明数列小收敛. n第二讲导数与微分1 .理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义， 会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系.2 .掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，

24、掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数微分3 . 了解高阶导数概念，会求简单函数的高阶导数4 .会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.n.考试内容一.导数概念1.定义如果极限f(x) f(x。)Xolim f(x0x) f(x0)Hmx 0 x x 0x X0时，称函数在该点可导，否则称为不可导.注：(1)导数是一种特殊的极限.因此，可以用极限计算导数，也可以用导数求特殊形 式的极限.抽象函数. x0存在，则称该极限为函数 yf(x)在点X0处的导数.记彳f (Xo),【例1】(11202) (11302)已知f(x

25、)在x 0处可导，且f (0)0,则则。23x f(x) 2 f (x )(A) 2f (0).(B)f(0).(C) f (0).(D)0.(2)隐含的导数结论f (x)y f (x)在点 x0 处连续，lim A f(&) 0 , f (x0) 0x % x x02.单侧倒数左右极限产生左导数与右导数的概念，f(x° x) f(x0)f (x0)lim x 0xf(x° x)f(x0)f (x0)lim x 0x命题函数在一点可导的充分必要条件是：它在该点的左导数与右导数存在且相等.注：单侧倒数用于研究分段函数的导数.计算分段函数的导数时，对不同表达式分别求导，

26、分段点处用左右导数.特别要注意隐含的分段函数.【例2】设f (0) 0,则f (x)在点x 0可导的充要条件为1 ,(A) lim f f (1h 0h2一 1 .(C) limf (h h 0 h2'3.导函数如果函数ycos h)存在.sin h)存在.(B) lim - f (1 eh)存在.h 0 h1(D) lim f (2h) f(h)存在.h 0 hf (x)在开区间(a,b)中每一点都可导则产生了一个新的函数，称为函数y f (x)的导函数，记作f (x),或者6 . dx注：函数在一个闭区间上可导的含义.4 .导数的几何应用函数y f (x)在点Xo处的导数等于曲线在

27、点(xo, f (xo)处的切线的斜率切线方程：y f (xo)f (Xo)(X Xo )1,法线方程： y f (x0)(x x0)f (Xo)注：f (Xo),切线为X Xo3/2【例3】求曲线y x 通过点(5,11)的切线万程5 .可导与连续极限 连续 可导.反例：y | x|n(x 1)【例4】研究函数limnax ben(xi) 1的连续性与可导性二.求导方法1 .按定义求导：抽象函数，分段函数2 .函数四则运算的求导u u v uv(u v) u v , (uv) u v uv , 一 2v v3 .反函数求导设y f (x),则其反函数x(y)的导数4 .复合函数求导y f(u

28、), u (x),则y f(幻“)(x),或dx *dx注：(1)f (x) f ( (x) (x).(2)剥皮求导法:例5 y222sin2(x2 1)e5 .对数求导法：«x2xdy = 【例6】设y x2 xx2x ,则y6 .隐函数求导：7 .参数方程求导dyx (t),则业或也生y (t) dx (t) dx dxdt8 .积分上限函数、原函数存在定理1 .若f(x)在a ,b上可积,则函数x(x) f(t)dt在a, b上连续. ax(x) f(t)dt 在a,b a2 .原函数存在定理：若 f(x)在a, b上连续，则函数x(x) f(x),即 (x) f(t)dt 是

29、 f(x)在a,b上的一个原函数. a3.变限积分的导数公式:(1)_d_ xf dt f(x), d- bf(t)dt dx adx xd (x)d f(t)dt f (x)(x)，丁dx adxd (x)f (x)；bf(t)dt f (x)(x)； 丁 (X)f(t)dt f (x)(x) f (x)(x)dx (x)注：当积分中有变量x时，不能用上述公式直接求导.x y 2【例7】函数y y(x)由方程x 1 e dt 0确定，求y (0).三.高阶导数1 .定义 d2v导函数的导数称为二阶导数，记作f (x),或d4dx类似可以定义三阶导数，四阶导数，直到n阶导数.2 .常用高阶导数

