(完整版)余弦定理练习含答案

1、课时作业2余弦定理时间：45分钟 满分：100分课堂训练1. 在 ABC 中，已知 a= 5, b=4,Z C= 120°.则 c 为()A. 41B. , 61C. 41 或 61D. , 21【答案】B【解析】c= ” a2 + b2 2abcosC=52 + 42 2X 5X 4X 2 = 61.2. ABC的内角A、B、C的对边分别为a, b, c,若a, b, c 满足 b2 = ac，且 c= 2a,则 cosB=()A*3B. 3C.【答案】 B【解析】由b2 = ac，又c= 2a,由余弦定理_ a2 + c2 b2cosB=2aca2+ 4a2 ax 2a 3 2a

2、 2a 4.3. 在厶ABC中，三个角A、B、C的对边边长分别为a= 3、b= 4、c= 6,贝卩 bccosA+ cacosB + abcosC =【答案】612b2 + c2 a2【解析】bccosA + cacosB + abcosC = bc c2 + a2 b2 a2 + b2 c2111ca -20c+ ab 2ab= 2(b2 + c2 a2) + 2(c2 + a2 b2) + (a2 +1 61b2 c2) = 2(a2 + b2+ c2)=亍4. 在 ABC 中：(1) a= 1, b= 1,Z C= 120° 求 c;(2) a = 3, b = 4, c= 3

3、7,求最大角；(3) a:b:c= 1: 3 :2,求/ A、/ B、/ C.【分析】(1)直接利用余弦定理即可；(2) 在三角形中，大边对大角；(3) 可设三边为x，3x,2x.【解析】(1)由余弦定理，得c2 = a2 + b2 2abcosC1=12+ 12 2X 1 x 1 x (刁=3,c= 3.(2) 显然/C最大，a2+ b2 c2 32+ 42 371/cosC = 2ab = 2x 3x 4 = 2.AzC= 120°(3) 由于 a:b:c= 1: 3 :2, 可设 a = x, b = V3x, c= 2x(x>0).b2+ c2 a2 3x2 + 4/

4、x2 百由余弦定理，得 cosA= 2bc = 2 3x2x = 2,/./= 30 °1同理 cosB=2 cosC= O./3= 60 ,ZC= 90 .【规律方法】1. 本题为余弦定理的最基本应用，应在此基础上熟练地掌握余弦定理的结构特征.2. 对于第（3）小题，根据已知条件，设出三边长，由余弦定理求出/A,进而求出其余两角，另外也可考虑用正弦定理求/B,但要注意讨论解的情况.课后作业一、选择题（每小题5分，共40分）ABC中，下列结论： a2>b2 + &,则厶ABC为钝角三角形; a2= b2 + c2 + be,则/ A 为 60° a2+ b2&

5、gt;e2，则 ABC为锐角三角形; 若/ A:Z B: / C= 1:2:3，贝卩 a:b:e= 1:2:3, 其中正确的个数为（）A . 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】 eosA=b2+ c2a22bc <°，12,么为钝角，正确;b2 + e2 a2 eosA=2bea2+ b2 c2 cosC=2ab >0，©为锐角，但/ A或/B不一定为锐角，错误;ZA= 30 ° ZB = 60 ° ZC= 90 °a:b:c= 1: 3 :2,错误.故选 A.即 a2+ b2 c2 = ab,cosC=a2+ b2 c2

6、=_ab =12ab= 2ab=2.2.AABC的三内角A、B、C所对边长分别为a、b、c,设向量p=(a + c, b),q= (b a, c a).若 p/ q,则/ C 的大小为()人nA6nB.3nc.2【答案】B【解析】Tp= (a+ c, b), q= (b a, c a)且 pq, .(a + c)(c a) b(b a) = 0nzC= 3.冗 , ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,/ A=3 a=7, b= 1,则 c等于()A. 2 2B. 3C/ 3 + 1D. 2 3【答案】B【解析】由余弦定理得，a2= b2 + c2 2bccosA,所以(7)=

7、 1 + c2 2x 1 x ex cog.即 c2 c 6= 0,解得 c= 3 或 c= 2（舍）.故选 B.4.在不等边三角形 ABC中，a为最大边，且a2vb2 + c2,则/ A 的取值范围是（）A.（扌，n ）B. （n, nC.（n，f）D. （0, n【答案】 C【解析】 因为a为最大边，所以/ A为最大角，即/A> ZB,/A>ZC,故 2ZA>/B+/C.又因为ZB+ ZC= n-ZA,所以 2ZA> nZA, 即ZAg因为a2<b2+ c2,所以cosA=葺b2>0,所以0<从W综上,n /a n3<zA<25. 在

