二次函数平行四边形存在性问题例题

1、实用标准文案二次函数平行四边形存在性问题例题一.解答题(共9小题)1 .如图，抛物线经过 A (- 1 , 0), B (5, 0), C (0, £)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点 P,使PA+PC的值最小，求点P的坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N,使以A, C, M , N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点 N的坐标；若不存在，请说明2 .如图，在平面直角坐标系中，直线y= - 3x-3与x轴交于点A,与y轴交于 点C.抛物线y=x 2+bx+c经过A, C两点，且与x轴交于另一点B (点B在点 A右侧).(1)求抛

2、物线的解析式及点B坐标；(2)若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F, 交抛物线于点E.求ME长的最大值；(3)试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点 P,使以M, F, B, P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 P的坐标；若不存 在，试说明理由.3 .已知：如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线尸V肝§与x轴、y轴的交点 分别为A、B两点，将/OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕 交x轴于点C.(1)直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)若(1)中抛物线的顶点为 D,在直线BC上是否存在点P,使

3、得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由；(3)若把(1)中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x轴交于F、N (点 F在点N的左侧)两点，交y轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一 点Q,使点Q到E、N两点的距离之差最大？若存在，请求出点 Q的坐标；若 不存在，请说明理由.三4 .已知：如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线尸十肝6与x轴、y轴的交点 分别为A、B,将/OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x 轴于点C.(1)直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四

4、边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由；(3)设抛物线的对称轴与直线 BC的交点为T, Q为线段BT上一点，直接写出|QA - QO|的取值范围.5 .如图，RtSAB如图所示放置在平面直角坐标系中， 直角边OA与x轴重合， /OAB=90 0 ,OA=4 , AB=2 ,把RtSAB绕点O逆时针旋转90 °，点B旋转 到点C的位置，一条抛物线正好经过点 O, C, A三点.(1)求该抛物线的解析式；(2)在x轴上方的抛物线上有一动点 P,过点P作x轴的平行线交抛物线于点 M,分别过点P,点M作x轴的垂线，交x轴于E, F两点，问：四边形PEFM 的周

5、长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说 明理由.(3)如果x轴上有一动点H,在抛物线上是否存在点N,使O (原点)、C、H、 N四点构成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在， 请说明理由.6.如图，直线y=-与x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,抛物线y=ax4经过B、C两点.(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当 BEC面积最大时，请求出点E的坐标和4BEC面积的最大值？(3)在(2)的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M ,连接AM ,点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P,使得以P

6、、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.文档B (4, 0)、7.如图，抛物线y=ax2+bx+2与坐标轴交于A、B、C三点，其中C ( -2, 0),连接AB、AC,在第一象限内的抛物线上有一动点 D,过D作DE，x轴，垂足为E,交AB于点F.(1)求此抛物线的解析式;(2)在DE上作点G,使G点与D点关于F点对称，以G为圆心，GD为半径作圆，当。G与其中一条坐标轴相切时，求 G点的横坐标;(3)过D点作直线DH /AC交AB于H ,当GHF的面积最大时，在抛物线和直线AB上分别取M、N两点，并使D、H、M、N四点组成平行四边形，请你N

7、两点的横坐标.x2相交于B、C两占八、E(1)如图1,当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式;8.已知直线y=kx+b (k汽)过点F (0, 1),与抛物线y=-4(2)在(1)的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线,与抛物线交于点D,是否存在这样的点M,使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在,求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由;(3)如图2,设B (m .n) (m<0),过点 E (0. - 1)的直线 l/x 轴，BR±l于R, CSL于S,连接FR、FS.试/U断ARFS的形状，并说明理由.9.抛物线y=x2+bx+c经过A (0

