(完整word版)空间向量与立体几何测试题及答案

1、高中 数学选修（2-1）空间向量与立体几何测试题一、选择题1 若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量 的终点构成的图形是（）A. 个圆E. 个点C.半圆D.平行四边形答案：A2 .在长方体 ABCD -ABQDi中，下列关于 AG的表达中错误的一个是（）A.亠A DB. AB DD DelC. AD CC1 DC1D.1(ABi CDi) - ACi答案：Em R，下列等式不一定成立的是（3.若a, b, c为任意向量，A. (a 亠b) c =a - (b c)B. (a 亠b)c =ac b-cC. m(a 亠 b) =ma 亠 mbD. (ab)c=

2、a( b-c) 答案：D4.若三点a b, e共线,P为空间任意一点,且 PA 叱iPB = 1 PC ,y - 的值为1A. 1B. -1C.丄D -22答案：B5.设 a =(x,4,3),b= (3,2, z)，且a II b,A.-4B.9C.-9答案：B6 .已知非零向量eb e2不共线，如果AB, C, D ()A.一定共圆B.恰是空间四边形的四个顶点心C. 一定共面D. 肯定不共面答案：C则xz等于（）AB = eAC =2 e2 8 e AD =3 e -3 e2,则四点7.如图1空间四边形 ABCD的四条边及对 角线长都是a,点E, F, G分别是AB, AD, CD的中点，

3、贝U a2等于(A.)B. 2AD-BDC. 2FG-CAD.2EF-CB答案：B8 .右 a = ee2 - e3,b =e - e2 e3, c =e<i e2 e3,d = e2 e23 e，且 d = xayb zc ,则x, y, z的值分别为()1.1,25 厶D1-125 /C1-125 B1 - 2-529 .若向量a =(1,2)与b= (2, -1,2)的夹角的余弦值为A. 2B. -2C.-2或55D. 2 或-55答案：c10 已知ABCD为平行四边形，且A(413),A. -,4,12答案：DB. (2,4,1)11 .在正万体 ABCD - A| B1C1D1

4、 中,A. 60°B. 90°B(2, 5,1),C(3,7, -5)，则顶点D的坐标为(C. (24,1)D. (513, -3)O为AC, BD的交点，则C品C. arccos3GO与AD所成角的(D. arccos6答案：D12.给出下列命题： 已知 a _b，则 a-(b c) c-(b a) =bc ； A, B, M , N为空间四点，若BA,bM,BN不构成空间的一个基底， 那么A, B, M , N共面; 已知a_b，则a, b与任何向量都不构成空间的一个基底;b所在直线或者平行或者重合.)C. 3 若a, b共线，则a, 正确的结论的个数为(D. 4A.

5、1B. 2答案：C 二、填空题13.已知 a =(3,15), b = (1,2,3)，向量 c与 z 轴垂直，且满足 c-a = 9, c-b - -4，则 c =答案：22 , -21 , 05514.已知A B, C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量 OC确53定的点P与A, B, C共面，那么，二.答案：-1515.已知线段 AB_面，BC 二卅，CD _BC , DF _ 面于点 F , / DCF =30°，且 D, A 在平面:-的同侧，若 AB =BC二CD =2，则AD的长为.答案：2 216.在长方体ABCD ABQiDi中，BQ和CQ与底面所成的角分别为

6、 60°和45°,则异面直 线BC和CQ所成角的余弦值为 .答案：4三、解答题17 .设 at =2i - j +K 逊=i +3 j -2 k 爲=-2 i + j 弋 k a =3 i +2 j +5 k,试问是否存在实 数-,7，使a4 a；_a2 a3成立？如果存在，求出 ;如果不存在，请写出证明.答案：解：假设a4 = a ''a2亠、.成立.- a1 =(2, -1,1), a2 =(13, -2), a3 =(-21,3), a(3,2,5), (2 -2、，-，3二朕:， -2- 3、)=(3,2,5).人+4-2v=3,j = -2,. -

7、2,解得=1, -2-3. =5,- -3.所以存在，=-2, " =1 , v = -3 使得 a4 = -2a1 a2 -3a3.理由即为解答过程.2a ,求AC1与侧面ABB1A18 .如图2,正三棱柱AB -A1B1C1的底面边长为a ,侧棱长为 所成的角.解：建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0, 0, B(0 , a , 0, A (0,0, V2a) , C一亟 a, - , ,7a2 2由于n = ( -1,0, 0)是面ABB1A的法向量,1*12故ACi与侧面ABBiA所成的角为30°.19 如图 3，直三棱柱 ABC- ABC中，底面是等腰直角

8、三角形,.ACB 二 90°，侧棱AAi =2, D, E分别是CCi与AB的中点，点 E在平面 ABD上的射影是 求点Ai到平面AED的距离. ABD的重心G ,解：建立如图所示的空间直角坐标系，设CA=2a ,则 A(2a,0,0, B(0,2a,0, D(0,0,1), A(2a,0,2) E(a, a,),-(0 , -2a,1).由 GE_BD=GEbd=0,得 a=1,则 Ai(2,0,2) A(2,0,0) E(1,1,1).自A1作AH 面AED于M，并延长交xOy面于H，设H (x, y,0), I则 AH =(x 2, y, -2).又 AD =(-2,0,1)

9、, AE =(1,1,1).丄 AH _AD,2(x2)2=0,x =1, ZR由 1得 H (1,1,0)."H _ AE-(x -2) y -2 =0y =1,又AM=A1A90s A1AAM= AAcos A1AAH =2 =20.已知正方体 ABCD -ABGD1的棱长为2, P, Q分别是BC, CD上的动点，且PQ = . 2 ,确定P, Q的位置，使QB1 _PD . 解：建立如图所示的空间直角坐标系，设BP =t ,得 CQ = 2 -(2 -t)2 , DQ =2 - 2 -(2 -t)2 .那么 B(2,0, 2) D1(0,2,2, P(2 , , 0) Q(2

