3.3.1两条直线的交点坐标(2)

1、3. 3.1两条直线的交点坐标课程目际-IS 11. 了解两条直线的交点坐标是它们的方程组成的方程组的解.2.会用方程组解的个数判定两条直线的位置关系.两条直线的交点坐标（1）求法：两个直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标， 因此解方程组即可.应用：可以利用两条直线的 判断两条直线的位置关系.一般地，将直线 h : a 1x + B1y+ C1 = 0和直线l2： A2X + B2y + C2= 0的方程联立，得方 程组A1X + B1y+ C1= 0,A2X + B2y + C2= 0.当方程组解时，l1和12相交，方程组的解就是交点坐标;当方程组解时，h与l2平行；

2、当方程组解时，h与12重合.名师点拨若两个直线方程组成的方程组有解，则这两条直线不一定相交，还可能重合.【做一做1】 直线x= 1与直线y= 2的交点坐标是（a . （1,2）【做一做2】直线li：)B. (2,1)C. (1,1)D. (2,2)A1x + B1y + C1 = 0,直线 12： A2X + B2y+ C2= 0,当 h 与 I2 平行时，方程组 jA1X + B1y+ " 0，A2X + B2y + C2= 0解的个数是（）C. 2D .无数个答案：（2）交点个数【做一做1】a【做一做2】a有惟一无有无数组1.利用直线方程的一般式，判断两条直线的位置关系剖析：设

3、11: a 1X + B1y + C1 = 0, I2: A2X+ B2y+ C2 = 0.利用直线平行或垂直时，斜率之间的关系，可以得到如下结论:A 1 B1 C1 fA1B2= A2B1,BT'C2； 11 2a1C2 工 A2C1（或 B1C2 工 B2C1）l1与12相交 =#工豊；11与12相交A1B2M A2B1.r AiB2=A2B1,ll与12重合=牛=晳二C1； 11与12重合 BiC2= B2C1 ,A 2 B2 C2A1C2= A2C1. 11血AiA2+ BiB2= 0.2.直线系方程剖析：具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系,表示直线系的方程叫做直线系方

4、程.直线系方程的特点是除含坐标变量X, y以外，还含有特定系数(也称参变量).(1)共点直线系方程：经过两条直线11 : Aix + Biy + Ci = 0, I2： A2X + B2y + C2= 0交点的直线系方程为 Aix + Biy + Ci+入(Ax+ B2y + C2) = 0,其中入是待定系数.在这个方程中，无论入取什么实数，都得不到A2x + B2y + C2= 0，因此它不能表示直线12.(2)平行直线系方程：与直线Ax+By+ C = 0平行的直线系方程是 Ax+By+ X= 0(乎C),入是参变量.(3)垂直直线系方程：与Ax+By+ C = 0(A丰0, B丰0)垂直

5、的直线系方程是Bx Ay+入=0.(4)特殊平行线与过定点(X0, y。)的直线系方程：当斜率k 一定而m变动时，y = kx+ m表示斜率为k的平行直线系,y y0= k(x X0)表示过定点(X0, y0)的直线系(不含直线x= X0).在求直线方程时，可利用上述直线系方程设出方程，再利用已知条件求出待定系数从而求出方程.3.直线恒过定点问题剖析：当直线的方程中含有未知参数时，随着参数的变化，直线也发生变化，这些直线组合在一起，构成直线系，它们通常具有相同的某一特征.如果直线系恒过定点,可用分离参数法和赋值法进行求解.如直线(2+ m)x (1+ 2m)y + (1 + 5m) = 0,其

6、中mR，我们可以将所给方程的左边分成两部分，一部分含m,另一部分不含m，即(2x y+ 1) + m(x 2y +I2x y+ 1 = 0,I5)= 0,然后由求得|x 2y+ 5 = 0,|y= 3,x= 1,这样就能得到不管m如何变化，直线一定经过的定点(1,3)，这种方法称为分离参数法.也可根据m的任意性，给 m取两个特殊值,如令 m= 0，得 2x y + 1 = 0,2x y+ 1 = 0,令m= 1，得3x 3y+ 6= 0,由方程组$得3x 3y + 6 = 0,x= 1,$得到直线恒过的定点ly= 3,(1,3)，这种方法称为赋值法.这两种方法的依据都是恒过的定点一定是其中两条

