中考数学专题复习——锐角三角函数的实际应用

1、课题：锐角三角函数的实际应用【基础知识回顾】知识点1:锐角三角函数的概念（正弦、余弦、正切、余切）技巧点拨：弦一一分母都是斜边正弦一一分子是正对的边（谐音“正邪”）切一一垂直的意思，只与直角边有关弦正切分子是正对的边余剩余的意思余弦一一分子是剩下的直角边（即邻边）余切一一分子是剩下的直角边（即邻边）简记为：正弦一一对比斜（或正比斜）正切一一对比邻一弦一一邻比斜知识点2:常见的锐角三角函数值三角函数30°45°260°技巧点拨分母都是2,分子分别是sin a13222”、V2、V3,3分母都是2,分子分别是COS a21222、；3、衣、”3分母都是3 ,分子分别是

2、tan a13373、1、3【新课知识讲解】知识点3:解直角三角形1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直 角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。2、解直角三角形的理论依据在RtABC中，/ C=90° , / A, /B, /C所对的边分别为a, b, c(1)三边之间的关系：a2 b2 c2 (勾股定理)(2)锐角之间的关系：/ A+/ B=90° (三角形内角和)(3)边角之间的关系：(锐角三角函数)a bsin A , cosA , tan A,cot A ;sin B 一，cosB b

3、a caba 一,tan B , cot B - cab知识点4:直击中考一一解直角三角形的实际应用：测距、测高、测长等例1、如图，直升飞机在跨河大桥 AB的上方点P处，此时飞机离地面的高度 PO = 450 m,且A, B, O三点在一条直线上，测得 /=30°, /=45°,求大桥AB 的长(结果保留根号).O B A【分析】第一步：确定相关直角三角形本题中/、/分别在RtA AOP、RtA BOP中(由平行线内错角相等转化已知角)第二步：分别在直角三角形中列出已知角的锐角三角函数值第三步：代入已知条件求值，并简答【答案】由题意得，AAOP A BOP匀为直角三角形，/

4、PAO与=30°, /PBO=Z=45°, PO=450m在 Rt A AO用,tan / PAO=PO/AO在 RtA BO 用,tan/PBO=PO/BO代入数值，计算得tan / PAO=PO/AO=tan =所以 AO=石 POtan / PBO=PO/BO=taM =1所以 BO=POAB=AO-BO=(''3-1) PO=45C(3-1) m答：AB长为 450（73-1） m例2、如图，已知两座高度相等的建筑物 AB、CD的水平距离BO 60米，在建 筑物CD上有一铁塔PD,在塔顶P处观察建筑物的底部B和顶部A,分别测行俯 角 450, 30&

5、#176;,求建筑物AB的高。（计算过程和结果一律不取近似值）第一步:确定相关直角三角形 RtA ADR RtA BCP第二步:分别在直角三角形中列出已知角的锐角三角函数值第三步:代人已知条件求值，并简答【解答】由题意得：ADR A BOP匀为直角三角形,/PBCW=45°, /PAD=Z=30°, BC=AD=60m AB=CD在 RtA DP 中，tan / PAD=PD/AD在 RtA BO 用，tan/PBC=PC/BC3所以PD=y AD代入数值，计算得tan Z PAD=PD/AD=tan/ =-3- 3tan/PBC=PC/BC=ta n=1所以PC=BCAB

6、=CD=PC-PD=（停）BCyi-弓）X 60m=（ 60-2073 ） m答：AB 长为（60-2073） m【技巧点拨】（1）此类题型解答步骤：第一步：围绕题目中给出的已知角度、线段长度，构建合适的直角三角形，一 般需要确定两个直角三角形注意：合适的直角三角形指的是包含已知角和已知线段的直角三角形，或者是 先利用平行线性质、角度互余关系将已知角转化为其同位角、内错角或余角， 包含这些转化后的角的直角三角形）第二步：分别在两个直角三角形中利用已知角和已知线段（边）列出已知角的锐角三角函数第三步：代入数值计算，注意题目对计算结果的要求，并简要作答(2)常见数学模型总结:模型已知角/ POA

7、/ POB已知线段AB,求线段PO或已知线段P0,求线段AB对应例1点拨：利用 RtA AOR RtA BOP已知角 /PAG线段AB和BD, 求线段PC点拨：利用 RtA ACP RtA BDP已知/ PAC / PBD,线段 AB和BD, 求线段PC或PD对应例2点拨：利用 RtA ACP RtA BDP已知/ APQ和/ BPQ,线段AB, 求线段P0点拨；利用 RtA APQ、RtA BPQ已知/ PAO和/ BAO,已知线段AO,求线段PB或已知线段PB,求线段OA点拨：利用 RtA APO RtA ABO【课堂练习】为了缓解酒泉市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口

8、设C.! 地铁施工:疑道慢行立了交通路况显示牌（如图）.已知立杆AB高度是3m,从侧面D点测得显示 牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45° .求路况显示牌BC的高度.（提 示：参照模型）【分析】第一步:确定 RtA ABD RtA ACD第二步：分别在 RtAABD RtAACD中，列出已知角/ ADR /ADC的正切值tan / ADB=AB/ADtan / ADC=AC/AD第三步：代入数值计算并作答【解】由题意得：A ABD A ACD均为直角三角形，且/ ADB=45 , /ADC=60AB=3m在 RtAABD中，tan/ADB=AB/AD在 RtAACD

9、中，tan/ADC=AC/AD代入数值计算得，AD=AB=3mi AC= 3AD=3 3m故 BC=AC-AB=( 3 . 3 -3) m【真题演练】 1、在一个阳光明媚、清风徐来的周末，小明和小强一起到郊外放风筝.他们把风筝放飞后，将两个风筝的引线一端都固定在地面上的C处（如图）现已知风筝A的弓I线（线段AC）长20m,风筝B的引线（线段BQ长24m,在C处测得风筝A的仰角为60°,风筝B的仰角为45°.（1）试通过计算，比较风筝 A与风筝B谁离地面更高 （2）求风筝A与风筝B的水平距离.（精确到 m；参考数据：sin45 ° = ,cos45 °ta

10、n45 0 =1,sin60 0 %,cos60 ° ）=,tan60 0 %2、（9分）（2014河南）在中俄 海上联合-2014”反潜演习中，我军舰 A测得潜 艇C的俯角为30°,位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯 角为68°,试根据以上数据求出潜艇 C离开海平面的下潜深度.（结果保留整数， 参考数据：sin68 °, uos68 ° /Man68 °翁（提示：参照模型）1.73）（提示：参照模型）3、（2013年河南省）我国南水北调中线工程的起点是丹 江口水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝 士培厚加高

11、，使坝高由原来的162米增加到米，以抬 高蓄水位，如图是某一段坝体加高工程的截面示意图， 其中原坝体的高为BE,背水坡坡角 BAE 68 ,新坝体的高为DE ,背水坡坡角 DCE 60 。求工程完工后背水坡底端水平万向增加的宽度 AC.（结果精确到米，参考数据:sin 680.93,cos680.37,tan682.50, . 34、（2012年河南省）（9分）某宾馆为庆祝开业, 在楼前悬挂了许多宣传条幅，如图所示，一条 幅从楼顶A处放下，在楼前点C处拉直固定，fi. c小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前 D处测得楼顶A点的仰角为31°,再沿 DB方向前进16米到达E处，测得点A的仰角为45°,已知点C到大厦的距离BC=7 米， ABD 90，请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整数.参考数据：tan31 0.6,sin310.52,cos310.86）（提示：参照模型）5、（2011年河南省）（9分）如图所示，中原福塔（河南广播电