30、公式(1) y ex,求 y.(2)y sin x, (sin x)(n) sin(x n )(cosx) cos(x n )(3) y ln(1 x), ln(1 x)(n) ( 1)n 1m ? (1 x)n3 .莱布尼兹公式设u(x), v(x) n阶可导,则(n)(n)1 (n 1)2 (n(uv) u v Cnu v Cnu4 .复合函数求二阶导数导函数与原函数有相同的复合关系1_【例 8】y f ( ) f (sin 2x) x5 .反函数求二阶导数6 .隐函数求二阶导数1 .【例9】求由方程x y sin y2(n) uvd2 y0所确定的函数 y的二阶导数 一y .dx【例10

31、】设y y(x)是由方程xyey x 1确定的隐函数，则d2y dx2 x 0方法先求导数，再将导数对自变量求导，最后代入导数7.参数方程求二阶导数x (t) dy (t) dy (t) (t)(t) (t)1>)2y (t) dx (t) dx(t)(t)tln(1t)d2 y确定，则一2 =t3t2dxx【例11】设函数y y(x)由方程y四.微分1 .定义函数的增量 y f(x0x) f(xo)可以表示为y Ax o( x)其中A是不依赖于x的常数，而o( x)是比 x高阶的无穷小，则称函数y f (x)在点xO处可微，而A x称为y f (x)在点x0处相应于自变量的增量x的微分

32、，记作dy A x.2 .可微条件极限 连续 可导 可微3 .微分的几何意义微分三角形.微分是曲线的切线的增量.4 . 一阶微分形式不变性无论x是自变量还是中间变量，微分都是dy f (x)dx.m,题型与例题导数定义【例1】设函数f (x)在点x a二次可导求limx 0f (a x) 2f (a)f (a x)【例2】设f(x)具有一阶连续导数F(x) f (x) (1 |sinx|)，则 f (0) 0 是F(x)在x 0处可导的(A)必要但非充分条件(B)充分但非必要条件(C)充分且必要条件(D)既非充分也非必要条件.切线与法线方程【例3】(11311)曲线tan(x y -) ey在

33、点(0,0)处的切线方程为4【例4】设f (x)是周期为5的函数,它在x 0的某个邻域内满足关系式f (1 sin x) 3 f (1 sin x) 8x (x)其中(x)是当x 0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x1处可导，求曲线y f (x)在点(6, f (6)处的切线.求导(微分)【例5】设y y(x)由arctant2yty2确定，求电5dx四.变限积分求导【例6】设函数f (x)连续,1,x且满足方程tf0(2x，、-1,2t)dt - arctan x , 2【例7】设f (x)x皿dt,求积分0 t0 f (x)dx.【例8】设f(x)连续，F(x)10 f(xt)dt ,口

34、f (x)且 limx 0 xA (A是常数),求F (x),并讨论F (x)在x 0处的连续性.例9 (11215)(本题满分10分)已知函数F(x)ln(1 t2)dt，设 limxF(x)lim F(x) x 00，试求的取值范围.第三讲中值定理与导数的应用1 .考试要求1 .理解并会用罗尔(Rolle )定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor ) 定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理.2 .掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.3 .理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函 数最大值和最小值白求法及其应用.4 .会用导数判断

35、函数图形的凹凸性 (注：在区间(a,b)内，设函数f(x)具有二阶导数。当f (x) 0时，f(x)的图形是凹的；f (x) 0时，f(x)的图形是凸的)，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形5 . 了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径n.考试内容一.中值定理1 .罗尔定理：设函数y f(x)在区间a,b上连续，在(a,b)内可导，且f(a) f (b),则存在 (a,b),使得f ( ) 0.证：分情况讨论.用费马引理.几何意义水平切线.注：证明方程有根的两种方法：用闭区间连续函数的零点定理证明函数有根；用罗尔定理证明导函数有根.一aan【例1】设a

