巧用三线合一证题

1、巧用“三线合一”证题“三线合一”是等腰三角形的一条特殊性质，在一些几何题的证题过程中有着广泛的应用。本文结合实例说明其应用，供参考。一. 直接应用“三线合一”例 1. 已知，如图 1，AD 是ABC 的角平分线， DE 、DF 分别是ABD 和ACD 的高。求证： AD 垂直平分EFA12EFBDC图 1分析：从本题的条件和图形特征看，欲证AD 垂直平分EF，因为有12 ，所以只要证AEF 为等腰三角形即可证明：DEAB，DFAC1 2， AD AD Rt AED Rt AFDAEAF又12AD 垂直平分EF例 2. 如图 2， ABC 中， AB AC ， AD 为 BC 边上的高， AD

2、的中点为 M ，CM 的延长线交 AB 于点 K，求证： AB 3AKAKMEBDC图 2分析：可考虑作DE/CK 交 AB 于 E，因为 M 是 AD 的中点，所以K 是 AE 的中点，只要证 E 是 BK 的中点，问题可得到解决。由于有ABAC ， ADBC ，所以就想到用“三线合一”。证明：过点D 作 DE/CK 交 BK 于点 EABAC，ADBCBDDC，BEEKAMMD，AKKEAKKEEBAB3AK1二. 先连线，再用“三线合一”例 3. 如图 3，在 ABC 中， A90，ABAC，D是 BC 的中点， P为 BC 上任一点，作 PE AB ， PF AC ，垂足分别为E、 F

3、求证：（ 1） DE DF；（ 2） DEDFAEFBDPC图 3分析：（ 1）欲证二线段相等， 容易想到利用全等三角形。 观察 DE 为BDE 或PDE的一边， DF 为DFP 或DFC 的边，但它们都没有全等的可能。由于D 为等腰直角三角形的底边BC 上的中点，于是我们想到连结AD 一试，这时容易发现AEDCFD 或BDFADF问题得证。（ 2）欲证 DEDF ，只要证ADEADF 90 ，即可但由（ 1）已证出 ADECDF又ADFCDF90 ，故问题解决证明：连结AD 。D是BC的中点BAC90，ABACAD BD1 BC2DA 平分BAC ， AD BCDABDAC1BAC 452B

4、45ABAC， PFAC，PEAB四边形 PEAF 是矩形PEFABPE45BBEPEAF又ABAC，ECF又EADFCD45 ， ADDCAEDCFDDEDF（ 2）AEDCFDADECDF又ADFCDF90ADFADE90即DE DF三 . 先构造等腰三角形，再用“三线合一”2例 4. 如图 4，已知四边形 ABCD 中， ACB ADB 90 ，M 、N 分别为 AB 、CD的中点，求证： MN CDCNDAMB图 4分析：由于 MN 与 CD 同在MCD 中，又 N 为 CD 的中点，于是就想到证MCD 为等腰三角形，由于 MD、MC为 Rt ADB 、 Rt ACB 斜 边 AB上的

5、中线，因此1，所以，问题容易解决。MD MCAB2证明：连结DM 、 CMACBADB901DMCMAB2，M 是 AB 的中点CMD 是等腰三角形又N 是 CD 的中点，MNCD例 5. 如图 5， ABC 中，BC、CF 分别平分ABC 和ACB ，AE BE 于 E，AFCF于 F，求证： EF/BCAFE1B2CNM图 5分析：由 BE 平分ABC 、AE BE 容易想到：延长 AE 交 BC 于 M ，可得等腰BMA ，E 为 AM 的中点；同理可得等腰CAN ，F 是 AN 的中点，故EF 为AMN 的中位线，命题就能得证。证明：延长AE 、AF 分别交 BC 于 M 、 N1 2， AE BEBAM 为等腰三角形即 ABMB，AEEM同理 AFFNEF 为AMN 的中位线EF / /MN，EF / /BC3年级初中学科 数学版本期数