7、直线的交点,解方程组即得交点坐标.曲型例题讣喜题型一：判断两条直线的位置关系【例11判断直线li： X 2y+ 1 = 0与直线l2： 2x 2y+ 3= 0的位置关系，如果相交, 求出交点坐标.当方反思：可以利用两个直线方程组成的方程组解的个数来判断两条直线的位置关系.程组无解时，两条直线平行；当方程组仅有一解时， 两条直线相交；当方程组有无数组解时, 两条直线重合.题型二：已知两条直线的位置关系求参数的值【例21已知直线丨仁x+my+ 6 = 0和直线12： (m 2)x + 3y+ 2m = 0，试分别求实数 m 的值：(1)11 丄 12(2)li/ I2(3)li 与 l2重合 相交

8、.反思：直线 li: Aix + Biy + Ci= 0，直线 l2： A2X + B2y + C2= 0,当 AiB2 A2Bi= 0, C1B2 C2B1 = 0, AiC2= A2C1 时，li 与 12重合;当 AiB2 A2Bi= 0, C1B2 C2B1 丰0 时，1/2;当 AiA2+ BiB2= 0 时，12；当 AiB2 A2B1M 0 时，li 与 12 相交.时,题型三：易错点【例31a .平行易错辨析对两条直线平行的条件把握不准确直线11： 3x+ 2= 0,直线12： 4x 5 = 0，则11与12的位置关系是()B .相交C.重合D .异面错解：直线11的方程中，A

9、1= 3, B1 = 0, C1 = 2,直线12的方程中，A2= 4, B2= 0, C25,则 AiB2A2Bi = 0, B1C2 B2Ci= 0，于是 li 与 12重合，故选 C.错因分析：错解中忽视了验证 AiC2A2Ci的值是否等于0.反思：当 AiB2 A2Bi= 0, A1C2 A2C1M 0 时，1,2；当 AiB2 A2Bi = 0, B1C2 B2C1M 01,2；当 AiB2 A2Bi = 0 , B1C2 B2Ci= 0, A1C2 A2Ci = 0 时，ll 与 12 重合.当然本题借助于图形来解最简单.x 2y+ 1 = 0,答案：【例11解：解方程组$得x=

10、2,bx 2y+ 3= 0,1y= 2,所以直线11与12相交，交点坐标是(2, 1)【例2】 解：(1)由题意得1 X (m 2) + mx 3 = 0,解得1m= 2.(2)由题意得pl X 3 (m 2 m= 0,Imx 2m 3X 6丰 0,解得m =-1.(3)由题意得1 X 3 (m 2 m= 0,$解得m = 3.mX2m 3X 6 = 0,(4)由题意得1X 3 m(m 2)工 0,解得 m 1 且 m 3.【例3】a1. 直线2x+3y+ 8 = 0和直线X y 1 = 0的交点坐标是(a . ( 2, 1)B . ( 1, 2)C. (1,2)2. 已知两条直线11： ax+ 3y 3= 0, I2： 4x+ 6y 1= 0.若h与相交，则实数a满足的 条件是.3. 直线(a+ 2)x + (1 a)y 3 = 0 与直线(a+ 2)x + (2a + 3)y + 2= 0 不相交，则实数 a=D. (2,1)4.判断直线11： 3x + 2y 2= 0与直线“：x 2y 3= 0的位置关系.如果相交，求出交点坐标.5.求经过两条直线 2x 3y 3 = 0和x+y+ 2= 0的交点且与直线 3x + y 1 = 0平行的 直线I的方程.答案：1 . B 2.aM 23. 2 或234.解：解方程组产+