36、1，a2, an满足a1 一 ( 1)n 1 0,则函数1 2 n 132n 1f (x) a1cosx a2 cos3xan cos(2n 1)x 在区间(0, 一)内至少有一个零点.2注：证明的关键是选择辅助函数F(x).为了满足F (x) f(x),用f(x)的一个满足罗尔定理条件的原函数.【例2】设函数f(x)在区间a,b上连续，在(a,b)内可导，且f (a) f (b)0,则存在 (a,b),使得f ( ) f().注：又是辅助函数F(x)问题.从所求结果出发，考虑微分方程f (x) f(x)，解之得f(x) Cex .将其改写成右端只有常数f(x)ex C.令F(x) f(x)e

37、x,由F (x)0得到微分方程f (x) f(x).【例3】设函数f (x)在区间a,b上二次可导，且存在c (a,b),使得- 、-2 f (a) f(b) f (c),则存在 (a,b),使得 f ( ) f ().注：考虑微分方程f (x) f (x)2,解之得f(x)ln(C1 x) lnC2.将其改写，使得右端是至多一次的多项式e f(x) C2(C1 x).令F(x) e f(x),则由F (x)0可以得到 f (x) f (x)2.【例4】设函数f (x)在区间0, b上连续，在(0, b)内二次可导，且f (0)0.又设存在 0 a b,使得 af(b) bf (a),则存在

38、(0,b),使得 f ( ) 0.2.拉格朗日定理：设函数y f (x)在区间a,b上连续，在(a,b)内可导，则存在(a,b),使得 f (b) f (a) f ( )(b a).证：辅助函数.罗尔定理注意 当f (a) f(b)时，就是罗尔定理.几何意义切线与割线平行.注：(1)如果函数 y f (x)在区间I上的导数恒等于零，则f(x)在区间I上是一个常数.【例5】设函数f (x)在区间(0,)内可导，且满足微分方程xf (x) f(x),其中0常数，则 f(x) f(1)x .(2)证明含有中值的等式，不等式【例6】设函数f(x) 0在区间a,b上可导，则存在 (a,b),使得(ba)

39、f ()f()【例7】设函数f (x)在区间0,1上连续，在(0,1)内可导，且f (0) 0, f (1)1,1，使得则存在03 .柯西定理：设函数f(x)与F(x)在区间a,b上连续，在(a,b)内可导，且F (x)在(a,b)内每一点处都不等于零,则存在 (a,b),使得f(b-f-(-a)- -f-(-). F(b) F(a) F ()证：辅助函数(参数方程).注意 当F(x) x时，就是拉格朗日定理.注：证明有两个函数的等式评述 在用拉格朗日中值定理或科西中值定理时，确定辅助函数是比较容易的：首先将 与a,b分开；然后再将a与b分开，一般就可以发现f(x)或g(x) 了.【例8】设函

40、数f(x)在区间a,b上连续，在(a,b)内可导，其中0 a b,则存在 (a,b),使得 bf(a) af(b) f( ) f ( )(b a).4 .泰勒公式4.1 泰勒定理：如果函数 y f (x)在包含点x x0的一个开区间(a,b)内具有直到n 1阶的导数，则当x (a,b)时，有f (x0)2f (x)f(xo)f (xo)(x xo) -(x xo)2!f()( xo )n(x xo)Rn(x) n!f (n 1)()其中Rn(x) -(x xo)n，称为函数y f (x)在点x xo处的带拉格朗日型(n 1)!余项的n阶泰勒公式.如果函数yf (x)在包含点x xo的一个开区间

41、(a,b)内具有直到n阶的导数，则当x (a,b)时，有f (xo)2f (x)f (xo)f (xo)(x xo) -(x xo)2!f( ) (xo )nn(x xo) o(x xo) n!称为函数y f(x)在点x xo处的带佩阿诺型余项的n阶泰勒公式4 . 2麦克劳林公式取 X00,得 f (x) f (0) f (0)x称为麦克劳林公式.余项可以写作Rn(x)麦克劳林公式还可以写作f (0) 2 产nX X2!n!f (n 1)( x)(n 1)!1,其中0Rn(x)1.f(x) f(0) f(0)x 臂 X29xn OX),余项是 n!个比xn高阶的无穷小.常用展开式注：证明含有高