8、, 2), B (3, 2)两点，若两动点 D、E同时从原点。分别沿着x轴、y轴正方向运动，点E的速度是每秒1个单位长度，点D的速度是每秒2个单位长度.(1)求抛物线与x轴的交点坐标；(2)若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D,使A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点 D的坐标；若不存在，说明理由；(3)问几秒钟时，B、D、E在同一条直线上？.A (T, 0), B (5, 0), C (0,y=ax 2+bx+c (a0),2017年05月03日1587830199的初中数学组卷参考答案与试题解析一.解答题(共9小题)1 . (2016?安顺)如图，抛物线经过 A (

9、- 1, 0), B (5, 0), C (0, £)三 点.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点 P,使PA+PC的值最小，求点P的坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N,使以A, C, M , N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点 N的坐标；若不存在，请说明-1")三点在抛物线上,a-b-l-七二。25a+5b+t=Q5L2解得1b=-25C - 2抛物线的解析式为:y=x2 - 2x,22(2)二.抛物线的解析式为:y=-i-x2 - 2x -1其对称轴为直线x=-乒=-一W1二2 , 园2得连接BC,如图1所示，-B

10、(5, 0), C (0, -1),设直线BC的解析式为y=kx+b (“0), f 5k+b>=0直线BC的解析式为y=-x -, 当 x=2 时，y=1 -=-=一堤,(3)存在.如图2所示,当点N在x轴下方时，二.抛物线的对称轴为直线x=2 , C （0,当点N在x轴上方时，如图，过点N2作N2D，x轴于点D,在MN2D 与zhCO 中，rZN=ZCM2Q* AN2-Clfl2Zah2d=Zh2co .ZAN2D0JM2CO (ASA),解得 x=2+ 或 x=2- N 2 （2+ V14,工），N 3 （2 -）14,，）.综上所述，符合条件的点N的坐标为（4, -4）, （2+

11、V14,名）或（2-K/I4,2. (2016?十堰一模)如图，在平面直角坐标系中，直线 y= - 3x-3与x轴交 于点A,与y轴交于点C.抛物线y=x 2+bx+c经过A, C两点，且与x轴交于 另一点B (点B在点A右侧).(1)求抛物线的解析式及点B坐标；(2)若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F,交抛物线于点E.求ME长的最大值；(3)试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点 P,使以M, F, B, P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 P的坐标；若不存 在，试说明理由.【解答】解：(1)当y=0时，3x 3=0 , x= - 1 .

12、 A (T, 0)当 x=0 时，y= - 3,. C (0, - 3),J14+U0产一 3,* , lc-3抛物线的解析式是：y=x2-2x-3.当 y=0 时，x2 - 2x - 3=0 ,解得：X1= - 1 , X2=3 . B (3, 0).(2)由(1)知 B (3, 0), C (0, - 3)直线 BC 的解析式是：y=x -3,设 M (x, x-3) (0<x<3),贝U E (x, x2 2x -3) ME= (x-3) - (x2-2x-3) = - x2+3x= - (x-)2+-y;.当x=凯，ME的最大值为京（3）答：不存在.由（2）知ME取最大值时

13、ME榭 E （®,-争，M 剧,-三）. MF= , BF=OB -OF=-|-设在抛物线x轴下方存在点P,使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边 形,WJ BP/MF , BF/PM .Pi (0,当 Pi (0,）时，由（1）知y=xPi不在抛物线上.当 P2 (3,1)时，由(1)知 y=x 2 - 2x - 3=0.P2不在抛物线上.综上所述：在x轴下方抛物线上不存在点 P,使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形.3. （2016?义乌市模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线尸V肝8 与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，将/OBA对折，使点。的对应点H落

14、在直线AB上，折痕交x轴于点C.（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若（1）中抛物线的顶点为 D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由；（3）若把（1）中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x轴交于F、N （点F在点N的左侧）两点，交y轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使点Q到E、N两点的距离之差最大？若存在，请求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由.【解答】解：（1）连接CH 由轴对称得 CHXAB, BH=BO , CH=CO在£HA中由勾股定理，得ac2=ch2+

