统计学常用分布及其分位数

1、统计学常用分布及其分位数1.4 常用的分布及其分位数1. 卡平方分布卡平方分布、 t 分布及 F 分布都是由正态分布所导出的分布， 它们与正 态分布一起，是试验统计中常用的分布。当XI、X2、Xn相互独立且都服从 N(0,1)时，Z=的分布称为自由 度等于n的分布，记作Z(n),它的分布密度p(z)=式中的二，称为Gamm函数，且=1,=。分布是非对称分布，具有可 加性，即当Y与Z相互独立，且 Y(n) , Z(m)，则Y+Z- (n+m)。证明：先令XI、X2、Xn、Xn+1、Xn+2、Xn+m相互独立且都服从 N(0,1) ,再根据分布的定义以及上述随机变量的相互独立性,令Y二X+X+-

2、+X Z二X+X+XY+Z= X+X+X+ X+X+X即可得到 Y+Z(n+m)。2. t分布若X与丫相互独立，且XN(0,1) , 丫(n),则Z =的分布称为自由度等于n的t分布，记作Z t (n) ,它的分布密度统计学常用分布及其分位数P(z)= 。请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当 n30时，t分布与 标准正态分布 N(0,1) 的密度曲线几乎重叠为一。 这时， t 分布的分 布函数值查 N(0,1) 的分布函数值表便可以得到。3. F分布 若X与Y相互独立，且X(n) , Y(m),则Z=的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于m的F分布，记作 ZF (n, m) ，它的分布

3、密度p(z)=请注意：F分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度的次序有 关，当 ZF (n, m) 时， F (m ,n) 。4. t 分布与 F 分布的关系若 X t(n) ，则 Y=X F(1,n) 。证：Xt(n) , X的分布密度p(x)二。Y=X的分布函数 F(y) =PYvy二PX0 时， F(y) =P-X统计学常用分布及其分位数=2，丫二X的分布密度p(y)二,与第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密度相 同，因此 Y=X- F(1,n)。为应用方便起见，以上三个分布的分布函数值都可以从各自的函数值 表中查出。但是，解应用问题时，通常是查分位数表。有关分位数 的概

4、念如下：4. 常用分布的分位数1) 分位数的定义分位数或临界值与随机变量的分布函数有关，根据应用的需要，有三 种不同的称呼，即a分位数、上侧a分位数与双侧a分位数，它 们的定义如下：当随机变量X的分布函数为F(x)，实数a满足0 v a 1时，a分位数是使 PX入=1-F(入)=a的数入，统计学常用分布及其分位数双侧a分位数是使PX入 2=1 -F（入 2）=0.5 a 的数 入 2。因为1-F（入）=a, F（入）=1 - a,所以上侧a分位数入就是1- a分位 数 x 1- a；F（入1）=0.5 a, 1-F（入2）=0.5 a,所以双侧 a分位数 入1就是0.5 a 分位数X 0.5

5、a,双侧a分位数 入2就是1-0.5 a分位数X1-0.5 a。2）标准正态分布的 a 分位数记作 ua, 0.5a 分位数记作 u 0.5a, 1-0.5a 分位数记作 u 1- 0.5a。当 X N（0,1）时，PX U a =F 0,1（u a ）= a,PXu 0.5 a = F 0,1 （u 0.5 a ）=0.5 a,PXu 1- 0.5a = F 0,1 （u 1-0.5a ）=1-0.5a。根据标准正态分布密度曲线的对称性,当 a=0.5 时, ua=0；当 a0.5 时, ua0。统计学常用分布及其分位数U a= -U 1- a。如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位

6、数，则先查出U 1- a,然后得到Ua=-U 1- a。论述如下：当 X N(0,1)时，PX U a = F 0,1 (U a )= a,PX U 1- a=1- F 0,1 (U 1- a)=a, 故根据标准正态分布密度曲线的对称性, Ua= -U 1- a。例如, U 0.10=-U 0.90=-1.282,U 0.05=-U 0.95=-1.645,U 0.01=-U 0.99=-2.326,U 0.025=-U 0.975=-1.960,U 0.005=-U 0.995=-2.576。又因为 P|X|0，当 X(n)时，PX a (n)= a统计学常用分布及其分位数例如， 0.005

7、 (4)=0.21 ，0.025 (4)=0.48 ，0.05 (4)=0.71 ， 0.95 (4)=9.49 ，0.975 (4)=11.1 ， 0.995 (4)=14.9 。4) t分布的a分位数记作t a (n)。当Xt (n)时，PX30时，在比较简略的表中查不到t a (n)，可用ua作 为 t a (n) 的近似值。5) F分布的a分位数记作Fa (n , m)。Fa (n , m)0，当 X F (n , m) 时，PXFa (n , m)= a。另外，当a较小时，在表中查不出Fa (n, m),须先查统计学常用分布及其分位数F1- a (m, n)，再求 Fa (n, m)

8、=。论述如下：当 XF(m, n)时，PX=1- a， P= a ，又根据F分布的定义，F( n, m) , PFa (n, m) = a, 因此 Fa (n, m)=。例如, F 0.95 (3,4)=6.59, F 0.975 (3,4)=9.98,F 0.99 (3,4)=16.7, F 0.95 (4,3)=9.12,F 0.975 (4,3)=15.1, F 0.99 (4,3)=28.7,F 0.01 (3,4)= , F 0.025 (3,4)= , F 0.05 (3,4)= 。【课内练习】1. 求分位数 0.05(8)， 0.95(12)。2. 求分位数 t 0.05(8)，

9、 t 0.95(12)3. 求分位数 F0.05(7,5)， F0.95(10,12)4. 由u 0.975=1.960写出有关的上侧分位数与双侧分位数。5. 由t 0.95(4)=2.132写出有关的上侧分位数与双侧分位数。6. 若X(4) , PX0.711=0.05 , PX9.49=0.95，试写出有关 的分位数。7. 若XF(5,3) , PX9.01=0.95 , YF(3,5) , Y1.44。习题答案：1.2.73，21.0。2.-1.860， 1.782。3.，3.37。4. 1.960为上侧0.025分位数，-1.960与1.960为双 侧0.05分位数。 5. 2.132为上侧0.05分位数， -2.132 与2.