历年高考全国3卷理科数学试题及答案

1、2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国）理科数学（试题及答案解析）、选择题：（本题共12小题，每小题5,共60分）22一 ,、一_. _ 一 ，, 、，一 一1,已知集合 A (x, y)x y 1 , B (x, y)y x ,则AI B中兀素的个数为()A. 3【答案】B【解析】A表示圆x2B. 22y2 1上所有点的集合,C. 1D. 0B表不直线yx上所有点的集合,故AI B表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为 为2,故选B.2,即AI B元素的个数2.设复数z满足（1i)z【解析】由题，z2i ,则 z ()B.丝22i 2i 1 i 2i 21 i 1 i 1 i 2C

2、. 4iD. 2i 1 ,则 | z J12 12 后,故选 C.3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D.各年1月至6月的月接待游客量相对 7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则 A选项错误，故选A.5 .3 3. 一4. (x y)(2x y)的展开式中x y的系数为()A.【答案

3、】【解析】B.C由二项式定理可得，原式展开中含22333x C2 2x y y c3 2xC. 40D. 803 3x y的项为2Q Q3 3一y 40x3y3 ,则x y的系数为40,故选C.225.已知双曲线 C:x2卷1 （a 0, b 02212 73- 1有公共焦点.则C的方程为（）2222xy /xy ,A. 1 B. 18 1045【答案】B的一条渐近线方程为y 上勺x ,且与椭圆222x y /D. 143双曲线的一条渐近线方程为v ，5x,则22 a22又.椭圆' L 1与双曲线有公共焦点，易知123由解得a 2,b J5,则双曲线C的方程为近2222c 3,则 a

4、b c221 ,故选B.45兀6.设函数f(x) cos(x -),则下列结论错误的是()3A. f (x)的一个周期为2兀 一 .，兀C. f(x )的一个零点为x 6【答案】D【解析】函数f xcos x 的图象可由y 3一一一、，一 8 兀B. y f (x)的图像关于直线x 对称 3, 兀 .D. f (x)在(一，兀)单倜递减2cosx向左平移个单位得到,3如图可知，f x在，兀上先递减后递增，D选项错误，故选D. 2yf【答案】D【解析】程序运行过程如下表所示:SM初始状态0100第1次循环结束10010第2次循环结束901此时S 90 91首次满足条件，程序需在 最小值，故选D.

5、t123t 3时跳出循环，即 N 2为满足条件的8.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体17B 37t71积为（）A n【答案】B【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径则圆柱体体积V<2h3 ,故选B.4 '9.等差数列 an的首项为1,公差不为0.若a2, a3, a6成等比数列，则an前沏的和为（）A.24B.3C. 3D, 8【答案】A【解析】an为等差数列，且a2,a3,%成等比数列，设公差为d. 22贝Ua； a2 a6,即 a1 2d 4 d a15d又a1 1 ,代入上式可得d2 2d 0又d 0 ,则 d

6、26 56 5S6 6ad 1 6224,故选A.22210.已知椭圆C:x2a2L 1 b2b 0）的左、右顶点分别为 A, Aa,且以线段A1 A2为直径的圆与直线bx ay 2ab 0相切，则C_63AB.近3的离心率为（）c6C31D. 一3;以A1A2为直径为圆与直线bx ay 2ab 0相切，圆心到直线距离 d等于半径,12ab. a2 b2 老又a 0,b 0,则上式可化简为a23b2c2,可得a2 311.已知函数f(x)A.12C由条件，f(2 x)x 12x a(e1B- 3)有唯一零点,C.a ()12D. 1f(x) f(2由题意,(22 x2 xx)2 xx)24x2

7、xx 12x a(e2(2 x) a(e：1 x4 4 2x a(e.x 1 x 1、a(e e )，得：e(2 x)1)x 1e )f (x),即x 1为f (x)的对称轴,f (x)有唯一零点,，f(x)的零点只能为x即 f (1) 12 2 1 a(e1 1一 11解得a -.21)0,12.在矩形 uur APABCD uuu ABUUu ABAD ,则ADP在以点A.C.【答案】【解析】35 A由题意，画出右图D.的最大值为()2 22设BD与eC切于点E ,连接CE .以A为原点，AD为x轴正半轴，AB为y轴正半轴建立直角坐标系， 则C点坐标为(2,1).|CD| 1 , |BC