15、ah 2 直线尸彳k6与x轴、y轴的交点分别为 A、B两点 当 x=0 时，y=6 ,当 y=0 时，x=8. B (0, 6), A (8, 0). OB=6 , OA=8 ,在RtAAOB中，由勾股定理，得AB=10设 C (a, 0), . OC=aCH=a , AH=4 , AC=8 a,在 RtAHC 中，由勾股定理，得(8 - a) 2=a 2+4 2 解得a=3C (3, 0)设抛物线的解析式为：y=ax 2+bx+c ,由题意，得J 0=6 西+ 8b+c10=9a+3b+ cr i解得：上卫14t c=6抛物线的解析式为：e6(2)由(1)的结论，得. DF=2516设BC的

16、解析式为：y=kx+b ,则有产M3k + h解得上lk-2直线BC的解析式为：y= - 2x+6设存在点P使四边形ODAP是平行四边形，P (m, n)作 PE± OA 于 E, HD 交 OA 于 F.zPEO= ZAFD=90 ° ,PO=DA , PO /DAzPOE= /DAF.zOPEADFPE=DF=n=251671x=爵-2x+632P (f-卷210当x=y= -2 x手+6=1点P不再直线BC上，即直线BC上不存在满足条件的点P.(3)由题意得，平移后的解析式为:嘲 对称轴为：x=2 ,当x=0时，y=一2当 y=0 时，0=.F在N的左边F （寸,0）

17、, E （0,-寮，N （二，0）连接EF交x=2于Q,设EF的解析式为：y=kx+b. EF的解析式为：y二x 81 o99t x=2it=24. (2016?深圳模拟)已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线厂与x轴、y轴的交点分别为A、B,将/OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C.(1)直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由；(3)设抛物线的对称轴与直线 BC的交点为T, Q为线段BT上一点，直接写出|QA - QO

18、|的取值范围.【解答】解：(1)点C的坐标为(3, 0). (1分)点A、B的坐标分别为A (8, 0), B (0, 6),可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a (x-3) (x-8).将x=0 , y=6代入抛物线的解析式，得3二.(2分)，过A、B、C三点的抛物线的解析式为(3分)(2)可得抛物线的对称轴为直线,顶点D的坐标为【斗，-I z Lb设抛物线的对称轴与x轴的交点为G.直线BC的解析式为y= - 2x+6.4分)设点P的坐标为(x, - 2x+6 ).解法一：如图，作OP /AD交直线BC于点P, 连接AP ,作PM ±x轴于点M .OP /AD ,zPOM=

19、 /GAD , tan /POM=tan /GAD .4二OM GA'解得访?.经检验是原方程的解.此时点P的坐标为（牛，手）.（5分）但此时qmW，G仁擀，OM<GA.HP-如二缶T NRM二3 .OP<AD ,即四边形的对边 OP与AD平行但不相等,直线BC上不存在符合条件的点P （6分）解法二：如图，取OA的中点E, 作点D关于点E的对称点P,作PN，x轴于 点 N.贝（J/PEO=/DEA, PE=DE.可得PENWDEG.由0£=下丁=4,可得E点的坐标为（4, 0）.NE=EG=ON=OE - NE=-1,NP=DG=点P的坐标为号，得）.（5分）x=

20、亍时，七十A2X于6=1卢获点P不在直线BC上.直线BC上不存在符合条件的点P. （6分）（3） |QA - QO|的取值范围是区侬匈幺.（8分）当Q在OA的垂直平分线上与直线 BC的交点时，（如点K处），此时OK=AK ,则 |QA-QO|=0 ,当Q在AH的延长线与直线BC交点时，止匕时|QA - QO|最大， 直线AH的解析式为：y=-卷x+6 ,直线BC的解析式为：y= - 2x+6 , 联立可得：交点为（0,6）,. OQ=6 , AQ=10 , .|QA - QO|=4 ,.QA QO|的取值范围是：0 0QA QO| <4.5. （2016?山西模拟）如图，RtSAB如图所

