中点的灵活应用

1、第 4 讲中点的灵活应用1如图 ,在 ABC 中 ,M 、N 分别是 AB、 AC 的中点 ,且 A+ B=120° ,AMN则ANM=. ANM =60°3如图 , ABC 中 ,AB=1,AC=2,D 是 BC 的中点 ,AE 平分BAC 交 BC 于 E ,且 DF AE,则 CF 的长为.CF =1.5BCAFBC E D4若四边形的两条对角线相等,则顺次连结该四边形各边中点所得的四边形是( 菱形)若四边形的两条对角线垂直,则顺次连结该四边形各边中点所得的四边形是( 矩形)若四边形的两条对角线垂直且相等,则顺次连结该四边形各边中点所得的四边形是( 正方形)5如图 ,

2、M 是 ABC 的边 BC 的中点 ,AN 平分 BAC,BN AN 于点 N,且 AB=10,BC=15,MN =3,则 ABC 的周长等于 ()AA38 B39 C40 D41选择 DNBMC6如图 ,平行四边形 ABCD 中 ,对角线 AC、 BD 相交于点O,BD=2AD,E、 F、 G 分别是 OC 、OD、 AB 的中点AD求证： (1)BE AC,(2) EG=EFF(1) 平行四边形 ABCD ,BD =2ADGO BO=BC,E E 为 OC 中点 , BEAC (三线合一 )B11C(2) G 是 AB 中点 , EG=2AB =2CD =EF7如图 ,在 ABC 中 ,A

3、B=AC,延长 AB 到 D,使 BD=AB,E 为 AB 中点 ,连结 CE、 CD ,求证：CD=2ECA取 AC 的中点 F,连接 BF ,E AB=AC,点 E,F 分别是 AB,AC 的中点 ,BCD AE =AF , A= A,AB=AC, ABF ACE (SAS), BF =CE, BD =AB,AF =CF , DC =2BF , DC =2CE 8如图 ,点 O 是 ABC 所在平面内一动点 ,连结 OB、 OC,把 AB、 OB、AOC、 CA 的中点 D、 E、 F 、G 顺次连结起来 ,设 DEF G 能构造四边形 .DG(1)当点 O 在 ABC 内时 ,求证：四边

4、形 DEF G 是平行四边形；O(2)当点 O 移动到 ABC 外时 ,(1)的结论是否成立？画图说理由；EFBC(3)若四边形 DEF G 为矩形 ,则点 O 所在位置满足什么条件？试说明.(1)连结 AO, D,E ,F,G 分别是 AB,OB.OC.AC 的中点 DE AO F G 即 DE F G同理可得 ,D G BC,EF BC DG EFA DE F G,DG EF ,所以四边形 DEF G 是平行四边形(2)证明方法同 (1)DG(3)若四边形 DEF G 为矩形 ,那么四边形 ABOC 的对角线应垂直 ,则点 O 所在位置应在过点 A 且垂直 BC 的直线上 (A 点除外 )

5、,BC DE OA,DG BC,AO BC, DE D G,故平行四边 DEF G 为矩形EFO9如图,已知 AGBD,AFCE,BD、CE 分别是ABC和ACB的角平分线,若BF =2,ED =3,GC=4, 则 ABC 的周长为.A ABC 的周长为 30EDBCFG10如图 ,四边形 ABCD 的对角线 AC、 BD 相交于点 F ,M 、 N 分别为 AB、 CD 中点 ,MN 分别交 BD、 AC 于 P、 Q,且 FPQ =FQP ,若 BD =10,则 AC=.AC=10提示：取 AD 中点 E ,连结 ME ,NE ,则 ME =NEADFMNPQBC11如图 ,在菱形 ABC

6、D 中 , A=100° ,M 、 N 分别是 AB、BC 的中点 ,MP CD 于点 P,则NPC 的度数为.AD NPC =50°MBPCN12如图 ,在 ABC 中 ,BC=4,BC 边上的中线 AD =2,AB+AC=3+7 ,则 SABC 等于 ()A 1555C2 337AB 2D 2选择 D提示： ABC 为直角三角形BCD13如图，正方形 ABCD ，正方形CG EF 的边长分别是2、 3，且点 B、 C、 G 在同一条直线上， M 是线段 AE 的中点，连接MF ，则 MF 的长为。F2EAMMF =D2提示：连 DM 并延长交 EF 于 N 点，则 AD

