概率论和数理统计试题及答案x

1、概率论和数理统计试题及答案一、填空题：1、设 A 与 B 相互独立,P(A) = I P(B) = L,则 P (B-A)=32解：P(B A) P(B)1 P( A) _J (1- ) _12332、设 X Ul,3(均匀分布)，则 E(X 2), D(2X)E(5 X 2) ,解：E(X) 2;D(X) 1/3E(X2 ) D(X) E(X)213/3D (2 X) 4D(X) 4/3E(5 X 2) 5E(X)2102 83、设随机变量X服从指数分布，即 XE(2),定义随机变量Y 1,X 3则Y的分布列为1, X 3解：Fy (Y)P(Yy)P(Y1)P(X3)32e 2x dxe2

2、x*1 e 6 200Fy (Y)P(Yy)P(1 Yi) p(x3)32e 2xdxe 2x51e600Fy (Y)P(Yy)P(1Y 2)P(X3)32e 2xdxe 2 x1 e62002, X 3其屮是与y无关的量E(2 X 3Yz5),D(2X 3Y Z5)解E(2 X 3Y Z5)2E(X)3E(Y) E(Z) 52 2000.13335 33且X, Y, Z相互独立，则D (2 X 3Y Z 5)4D(X) 9D (Y) D(Z)72 274103Y P(3) ,ZN(3,22)4、设 X B(200,0.1)5、设总体 XN( ,2), X1,X2，X3 为来自 X 的样本，?

3、0.5 XI 0.1X2 aX3是未知参数的无偏估计，则 a。解：因为是无偏估计所以9E( )E(0.5 xi 0.1X2 ax3 )0.5E(xi ) 0.1E( X2 ) aE( X3 )(0.5 0.1 a)E(X) (0.50.1 a)(0.50.1 a) 1a 0.46、设XN( i ,"), YN( 2, 22),X与Y相互独立，且改与P分别为X,Y的样本均值，样本容量分别为 ni,n2。若12 , 22已知，则检验假设：:H :H 0 ： 12 I 12的检验统计量为。解：7、设随机变量X服从正态分布N ( ,1),关于 的二者必居其一的假设为Ho ：0;Hi：1,且假

4、设的拒绝域取为 W:x c(0 c1),其中x是容量为n的样本均值，则以 W为拒绝域的检验法犯第 U类错误的概率 解：因为(孙 )/( /需)服从于标准正态分布P( ) P( x/(/ 问 c /( / x/n )iU 0)P( c /n x Cx/T)2 (c >Jn )1二、单项选择题(每小题 3分，共15分)A、ABCB、AUB UCC、AUB UCD、AB U AC1, x12、设随机变量X的分布函数F(x)x3, 0 x 1,贝'J E( X )0, x 01、设A、B、C是三个事件，则下列事件中必与 A互斥的是A、1解：f(x)3 B、-1C、2dF (X)0x 14

5、厂=Y2x20x 1K0X0E( x)xf(x)dx1311412x dxX02023、设X服从参数0.5的指数分布，则Y1D、40.5e 0 5 y y 0 A、fy( y)0y 0e y2y 0c、fv( y)0y 0解：fy ( y) f x ( )d ()2 22X的概率密度函数是【 B 0.25e 025 y y 0 B、fy( y)0 y 0e yy0d、fv(y)0y04、一个螺丝钉的质量是一个随机变量，均值为50g ,标准差为5g应用独立同分布的屮心极限定理,则一盒(100个)螺丝钉的质量超过5100g的概率pA、1(1)B、(1)C、1(2)D、解:P( Xi 5100)i

6、11922A、(9)1922C、Xi(9)9 i 1解：选C1922D、一 Xi (8)8 i i6、设 E(X)P2 X 20是118r8A、p B、pc、pD、p 9999解：P2X 20PCX1119) 1_9_892911,D(X) 9 ,用雪比晓夫不等式估计概率p7、设XN (0,1), Y2 (5),且X与Y相互独立,则下列分布错误的是A、X2B、富F (1,5)YXi n1 p( xAn5 100 10050 )J 10051 P(z 2)1 (2)5、x,x，x129是正体N(0, 2)的本，在下列各式中，正确的是【1D、t(5)Vy75A、P(AHo)B、P(Aflo)C、P

7、( AHo) D、P(£fo)C、丄f(1,5)Y/5解：选D8、设Ho表示假设Ho真，Ho表示假设Ho假，拒绝域为A,则犯第二类错误的概率 为【】解：选D三、解答题1、设随机变量 X的分布列为:-1X/Y123Fy(X)01/152/152/15Fy(0)1/312/154/154/15Fy(l) 2/3Fx (Y)Fx(l) 1/5Fx (2)2/5Fx (3)2/515p0.50.2()D(X。)X2分布列;求：(1) Y=X 的分布列；(2) Z COS 22( X ,¥)、设X Y -e的联合分布列为11IT2 /1512(X,Y)()求常数a；()求4/15 4

8、/15的边缘分布列;(3)判别X与Y是否独立解：a 1J-415由表得 F(X,Y) Fy( X)Fx(Y)1Fy (0) Fx(l) -331即：F(0,l)F (0,2)Fy (0) Fx F (0,2)Fy(0) Fx (3)525215_2152F(l,2)Fy(1)Fx(1)-32Fy (1)Fx 15215415F (1,3) Fy(i)Fx (3)15所以相互独立3、设电源电压XN(220, 25?且某种电子元件在下列三种情况下损坏的概率分别200伏；(b) X在200240伏之间；(c) X超过240是 0.1, 0.001 和 0.2：( a) X 不超过伏。求：(1 )电子

9、元件损坏的概率(设：(0.8)0.8 )；(2 )某仪器装配有50个这种电子元件，它们的工作状态相互独立，如果电压X超过240 时，求这50个电子元件屮至少10个损坏的概率(要求：只列式，不计算)。解：p(元件损坏)0.1p(x 200)0.001 p(200 x 240)0.2 p( x240)0.1 P(X ?.?00) 0.001p(0 亠QU24D)0.2 p(x 240220 )252525250.1 (0) 0.001 (0.8)(0) 0.2 (0.8)0.10.5 0.0010.80.5 0.20.80.21032pi P(原件损坏 |x 240)0.2 p(x 240) 0.