21、示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，/OAB=90 0 ,OA=4 , AB=2 ,把RtgAB绕点O逆时针 旋转90 ° ,点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点 O, C, A三点.（1）求该抛物线的解析式；（2）在x轴上方的抛物线上有一动点 P,过点P作x轴的平行线交抛物线于点 M,分别过点P,点M作x轴的垂线，交x轴于E, F两点，问：四边形PEFM 的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说 明理由.（3）如果x轴上有一动点H,在抛物线上是否存在点N,使O （原点）、C、H、 N四点构成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出N点的

22、坐标；若不存在， 请说明理由.【解答】解：（1）因为OA=4 , AB=2 ,把9OB绕点。逆时针旋转90可以确定点C的坐标为（2, 4）;由图可知点A的坐标为（4, 0）,又因为抛物线经过原点，故设 y=ax 2+bx把（2, 4）, （4, 0）代入，ZB 0=16 a+4b得，1.4=4/2b 解得I所以抛物线白解析式为y= - x2+4x ；(2)四边形PEFM的周长有最大值，理由如下：由题意，如图所示，设点 P的坐标为P (a, - a2+4a)则由抛物线的对称性知OE=AF ,，EF=PM=4 - 2a , PE=MF= - a2+4a ,则矩形 PEFM 的周长 L=24 - 2

23、a+ ( a2+4a ) = - 2 (a- 1) 2+10 ,当a=1时，矩形PEFM的周长有最大值，Lmax=10 ;(3)在抛物线上存在点N,使O (原点)、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形，理由如下：,y= - x2+4x= -(X-2) 2+4 可知顶点坐标(2,4),知道C点正好是顶点坐标，知道 C点到x轴的距离为4个单位长度，过点C作x轴的平行线，与x轴没有其它交点，过y= - 4作x轴的平行线，与抛物线有两个交点，这两个交点为所求的 N点坐标所以有-x2+4x= - 4解得xi=2+ 2近，x2=2 - 2V2.N 点坐标为 Ni (2+|帖,4), N2 (2-|2

24、>/2, 4).抛物线y=ax经过B、6. (2015?葫产岛)如图，直线y= -x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,C两点.(1)求抛物线的解析式;(2)如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当 BEC面积最大时，请求出点E的坐标和4BEC面积的最大值?(3)在(2)的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M ,连接AM ,点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.备月国【解答】解：(1)二.直线y二x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,C两点,点B的坐标是（0,

25、 3）,点C的坐标是（4, 0）,:抛物线丫=2乂 2+ x+c经过B、 4.卜 6制c=3解得F、c=3- y= - -x2+ x+3 .y 84（2）如图1,过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M, EF交x轴于点F,圄1点E是直线BC上方抛物线上的一动点，设点 E 的坐标是(x, - -|-x2+-yx+3 ), o 4则点M的坐标是(x, - jx+3 ),.323c/8 c、 323. EM= - -x2+x+3 ( - -tx+3 ) = -x2+-x, <544H z-,Szbec=S zbem+S zmec=4x2+3xX4 当x=2时，即点E的坐标是（2, 3）时，4

26、BEC的面积最大，最大面积是3.（3）在抛物线上存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形.由（2）,可得点M的横坐标是2,丁点M在直线y= -4x+3上，4 点M的坐标是（2,卷），又二点A的坐标是（-2, 0）, AM="-（-公产+仔-。）2，93. AM所在的直线的斜率是： 上口、咨;. y= -x2+-x+3 的对称轴是 x=1 ,设点Q的坐标是（1 , m）,点P的坐标是（x, -|-x2+x+3 ）,. x<0,点P的坐标是（-3,如图3,由（2）,可得点M的横坐标是2,点M在直线y= -4x+3上，4点M的坐标是（2,告）， 又二点A的坐标是（-2