8、ABC 中，已知 a = 4,b= 6,Z C= 120° 则 si nA 的值为()A语DI?【解析】【答案】由余弦定理得c = a2 + b2 2ab cosC = 42 + 62 2X4X 6( 2)= 76,4sin120。姮 -SinA=：76 =百.6. A ABC 中，a、b、c分别为Z A、Z B、Z C 的对边，且 2b = a3+ c,Z B= 30° ABC的面积为刁 那么b等于（）a42c23c. 2【答案】【解析】T2b= a+c,又由于 Z B = 30°1132acsinB = 2acsin30 =2，解得 ac= 6,由余弦定理：b

9、2= a2+ c2 2accosB=(a + c)2 2ac2ac cos30 =4b2 12 6 3,即 b2= 4 + 2 3，由 b>0 解得 b= 1+ 3.7. 在 ABC中，若acosA + bcosB= ccosC，则这个三角形一定是）A .锐角三角形或钝角三角形B .以a或b为斜边的直角三角形C. 以c为斜边的直角三角形D. 等边三角形【答案】B_b2+ c2 a2【解析】由余弦定理acosA+bcosB=ccosC可变为ac= 76.由正弦定理得 轟=sinC,即蠢=sinLZQ ,a2+ c2 b2a2 + b2 c2+ b 2ac- = c ：2ab，a2(b2 +

10、 c2 a2)+ b2(a2 + c2 b2) = c2(a2 + b2 c2)a2b2 + a2c2 a4 + b2a2 + b2c2 b4= Ea2 + Eb2 c42a2b2 a4 b4 + c4 = 0,(c2 a2+ b2)(c2 + a2 b2) = 0,c2+ b2= a2 或 a2+ c2 = b2,以a或b为斜边的直角三角形.8若厶ABC的周长等于20,面积是1/3,/ A= 60°则BC边 的长是()A . 5B. 6C. 7D. 8【答案】 C1【解析】依题意及面积公式S= 2bcsinA,得 10a/3= qbcx sin60 ,即 bc= 40.又周长为 2

11、0,故 a+b + c = 20, b+ c= 20 a.由余弦定理，得 a2 = b2 + c2 2bccosA= b2 + c2 2bccos60 = b2 +c2 bc= (b + c)2 3bc,故 a2= (20 a)2 120,解得 a= 7.二、填空题(每小题10分，共20分)9. 在 ABC 中，三边长 AB= 7, BC= 5, AC= 6,则AB BC的值为.【答案】1919【解析】由余弦定理可求得cosB = 35, -AB bC= |AdB| |BC| cos( nB)= |AB| |BC| cosB= 19.10. 已知等腰三角形的底边长为a,腰长为2a,则腰上的中线

12、长为.【答案】申a【解析】如图，AB = AC= 2a, BC= a, BD为腰AC的中线，EC 1过A作AE丄BC于E,在KEC中，cosC = AC = 4,在BCD中，由余弦定理得 BD2 = BC2 + CD2 2BC CD cosC ,即 BD2 = a2 + a2 2xax ax4=|a2,.bd=a.三、解答题(每小题20分，共40分.解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤)11. 在 ABC 中，已知 b2sin2C+ c2sin2B = 2bccosB cosC，试判断 三角形的形状.【分析】 解决本题，可分别利用正弦定理或余弦定理，把问题转化成角或边的关系求解.a

13、b c【解析】方法一：由正弦定理sinA=sinB=sinc=2R，R为bc外接圆的半径，将原式化为8R2s in 2Bsi n2C= 8R2si nBsi nCcosBcosC.TsinBsinCz0, sinBsinC= cosBcosC,即 cos(B + C) = 0,.启 +/C= 90° ZA= 90° 故ABC 为直角三角形.方法二：将已知等式变为b2(1 coWC) + c2(1 coB)=2bccosBcosC.c c c a2+ b2 c2 c c a2 + c2 b2 o 由余弦定理可得：b2 + c2 b2 20b )2 c2(2ac )2 =a2 + b2 c2 a2 + c2 b22bc ：2ab 2ac .即 b2 + c2a2+ b2 c2 + a2+ c2 b2 24 a2也即b2+ c2 = a2，故ABC为直角三角形.【规律方法】 在利用正弦定理实施边角转化时，等式两边a, b,c及角的正弦值的次数必须相同，否则不能相互转化.12. （2013全国新课标I,理）如图，在 ABC中，/ ABC= 90°,AB= 3, BC= 1, PABC 内一点，/ BPC = 90°1(1) 若 PB= 2,求 PA；(2