《直线与平面的夹角》导学案1

1、323直线与平面的夹角导学案 1()月()日编者:审稿人:星期授课类型:教学目标1. 掌握直线和平面夹角的定义，会用定义、三余弦公式、法向量求线面角。2. 自主教学、合作交流，探究向量法解决直线和平面夹角的规律方法。3. 体验向量法解决立体几何问题的乐趣。课堂内容展示自学指导规律总结预习课本106页至107页，填写下列内容:1.斜线与平面夹角的定义：斜线和它在平面内的所成的角。2.斜线与平面夹角的范围是;直线与平面夹角范围是两异面直线夹角的范围;两非零向量夹角的范围是3.三余弦公式cosQ =cosQ cos日2中，日月和Q分别是所成的角、.所成的角、所成的角;日和日2的范围分别是问题1 :三

2、棱锥 P-ABC, PA丄面 ABC, / ACB=90° ,你能找到三余弦公式cos日=cos£ cos62中日,q和日2吗?冋题2：如果cos日=cosa *cosG2中玄=90°，你能得出什么结论？和三垂线定理有何关系?问题3: PA,PB, PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，若/APB的角平分线为 AD,那么在 cosT-cosQ cos©中，自和日2分别对应的角，直线PC与平面PAB所成角的余弦值问题4：你能用三余弦公式 cos8=cosei co2证明教材P107的例题吗?自学检测1、平面的一条斜线段长是它在平

3、面上射影长的3倍，则这条斜线段与平面所成角的余弦值是（）C、D、2、一条直线与平面 a所成的角为30 °，则它和平面a内所有直线所成的角中最小的角是（）A、300B、600C、900D、 15003、PA PB PC是由P点出发的三条射线，两两夹角均为6 0 °，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（）A、B、2C、3D、AC4、在长方体 ABCD-ABiCiDi中，AB=3, AD=4, AA=5,体对角线BD分别与平面 平面BA、平面BC所成角的余弦值为例题探究思考：若直线AB与平面a所成的角为0，平面a的例1、在正方体 AG中，试求直线 AiB与平面AiBiCD所成

4、的角。讨论：如何利用法向量求线面角?直线AB与平面a所成的角0 ,可看成是，.从而求线面角转化为求直线所在的向量与平面的法向量的所成的线线角，根据两个向量所成角的余弦公式，我们可以得到如下向量法求解线面角的公式:法向量为n，直线AB与向量1所成的角为,则0与W有何关系？COS®与sin日有何关系?变式：若E是CC的中点，求BE与平面BiBD所成角的正弦值.练习1:在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PD丄底面ABCD PD=DG求BD与平面PAB所成的角。练习2：如图所示，在正三棱柱 abc-ABjG中，ab=J2aa,求直线ABi和侧面ACi所成的角.练习3:如图所示

5、，ABCD是直角梯形， AD/BC,N ABC = 90 : SA丄平面ABCD1AD = ， SA = AB = BC =1。求: 2(1)SB与底面ABCD所成的角；(2) SC与底面ABCD所成角的正切值;(3) SC与平面S BD所成角的正弦值。C当堂检测1.设线段AB=l,直线AB与平面a所成的角为0，线段AB在平面a内的射影长为3的是（）A. 1=6, 0=0°B. l =6, £ =90°C. 1=6 9 =60°D. 1=6,日=45° .2.已知平面内的一条直线 AB与平面的一条斜线 AC的夹角为60°，直线 AB与

6、斜线AC在平面内的射影AD的夹角为45°,则斜线AC与平面所成角的大小为 3 .已知平面 a内的角/ APB = 60°射线PC与PA、PB所成角均为135°贝U PC与平面a所成角的余弦值是（）A.-普译送4、正四棱锥S ABCD O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角是（）A、300B、450C、600D、75°5、正三棱锥 S- ABC中,D为AB中点，且SD与BC所成的角为45°，贝SD与底面所成角的正弦值为（A、1B、-3D、6、长为1的正方体ACi, E、F分别是BiCi、GD的中点.求直线AiD与平面BDEF所成的角.A求证：BC丄平面FAC; 7.如图，在三棱锥 P ABC中，PA丄底面 ABC, FA= AB,/ ABC = 60°/ BCA = 90&