7、M ENM ， FN =1BCG14. 如图，已知 ABC 是等腰直角三角形， AB AC，D 是斜边 BC 的中点， E 、 F 分别是AB、AC 边上的点，且DE DF ，若 BE 12， CF 5.求 DEF 的面积 .A【提示】 连接 AD.EF解：连结 AD因为 D 是斜边上的中点 , 所以 AD 垂直平分 BC,BDC1因此也平分 等腰直角三角形 ABC. 即 DAC 45° , AD DC, SABCADC × S2 ADF + FDC ADF + EDA 90° , 所以 FDC EDA , ADE CDF , 则 AE 5, AF 12 S AD

8、C S ADF +SCDF S ADF +SADE SAEDF则 S DEF SAEDF S AEF S ADC S AEF 1× S ABC S AEF2 1× 1× 17× 17 1× 5× 12 42. 25222A15. 如图，在 ABC 中， B 2 C，AD BC 于 D， M 为 BC 的中点，AB10cm，则 MD 的长为 _.BCD【提示】 取 AB 中点 N ，为直角斜边中线定理、中位线定理运用创造条件.解：取 AB 的中点 N，连接 DN ,连接 MNA1 DN AB,NDB B,MN AC， NMB C,2 N

9、DB B NMB + DNM C+DNM 2 C,BDMC DNM C NMD ,得 DM DN 1AB 5.216. 已知，如图 a，BD,CE 分别是 ABC 的外角平分线，过点A 作 AF BD，AG CE，垂足分别为 F 、 G，连结 FG，延长 AF 、 AG，与直线 BC 相交，易证1F G (AB+BC+AC)，2若 (1)BD,CE 分别是 ABC 的内角平分线 (如图 b)；(2)BD 为 ABC 的内角平分线， CE 为ABC 的外角平分线 (如图 c，则在图 b、图 c 两种情况下，线段FG 与 ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明.

10、AAEADDEEGDGFFFG图 a BCB图 bC B图 cC【提示】 图 a 中 F G 与 ABC 三边数量关系的求法(关键作辅助线 )，对寻求后两图中FG 与ABC 三边数量关系起着重要作用，而由平分线、垂线发现中点，这时解题基础.1解： (1)F G 2(AB+AC BC),分别延长 AG、AF 交 BC 于 H ，K，则 AF KF ，AB KB;AG1 1 H G,AC HC ,FG 2HK 2 ( AB+AC BC);1(2) FG2 (BC +AC AB)A17. 如图，以 ABC 的 AB、 AC 边为斜边向外作Rt ABD 和 RtACE ，且使 ABD ACE ， M

11、是 BC 的中点，求证： DM ME .D【提示】 显然 DBM 不全等与 ECM ，需通过作辅助线，BM构造全等三角形，证明DM EM.解：取 AB 中点 P，连 DP， PM ，取 AC 中点 Q，连结 QE,QM,1111 DP QM ,PM QE则 DPAB,QE AC ,PM / / AC， QM / /AB2222又 DPM 1+ 2 2 DAB + BAC, MQE 3+ 4 2 EAC+ BAC ADB= AEC=90 °， ABD= ACE.而 DAB EAC , DPM EQM , DPM MQE ，故 DM ME .A18. 已知： ABD 和 ACE 都是直角

12、三角形，且ABD ACE 90°，如图 a，连结 DE ，设 M 为 DE 的中点 .C(1) 求证： MB MC.M解：延长 BM 交 CE 于 N ，由 DBM NEM ， BM=MN,B BCN 为 Rt，得 BM MN CMD图 aA(2) 设 BAD CAE，固定 ABD ，让 Rt ACE 绕顶点 A 在平面内旋转到图 b 的位置，试问： MB MC 是否还能成立？并证明其结论.DMB图 bECEEC【提示】 M 为中点可以构造全等三角形.MB MC 仍能成立，取AD 中点 P， AE 中点 Q，连结 PB、 MP 、 CQ、 MQ ，易得四边形11APMQ 为平行四边形，MP 2AE CQ， MQ 2ADBP ， BPM MQC ，由 PBM QMC 得 MBMC .B19. 如图， ABC 中， B 的平分线 BE 与 BC 边的