42、阶导数的等式及不等式，解决极限问题2x例9计算极限limx 0_ 2cosx ex22x ln(1 2x).【例 10】lim x sin In 1xsinln 1二.函数性质的讨论5 .单调性判定定理设函数y f (x)在区间a,b上连续，在区间(a,b)内可导，(1)如果在(a, b)内f (x) 0,则f (x)在a,b上单调增加;(2)如果在(a,b)内f (x) 0,则f (x)在a,b上单调减少.注：(1)设函数y f(x)在区间(a,b)内单调增加且可导，则f (x) 0.(2)如果函数的导数仅在若干孤立点等于0,其它点保持同号，则仍具有单调性.单3调判定定理不是必要条件.反例：

43、y x(3)单调区间：有的函数在几个区间上单调增加，在另外几个区间上单调减少 .这样的区间成为这个函数的单调区间.如果函数在定义域内除个别点之外可导，则单调区间的分界点是导数等于零的点或者导数不存在的点.导数等于零的点称为驻点.【例11】(11203)函数f (x) ln |(x 1)(x 2)(x 3)|的驻点个数为()(A) 0.(B)1.(C)2.(D)3.(4)单调性可用于证明不等式，方程根的惟一性.证明方程的根唯一的两种方法.单调函数至多有一个零点.如果导函数没有零点， 用罗尔定理(反证法)证明函数至多有一个零点6 .函数的极值：2. 1定义 设函数y f(x)在区间(a,b)内连续

44、，点c (a,b).如果存在 0,使得当0 |x c | 时，有f(x) f(c)(或f(x) f (c),则称点c是函数的极大(小)值点，而f(c)是函数的极大(小)值.极大值极小值统称为极值.注：函数的极值是局部性质，而最值是整体性质.极大值未必是最大值，最大值也未必 是极大值.2. 2必要条件设函数y f (x)在点c可导，且在点c取得极值，则f (c) 0 .注：这只是可导函数的极值的必要条件.反例：y |x|在点x 0取得极小值.2. 3判定定理定理1设函数y f (x)在点c的一个邻域内可导，且f (c) 0 .(1)如果在点c的左侧f (x) 0,在点c的右侧f (x) 0 ,则

45、点c是极大值点；(2)如果在点c的左侧f (x) 0,在点c的右侧f (x) 0,则点c是极小值点；(3)如果在点c的两侧f (x)恒正或恒负，则点c不是极值点.注：定理的条件可以减弱为：函数y f(x)在点c连续，在点c的一个去心邻域内可导.这样就可以判定y |x|了.定理2设函数y f (x)在点c二次可导，且f (c) 0 , f (c) 0.(1)如果f (c) 0,则点c是极大值点；(2)如果f (c) 0,则点c是极小值点.注：如果f (c) 0 , f (c) 0,则可能是极值点，也可能不是极值点.反例：y x3, y x422【例12】设函数y y(x)由万程x xy y3确定

46、，求y(x)的极值.3.函数的最值3.1 闭区间上连续函数的最值函数在闭区间上连续，则取到其最大值和最小值 .最值点或者是区间端点，或者 是内点.如果是内点，则或者是驻点，或者是导数不存在的点.3 . 2无穷区间上函数的最值【例13】求函数y xex的最小值.注：可用于证明不等式4 .曲线的凹凸4.1 定义 设函数y f(x)在区间I上连续,如果对于I上的任意两点xi,x2，恒有x1 x2f(x1) f (x2)- rx1 x2f(x1)f (x2)、f-L：2JLL(或fJ21Z,则称函数 f(x)在区2222间I上是凹(或凸)的.4. 2判定定理定理 设函数y f (x)在区间a,b上连续，在(a, b)内二次可导.(1)如果在(a,b)内f (x)0,则f (x)在区间I上是凹的.(2)如果在(a,b)内f (x) 0,则f (x)在区间I