常见分布的期望和方差2

1、常见分布的期望籾方差分布类型概率密度函数期望方差0"分布P)P二项分布B (n, P)肥=尸凶=i=防严 = 1-0)贞=r 1-町¥泊松分布P(A)円=尸送=：=么厂 Cr = 0.1,2,3.);!AX均匀分布匚口上)子W二占或等 b-a矿£i + b212正怂分布*昨、1-0谆/(xj = J应 "(一尤 <X< +X,(7 >0)Ar=指数分布E (丸)0.x<0%1A1 尹疋'分布，才00耳耳湘互独立，且都服从标准正态分布NC0J)ny.V-.V(04)壬佃 f 三凉p0rt-21、正态分布的计算：F(x)P(X

2、 X)(-)。2、随机变量函数的概率密度:3、分布函数F (x, y)、概率与数理统计重点摘要X是服从某种分布的随机变量，求Y f(X)的概率密度：fY(y) fx(x)h(y) h'(y)。(参见P6672)f (u,v)dudv具有以下基本性质:是变量x，y的非降函数;0 F(x, y) 1，对于任意固定的 x, y 有：F( , y) F(x, )0 ;F(x, y)关于x右连续，关于y右连续;对于任意的(xi, yi), (X2, y2),X1 X2,y1 y2，有下述不等式成立:F(X2,y2)F(Xi,y2)F(X2,yi)F(x, yi)014、一个重要的分布函数：F(x

3、, y)-( arctanX arctan)的概率密度为：f (x, y)232F(x, y)x y2 2 2(x 4)( y 9)5、二维随机变量的边缘分布:fx(X)f (x,y)dyfY(y)f (x, y)dxFx(x)XF(x,)f (u, y)dyduFyW)yF( ,y)f (x, v)dxdv边缘概率密度:边缘分布函数:二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。6、随机变量的独立性:若 F(x, y) FX(x)FY(y)则称随机变量 X, Y相互独立。简称 X与丫独立。7、两个独立随机变量之和的概率密度:fz(Z)fx(x) fY(z x)dxfY(y)fx(z y)dy 其中

4、Z = x + Y8、两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即Z aX bY : N(a 1 b 2,a2 1 b2 ；。9、期望的性质:(3)、E(X Y) E(X) E(Y) ;(4)、若 X，Y 相互独立，则 E(XY) E(X)E(Y)。10、方差：D(X) E(X2) (E(X)2。不相关，则 D(X Y) D(X) D(Y)，否则 D(X Y)D(X)D(Y) 2Cov(X,Y),D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X, Y)11、协方差：Cov(X,Y) E(X E(X)(Y E(Y)，若X , Y独立，则Cov(X, Y) 0,此时称：X与丫不相关。12、相关系

5、数： XYCov(X,Y)Cov(X, Y)(X) (Y) Jd(X)7d而，XY1，当且仅当X与丫存在线性关系时XY1，且 XY1,1,当 b>0; 当 bvO。13、k阶原点矩：VkkE(X ) , k阶中心矩:k E(XkE(X)。14、切比雪夫不等式:P X E(X)E(X)15、独立同分布序列的切比雪夫大数定律:Xi12，所以 lim P1 n因p一Xin i 1nn 0n i 11。贝努利大数定律:16、独立同分布序列的中心极限定理:(1)、当n充分大时，独立同分布的随机变量之和Xi的分布近似于正态分布N(n,n2)。(2)、对于 X1,X2,.Xn 的平均值 X Xi ,

6、n i 1有 E(X)，D(X)D(Xi)，即独立同分布的随机变量的均值当n充分大时,近似服从正态分布 N( )。n、由上可知：lim P a Znnb (b)(a) P a Zn b (b)(a)。17、棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理：设m是n次独立重复试验中事件 A发生的次数，P是事件A发生的概率，则对任意 X,(1)、当n充分大时,lim Pnm近似服从正态分布,m npvnpq(X)，其中 q 1 P。N(np npq)。18、参数的矩估计和似然估计:19、正态总体参数的区间估计:N(p単)。n(2)、当n充分大时,m近似服从正态分布,n(参见P200)所估参数条件估计函数置信区间已知u 乂麻X u 厂，X u 厂- Vn- V n未知t x麻 sX t (n 1) s, X t (n 1) I-Vn-Vn未知2 (n 1)s2_ (n 1)s2(n 1)s2 2(n 1)'2 (n 1)1 22 21 2未知t (X y) ( 12) 1 口门2SwV n1 n2其中 2 m 1)s2 (n21)s2m门21- /1 1 (X y) t (n1 n2 2)做一-V