【KS5U解析】河南省天一大联考2020届高三上学期期末考试数学（文）试题 Word版含解析

1、天一大联考2019-2020学年高三年级上学期期末考试数学（文科）一、选择题:本题共12小题.每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根据并集的定义可求出集合.【详解】依题意，.故选：d.【点睛】本题考查并集的计算，考查计算能力，属于基础题.2.设复数，则（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出.【详解】依题意，故.故选：a.【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的四则运算，考查计算能力，属于

2、基础题.3.已知向量，则为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】由题意可知，由得出，可得出，由此可得出，进而得解.【详解】由题意可知，由得出，即，因此，.故选：c.【点睛】本题考查向量模长的计算，同时也考查了向量垂直的等价条件的应用，解题的关键就是得出，考查计算能力，属于基础题.4.近年来，随着网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用的主要用途，随机抽取了名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：可以估计使用主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数；可以估计不足的大学

3、生使用主要玩游戏；可以估计使用主要找人聊天的大学生超过总数的.其中正确的个数为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根据利用主要听音乐的人数和使用主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断的正误；计算使用主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断的正误；计算使用主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断的正误.综合得出结论.【详解】使用主要听音乐的人数为，使用主要看社区、新闻、资讯的人数为，所以正确；使用主要玩游戏的人数为，而调查的总人数为，故超过的大学生使用主要玩游戏，所以错误；使用主要找人聊天的大学生人数为，因为，所以正确.故选：c.【点睛】本题考查统计中相关命题真假的判断，计

4、算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题.5.记正项等比数列满足，则公比( )a. b. 或c. 2d. 【答案】a【解析】【分析】根据等比数列通项公式以及条件列方程解得公比.【详解】依题意，即，故，解得或，而，故.故选：a【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题.6.已知中，则( )a. b. 8c. d. 4【答案】b【解析】【分析】先根据同角三角函数关系得，再根据正弦定理求结果.【详解】因为，所以.在中，由正弦定理，可得，故，解得.故选：b【点睛】本题考查同角三角函数关系以及正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.7.下列函数中，既是偶函数又在上

5、单调递减的是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】分析每个选项中函数的奇偶性及各函数在区间上的单调性，由此可得出正确选项.【详解】对于a选项，函数的定义域为，该函数为奇函数，又，该函数在区间上单调递增；对于b选项，解不等式，得或，该函数的定义域为，关于原点对称，该函数为偶函数，当时，则，内层函数在区间上为减函数，外层函数为增函数，所以，函数在上单调递减；对于c选项，作出函数的图象如下图所示：由图象可知，该函数为偶函数，且在上单调递增；对于d选项，函数的定义域为，该函数为偶函数.内层函数在上单调递增，外层函数也增函数，所以，函数上单调递增.故选：b.【点睛】本题考查函数单调性与

6、奇偶性的判断，熟悉函数奇偶性的定义以及单调性的一些判断方法是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.8.记双曲线：（，）与双曲线：无交点，则双曲线的离心率的取值范围是( )a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】先求双曲线渐近线方程，再结合图象确定双曲线确定渐近线渐近线斜率范围，解得结果.【详解】双曲线：的渐近线方程为，由题意可知，则.故选：d【点睛】本题考查双曲线渐近线与离心率，考查基本分析求解能力，属基础题.9.已知长方体的表面积为，则该长方体的外接球的表面积为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】由题意得出，由这两个等式计算出，可求出长方体外接球的半径，再利用球

7、体表面积公式可计算出结果.【详解】依题意，所以，故外接球半径，因此，所求长方体的外接球表面积.故选：a.【点睛】本题考查长方体外接球表面积的计算，解题的关键就是利用长方体的棱长来表示外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.10.已知函数，且，使得，则m的取值范围为( )a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】先将条件转化为对应函数值域包含关系，再根据分段函数求对应区间值域，最后根据集合包含关系列不等式，解得结果.【详解】依题意，即函数在上的值域是函数在上的值域的子集.因为在上的值域为（）或（），在上的值域为，故或，解得.故选：c【点睛】本题考查分段函数性质以及函数值域，考查等价转化思

8、想方法以及分析求解能力，属中档题.11.已知函数，.若，则（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，由可知函数的一条对称轴方程为，可得出的表达式，再结合条件可求出的值.【详解】依题意.因为，所以为函数图象的一条对称轴，即，所以，.因为，所以，结合可得，又，故，得或，解得或（舍去）.故选：d.【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，考查计算能力，属于中等题.12.已知椭圆c：（）的焦点f，直线l：与椭圆c交于m、n两点，若，则椭圆c的离心率为( )a. b. c. 或d. 或【答案】b【解析】【分析】先解得m,n坐标，利用两点间距离公式

9、得三边长，再根据余弦定理列方程，解得离心率.【详解】不妨设m，n分别在第一、三象限，焦点，联立解得，.故，.在中，由余弦定理可得，而，则，代入化简得，其中，解得或（舍去），故.故选：b【点睛】本题考查余弦定理、椭圆离心率以及直线与椭圆交点，考查综合分析求解能力，属中档题.二、填空题：本题共4小题.每小题5分.共20分.13.已知，则_.【答案】【解析】【分析】根据以及两角差正切公式求解.【详解】故答案为：【点睛】本题考查两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.14.设实数、满足，则最大值为_.【答案】【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察直线在轴上截距最大时对应的最