10、169P 1 p(x k)k 091 C50k pik 1 pi 50 kk(2 x x2 ), x (0,2)，求：(1)系数0,其他f(x)k 0P1 x 3；(3) E(X)解：1F()f(x)dxk(2xx2 )dx k(x2 1 X3)2 4k21030 33k _42P(1 x3)3f ( x)dx2 3(2 x x2)dx- (x 213X1i 4432i3E( X)(x) f(x)dx3(2x x2 )dx14、已知随机变量的分布密度X4 o5、设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度Axy2,0 y x,0 x 1 f(x)y)o,其他(3) P( X ,Y )D,其中 D(

11、x, y) x y 1解：11X由于F（,)Axyzdydx100所以LAxu10 1gp： A 332fy(X)3xy2 dy3xy 2dy x4fx(y)3xy2 dx013xy 2 dx 3y2X23iy - y2 (i y2)y22求:（1）A的值；（2） X和Y的边缘概率密度，并判别X和Y是否相互独立?f(X, y) & (y)fy(X)不独立3y 1y12 y 121/2 3 7 7 o 2y XdyTy?)o36、有一大批糖果现从屮随机抽取6袋，称得重量(以克计)如下:214 , 210 , 213 , 216 , 212, 213设袋装糖果的重量分布为正态的.10.95

12、()若已知 2 1,求总体均值的置信度为 的置信区间;(2)2未知，求总体均值的置信度为0.95的置信区间.解:213;s-1-5 1 i6(X213)22Z0.025/厂6, xZ0.025(2131.961a/6, 213/ 6)1.963xy dxdy0 y1-3 2 y 2 ( 2 y l)dy2 o -3 ( 1 1 ) -3 1 1(212.2, 213.8)X to.025 (5)S /6) (2130.98 2 熄，213 0.982 旷6)(x to.O25(5) S /血 X(212.198, 213.816)7、设总体XN (, 2 )的样本的一组观察值为:10,8 ,1

13、2,10o232242966420.05) ?（1 ）求方差 2的置信度为0.95的置信区间；解（1）因为未知，取统计量(n 1)S222(n 1)2(n 1)S2(n1)S2相应地，的置信区间为O,2)_(n1)1 _(n 1)22由已知n=4 ,10.95 0.05,查表：2222(n1 )0.975(3) 0.216,(n1 )0.025(3) 9.34&122以及1214_8X-(108 1210) 10 , s(Xi x )43 i13于是(n1)S28n (n1)S2837.04(n 1)9.3482(n 1)0.2161_22所求 2的置信区间为(0.86, 37.04)

14、（2）检验假设：Ho：o 11； H1 :0（2）能否据此样本认为该总体的数学期望为 11 （检验统计量（2未知，采用t检验）显著性水平为0.05的拒绝域为:查表：t0.025 (3)3.1824,十足10 111.2247 3.1824X （公斤/厘米2）,故接受H o ,即认为 11。8. 某地地震台根据对地应力（电感）测量资料计算出最大压应力值发现其与地震震级y （ M）有关系。试由下列观察数据：x :1.22344.8y :2.833.23.74.3求y X的回方程。解：xy0.966可以假性回方程y x0.4009; 2.19由最小二乘法可得Y 0.4009 X 2.199将两信息分

15、 A和B出来，接收站收到，A被收作B的概率0.02,而B被收作A的概率0.01.信息A与B的繁程度2：1 若接收站收到的信息是 A,原信息是A的概率是多少？【解】A=原信息是A, =原信息是BC=收到信息是A,二收到信息是B由叶斯公式，得p（Ac）P(A)P(C| 占)_ P( A)P(C k) P( A)P(d A)2/3 0.982 /3 0.981/3 0.010.9949210.（ 1）随机量X的分布律PX= k= a 一，k!= =, =1 , 2,，,kNP X ka/NP(Xk)ka agek 0k o k!a e其中 k=0 , 1 , 2（2）随机量X的分布律确定常数a.【解

16、】（1）由分布律的性知1故，入0常数，确定常数a.（2）由分布律的性知P(X k) k i N即11 某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为 0.001,试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X为2000册书中错误的册数，贝V Xb (2000,0.001).利用泊松近似计算，np 20000.001 2e 2 2得P(X 5) 0.00185!12. 有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险在一年中每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：(1) 保险公司亏本的

17、概率；(2) 保险公司获利分别不少于 10000元、20000元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.(1)在1月1日，保险公司总收入为 2500X12=30000元.设1年中死亡人数为X,则Xb (2500,0.002),则所求概率为P(2000 X30000)P(X15) 1P(X14)由于n很大，p很小，X = np=5 ,故用泊松近似，有14 e 5 5kP(X 15) 1 0.000069k o k !(2) P(保险公司获利不少于10000)P(300002000 X 10000) P( X 10)io e 5 5k0.986305k o k!即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上5 e 55k0.615961k o k!即保险公司获