10、 - 2-(2-t)2,2,0),从而 QB =( 2 -(2 -t)2, -2 ,2) , PD1 =(22 -t,2),T +由 QB _ PD = QBPDt =0 ,即-2 2 -(2 -t)2 -2(2 -t) 4 =0二 t =1 .故P, Q分别为BC, CD的中点时，QBi _PDi .21.如图 4，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，.ABC=90° , SA_面ABCD ,1SA二AB二BC =1, AD ，求面SCD与面SBA所成二面角的正切 2值.解：建立如图所示的空间直角坐标系，(1 则 A(0,0,0, B(1,0,0, C(1,1,0) D .0,

11、2 0 , S(0,0,1).延长CD交x轴于点F ,易得F(1,0, 0),作AE _SF于点E ,连结DE ,则ZDEA即为面SCD与面SBA所成二面角的平面角.又由于SA二AF且SA_AF，得E -5那么从而乩一1,°,，ED丄,1,V 22 丿 V 2 2cos EA, EDEA-ED因此 tan EAF , ED 二彳.故面SCD与面SBA所成二面角的正切值为22.平行六面体 ABCD -A1B1C1D1的底面 ABCD是菱形，且.GCB =. GCD = BCD ,试问:CD的值为多少时，AQ _面GBD ?请予以证明.当CG解：欲使AQ _面GBD ,只须AC _GD

12、,且AC _GB .欲证AC丄GD ,只须证CACD =0 ,t t T 即(CA AA)(CD -CG) =0 ,也就是(CD CB CC)(CD _CCJ =0,|C2 -|Ccj2 +|CB|cD|COSBCD 由于 GCB =/BCD , 显然，当cd |CC1时，上式成立；cos _GCB = 0 .同理可得，当时，AC GB .CD因此，当时,AC _面 G BD .选择题：(10小题共40分)1.已知A B C三点不共线，对平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点 M与点定共面的是A. OM = OA 亠 OB 亠 OCb. OM = 2OA _ OB _ OCc. om =o

13、a !ob !oc23D.OM =1OA0B -OC3332.直三棱柱 ABC A BiG 中，若 CA = a, CB = b, CCr = C,则 A)B =A. a bc B. a b eC. 一 a b cD. - a b - c3.若向量m垂直向量a和 b，向量n = a h：b(',：=只且、，北0)则A. m n B. m _ n C. mi不平行于n,m也不垂直于nD.以上三种情况都可台匕冃匕4.以下四个命题中，正确的是A.若00=丄0入+丄0目 则p、23'A、E三点共线B.设向量a,b,c是空间一个基底,c + a构成空间的另一个基底C. (a b)cD.

14、ABC是直角三角形的充要条件是AB AC =05.对空间任意两个向量 a,b(b o),a/b的充要条件是A. a 二 bB. a - -bC. b - a6.已知向量a =(0,2,1),b =(-1,1,-2),则a与b的夹角为A.0 °B.45C.90o.D.180 °7.在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，M为AC与 BD的A Bi = a, Ai Di = b, A A = c,则下列向量中与B1M相等的是-b c2A. -lalb lcB. labc C.222 28.已知 a =(1,0,2 Jb =(6,2-1,2),若ab,则与啲值分别为B.5

15、, 2D.-5 ,-29.已知a =3i 2j - k,b = i - j 2k,则5a与3b勺数量积等于A.-15B.-5C.-3D.-1AM与10.在棱长为1的正方体ABCAiBiCD中，M和N分别为AB和BB的中点，那么直线CN所成角的余弦值是2B.-5C.35D10二.填空题：(4 小题共16分)三点共线，则 m+n=11.若 A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3,9) 12.已知 A(0, 2, 3), B(-2 , 1, 6), C( 1, -1 , 5),若|a |二.3,且a _ AB,a _ AC,则向量 a的坐标为13.已知a,b是空间二向

16、量，若心|=3,闪|=2扁4卜.7,则a与b的夹角为 14.已知点 G是厶ABC的重心，O是空间任一点，若 OA OB OCOG,贝，的值三.解答题：(10+8+12+14=44 分)15. 如图：ABCD为矩形，PAL平面 ABCD PA=AD M N分别是PC AB中点,(1)求证：MNL平面PCD (2)求NM与平面 ABCD所成的角的大小16. 一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是300,求这条线段与这个二面角的棱所成的角的大小17. 正四棱锥S ABCD中，所有棱长都是 2, P为SA的中点，如图(1) 求二面角B SC- D的大小；(2)求DP与SC所成的角的

17、大小(4)求CB与平面AABB所成的角的余弦值18. 如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1，底面 ABC中，CA=CB=1 / BCA=90，棱 AA=2, M N分别是A1B1, AA的中点；(1)求BN的长; 求 cos ： BA1,CB1 的值;求证：AB _CM高中数学选修2-1测试题（10）空间向量 参考答案DDBBDCDA AB 11.012.(1,1 , 1)13.60014.315.(1)略45016.45017.(1)1318.(1)3(2) 30(3)略(4)3 10101018.如图，建立空间直角坐标系O xyz. (1 )依题意得B ( 0, 1, 0)、N( 1, 0, 1)I BN |= .(1 一0)2(0 一1)2 (1 - 0)23.(2) 依题意得 A1 (1, 0, 2)、B ( 0, 1