8、| 2 . BD 12 225 BD切eC于点E .CE ± BD . CE是RtABCD中斜边BD上的高.C为圆心且与BD相切的圆上.若|EC|2 SL BCD|BD|即e C的半径为12 2 |BC|CD|BD|275.52、5 5 P在 eC 上.2、， (x 2)P点的轨迹方程为(y21)设p点坐标(x0，yo),可以设出p点坐标满足的参数方程如下:2 =x02 _ . 5 cos5、2 =y0 1 5 sin sin5 uuuuur而 AP (x0,y。)，AB uuuULUILUIT APABADLUIT(0,1), AD (2,0).(0,1)(2,0)(2 ,)-xo

9、 1 cos ,y0 1 Vssin255两式相加得：1 V5sin1 cos5 ,5当且仅当(255)2 ( 55)2 sin(sin( ) < 3(其中 sin- , cos2 k % k Z 时, 2)25、)5取得最大值3.二、填空题：（本题共 4小题，每小题5分，共20分）x y > 0,13 .若x, y满足约束条件 x y 2W。,则z 3x 4y的最小值为 . y> 0,【答案】1【解析】由题，画出可行域如图：目标函数为z 3x 4y ,则直线y - x *纵截距越大，z值越小.44由图可知：z在A 1,1处取最小值，故zm1n 3 14 11 .14 .设等

10、比数列 an满足& a? 1 , 4 a3 3,则a4【答案】8【解析】Q an为等比数列，设公比为 q .a1a21 a&q1 aa33' a1alq23显然 q 1, a10,不得1 q 3 ,即q 2 ,代入式可得a 1 ,15.设函数f(x)-1【答案】-，4【解析】Q f xx 1,x< 0,1x则满足f (x) f(x -) 1的x的取值范围是x 1,x< 02x ,x 0 '2 ,x 0,2由图象变换可画出由图可知，满足f16. a, b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a, b都垂直，斜边 AB以直

11、线AC为旋转轴旋转，有下列结论: 当直线 AB与a成60角时，AB与b成30角；当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；直线AB与a所成角的最小值为45 ;直线AB与a所成角的最大值为60 .其中正确的是 (填写所有正确结论的编号)【答案】【解析】由题意知，a、h AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图.不妨设图中所示正方体边长为 1,故 | AC | 1 , AB 五,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，则 A点保持不变,B点的运动轨迹是以心圆心，1为半径的圆. 以C为坐标原点，以CD为x轴正方向，uuuCB为y轴正方向,CA为z轴正方向建立空间直角坐标系则 D(1,0,0), A(0,0,

12、1),r直线a的万向单位向量 a (0,1,0),r|a|B点起始坐标为(0,1,0), rr直线b的方向单位向量b (1,0,0), |b| 1.设B点在运动过程中的坐标B (cos ,sin ,0),其中为BC与CD的夹角， 0,2句. uuur那么AB'在运动过程中的向量AB ( cos , sin ,1),uuur 一|AB | V2 .设ABr与a所成夹角为0,胃，则cos(cos，2到争sin | 0,a AB皿兀 兀_,故 了万,所以正确,0, 小设ABr与r所成夹角为|cosb ABuuur r AB bcos ,sin ,1) (1,0,0),r .uuurb AB2

13、|cos | 2当AB与a夹角为60时，即sin,2cos兀3，,2 122.2 cos' | cos2sin-1.2 cos21,r- 兀I 0,一.2-,此时 3uur 一 rAB与b夹角为60 .，正确，错误.三、解答题：（共70分.第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22, 23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分.17. （ 12 分）ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知sin A 而cosA(1)(2)求c;设D为BC边上一点，且AD AC ,求4ABD的面积.【解析】(1)由 sin A 73cos A0 得 2sin

14、A(3) °，一兀即 A - kn k Z3，又A 0,兀由余弦定理b2 c2 2bc cosA .又a 2v7, b 2,cosA1， 、, 坨一代入并整理225,(2) .AC 2,BC故c 4.2" AB 4,222由余弦定理cose a b c 2ab7 AC AD ,即AACD为直角三角形,则 AC CD cosC，得 CD ".由勾股定理adp 2 n又A ，则3J|CD|AC2支 支DAB 321 AD AB sin -263.18. （ 12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理， 以每

15、瓶2元的价格当天全部处理完. 根据往年销售经验， 每天需求量与当天最高气温（单位：C）有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最tWj气温位于区间20,25 ,需求量为300瓶；如果最tWj气温低于 20,需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得卜面的频数分布表:最高气温10,1515,2020,2525,3030 ,3535,40天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元）.当六月份这种酸奶