27、, 0）,-AM="2）1，*0二半，. AM所在的直线的斜率是:2-(-2). y= -7x2+-jx+3 的对称轴是 x=1 ,设点Q的坐标是（1, m）,点P的坐标是（x,_3"8x2+/x+3 ),. x>0 , 点P的坐标是（5,-堂. D由（2）,可得点M的横坐标是2,丁点M在直线y= -7X+3上， 4 点M的坐标是（2,日），又二点A的坐标是（-2, 0）, AM=+仔-0） =p"，? Q. y= -2+x+3的对称轴是x=1 ,34设点Q的坐标是（1, m）,点P的坐标是（x, - 7j-x2+-x+3 ）,陞二-1点P的坐标是(-1 ,

28、15综上，可得 在抛物线上存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形, 点P的坐标是(-3,-图)、(5,-表、(-1 ,普).7. (2015?梧州)如图，抛物线y=ax2+bx+2与坐标轴交于A、B、C三点，其中B (4, 0)、C (-2, 0),连接AB、AC,在第一象限内的抛物线上有一动点D,过D作DEx轴，垂足为E,交AB于点F.(1)求此抛物线的解析式；(2)在DE上作点G,使G点与D点关于F点对称，以G为圆心，GD为半径作圆，当。G与其中一条坐标轴相切时，求 G点的横坐标；(3)过D点作直线DH /AC交AB于H ,当GHF的面积最大时，在抛物线和直线AB上分别取

29、M、N两点，并使D、H、M、N四点组成平行四边形，请你 直接写出符合要求的M、N两点的横坐标.【解答】解：（1） . B, C两点在抛物线y=ax2+bx+2上,、4a-2b+2=0所求的抛物线为:（2）抛物线y=工2,则点A的坐标为（0 , 2）,设直线AB的解析式为y=kx+b ,.p=2Uk+b-o/k=-解得： 2.b=2直线AB的解析式为y= -yX+2 ,设F点的坐标为（x, 一x+2 ），则D点的坐标为（x, 一:/4"肝2）,.G点与D点关于F点对称, G点的坐标为（x,亍工2=工+2）,若以G为圆心，GD为半径作圆，使得。G与其中一条坐标轴相切，若。G与x轴相切则必

30、须由DG=GE , 即一42+点+2 -4/一92） =、2,料工，解得：x=看,x=4 （舍去）;若。G与y轴相切则必须由DG=OE ,即 q ,，二：- -1 1 ；一门二二解得：x=2 , x=0 （舍去）.G点的综上，以G为圆心，GD为半径作圆，当。G与其中一条坐标轴相切时，横坐标为2或(3) M点的横坐标为2 ±2施，N点的横坐标为§±料.Dx2相交于B、C两点.S8. (2015?资阳)已知直线y=kx+b (kw0)过点F (0, 1),与抛物线y=(1)如图1,当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式;(2)在(1)的条件下，点M是直线BC上一动点

31、，过点M作y轴的平行线,与抛物线交于点D,是否存在这样的点M,使得以M、D、O、F为顶点的四边 形为平行四边形？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由;(3)如图 2,设 B (m . n) (m<0),过点 E (0. - 1)的直线 l/x 轴，BR±l于R, CS，l于S,连接FR、FS.试/U断ARFS的形状，并说明理由.【解答】解：(1)因为点C在抛物线上，所以C (1,节,又直线BC过C、F两点,故得方程组:b=Lk+片I 4解之，得所以直线BC的解析式为：y=/x+1;(2)要使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，则 MD=OF ,如图 所示，设 M （x,一卷x+1 ），贝U D （x,.x2）, .MD /y 轴，. MD= -JLx+1x2,44由 MD=OF ,可得 |一2x+1x2|=1 ,44当-x+1x2=1 时，44解得xi=0 (舍)或xi=-3,所以 M （ - 3,当一x+1 L2, = 1时， 44解得，xJ土产,所以M （一3,myti）或M Zo综上所述，存