10、优解，代入目标函数计算可得出结果.【详解】作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示.观察可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最大，此时，取得最大值，联立，解得，故的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线法找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.15.已知长方体的棱长为2，点e是线段的中点，则在平面上的正投影的面积为_.【答案】【解析】【分析】根据条件作出在平面上的正投影，确定正投影位置与形状，最后根据三角形面积公式求解.【详解】作出图形如图所示，可知在平面上的正投影仍然为一个三角形，点c在平面上的正投影为线段的中点，点e

11、在平面上的正投影为线段的靠近的四等分点，正投影的面积.故答案为：【点睛】本题考查正投影及其相关计算，考查空间想象与分析求解能力，属基础题.16.已知函数的定义域为r，导函数为，若，且，则满足的x的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】构造函数，再根据条件确定为奇函数且在上单调递减，最后利用单调性以及奇偶性化简不等式，解得结果.详解】依题意，令，则，故函数为奇函数，故函数在上单调递减，则，即，故，则x的取值范围为.故答案为：【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性以及利用函数性质解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第1721题为必考题

12、，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和为.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)利用作差相减法求数列的通项公式，注意验证的情况是否满足；(2)直接利用裂项相消法求和.【详解】(1)当时，.当时，两式相减，可得，故.因为也适合上式，所以.(2)依题意，故.【点睛】本题考查求数列通项以及裂项相消法求和，考查综合分析求解能力，属中档题.18.某品牌奶茶公司计划在a地开设若干个连锁加盟店，经调查研究，加盟店的个数x与平均每个店的月营业额y(万元)具有如下表所示的数据关系：x2

13、46810y20.920.21917.817.1(1)求y关于x的线性回归方程；(2)根据(1)中的结果分析，为了保证平均每个加盟店的月营业额不少于14.6万元，则a地开设加盟店的个数不能超过几个?参考公式:线性回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，【答案】(1)；(2)14个.【解析】【分析】(1)先求均值，再代入公式求，即得结果；(2)根据线性回归方程列不等式，解得结果.【详解】(1)依题意，.，所以，所以，故所求线性回归方程为.(2)依题意，令，解得.因为，所以a地开设加盟店的个数不能超过14个.【点睛】本题考查线性回归方程及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题.19.如图，

14、在四棱锥中，.(1)若点f在棱上且，证明：平面；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】(1) 设与的交点为o，根据计算以及平几知识得，再根据线面平行判定定理得结果；(2)先利用线面垂直判定定理证明平面，再证明平面，最后根据锥体体积公式求结果.【详解】(1)如图，连接，记与的交点为o，连接.由题易知，.所以可得，所以，所以.而，易知，故，故.因为平面，平面，所以平面.(2)因为，又，故平面.所以如图，连接，则，可知为直角三角形，易知点s到直线的距离为，故.由(1)易知，又因为，故平面.故.【点睛】本题考查线面平行判定定理、线面垂直判定定理以及锥体体积公式，考查综

15、合分析论证与求解能力，属中档题.20.已知抛物线c：（）的焦点f到准线l的距离为2，直线过点f且与抛物线交于m、n两点，直线过坐标原点o及点m且与l交于点p，点q在线段上.(1)求直线的斜率；(2)若，成等差数列，求点q的轨迹方程.【答案】(1)0；(2)（）.【解析】【分析】(1)先求抛物线方程，再设直线方程以及m,n坐标，解得p点坐标，根据斜率公式化简直线的斜率，最后联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入化简即得结果；(2) 设，根据等差中项性质以及弦长公式化简条件得，再根据（1）中韦达定理化简右边式子，最后根据代入化简得点q的轨迹方程.【详解】(1)依题意，可得，所以抛物线c：.设直

16、线：，联立，得.设，易知，则，直线：.因为准线l：，故.故直线的斜率为.(2)设（）.由(1)可得，.由题可知，得.因为，所以化简可得（）.故点q的轨迹方程为（）.【点睛】本题考查抛物线方程、直线与抛物线位置关系以及动点轨迹方程，考查综合分析求解能力，属中档题.21.已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若的图象与直线交于，两点，且，求实数m的取值范围.【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；(2).【解析】【分析】(1)先求导数，根据，以及三种情况讨论导函数符号，进而确定对应单调性；(2)先构造函数，再求导数，根据以及两种情况讨

17、论函数单调性，结合单调性确定满足条件的不等式，解得m的取值范围，最后利用零点存在定理证明所求范围恰好保证函数有两个零点.【详解】(1)依题意，.若，则，故在上单调递减若，令，解得或.（i）若，则，则当时，单调递减，当时，单调递增；（ii）若，则，则当时，单调递减，当时，单调递增综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.(2)令，则由题意可知有两个大于1的实数根，显然.令，则.若，则当时，当时，要满足已知条件，必有此时无解；若，则当时，当时，要满足已知条件，必有解得.当时，在上单调递减，故函数在上有一个零点.易知，且，下证：.令，则，当时，

18、当时，故，即，故，故，又在上单调递增，故在上有一个零点.综上所述，实数m的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及利用导数研究函数零点，考查分类讨论思想方法以及综合分析求解能力，属难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 选修4-4：坐标系与参数方程22.已知平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且直线与曲线交于、两点.（1）求实数的取值范围；（2）若，点，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将曲线的极坐标方程化为普通方程，将直线的参数方程化为普通方程