16、一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？【解析】易知需求量x可取200,300,5002 16130353623035257423035P X 200P X 300P X 500则分布列为:X200300500P152525当nW 200时：Yn 6 42n ,此时 Ymax400 ,当 n41当200 nW 300时：Y2n200 2 n2002558800 2n 6n800-n 555200时取到.此时Ymax520 ,当n 300时取到.当300 nW 500时，122Y - 200 2 n 2002 300 2 n 3002- n 25553200 2n5此时Y

17、520.当n > 500时，易知Y 一定小于 的情况.综上所述：当n 300时，Y取到最大值为520.19 .( 12分)如图，四面体ABCD中，4ABC形.?ABD ?CBD , AB= BD .(1)证明：平面 ACD A平面ABC ;(2)过AC的平面交BD于点E ,若平面AEC 把四面体ABCD分成体积相等的两部分.求二 面角D- AE - C的余弦值.【解析】取AC中点为O ,连接BO , DO ; Q ABC为等边三角形BOABABBDACBCBCABD CBD .BDABD DBC角形， ACD是直角角DEBDAEBADCAAD CD ,即 ACD为等腰直角三角形, 为直角

18、又O为底边AC中点DO 令ABAC则 AB| | AC| |BC| |BD22od|ob|bd易得：ODOB a 22由勾股定理的逆定理可得DOB 2即ODODOBACODACACOBOBOB O OD平面ABC平面ABC平面ABC又 od平面ADC由面面垂直的判定定理可得平面ADC由题意可知 VD ACE VB ACE即B , D到平面ACE的距离相等即E为BD中点以O为原点，OA为x轴正方向, 向，OD'为z轴正方向，设ACuuuOB为y轴正方 建立空间直平面ABC角坐标系,则 O 0,0,0aA 一,0,02aD 0A2n 3 a0,a,一44uur易得：AE,一 a,一设平面A

19、ED的法向量为4 iu niuurAD平面2A2uuu OAa2，0，0urAEC的法向量为n2uuu unAE ni 贝 U uuur urAD ni uuu uu AE n2 uuu ur OA n20IU,解得ni 0uu n23,1, .30,1,3解得0C为720. (12分)已知抛物线 线段AB为直径的圆.(1)证明：坐标原点(2)设圆M过点P2y = 2x,过点(2, 0)的直线I交C于A , B两点,M是以O在圆M上；(4, - 2 ),求直线I与圆M的方程.【解析】显然, 设I : x当直线斜率为 。时，直线与抛物线交于一点，不符合题意.联立:my2y2xmyA(x,yi),

20、 BNyz),得y222my24m uur urn OA OB16恒大于0 ,Vi y22m,ViV24X1X2yiy2(myi 2)( my2(m1)yi y22)2m(yi,24(m1) 2 m(2 m)uur uuu OA OB ,即O在圆M上.V2)4若圆M过点uuu uurP ,贝U AP BP(xi 4)(x2 4)(myi 2)( my2(%2)2)( y2 2)(Vi2)( y2/2(m1)yiy2 (2 m2)(yiy2)化简得2m20解得002)81当2或1y。yi1时2，y22l : 2x y12，x0半径|OQ|则圆9 2：(x -) (y42)当y0半径则圆85160

21、 圆心为 Q(x°,y°),m 1时，I ：x y 2 0圆心为yi y2.-1, % yr |OQ | 32 122 3,Q(x0,y0),22：(x 3) (y 1)1021. ( 12分)已知函数f (x) x 1(1)若f (x) > 0 ,求a的值;(2)设m为整数，且对于任意正整数n , (1111，一2)(1 + q)皮17)< m,求 m 的最小值.【解析】f(x) x 1则 f (x) 1，且 f(1) 0当a4 0时, 不满足题意;当a 0时，上单调增，所以0当0 x a时,当x a时, 若a 1 , 若a 1 , 若a 1 , 足题意 综上

22、所述af(x)(x) 0 ,0,则则f (x)在(0, a)上单调递减; f(x)在(a,)上单调递增.f (x)在(a,1)上单调递增.当f (x)在(1,a)上单调递减，当f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,(a,1)时 f(x)(1,a)时 f(x)f (1) 0矛盾f (1) 0矛盾)上单调递增f (x)> f(1) 0满当 a 1 时 f (x) x 1 ln x > 0 即 ln x w x 1则有ln(x 1)< x当且仅当x0时等号成立1 ln(12k)方面：ln(11即(1 -)(112k '12)11 ln(1 2) 21. ln(1另一方面:(1当n > 3时，(1工)(1212)(11产2n) e 白。21、一22).(1 12 ).(1(11)(1(2,e)22)(113564m的最小值为3 .22.选彳4-4:坐标系与参数方程(10 分)在直角坐标系