弹塑性力学基本理论及应用 第八章 能量原理及其应用

1、第八章能量原理及其应用第八章能量原理及其应用弹塑性力学问题实质上是边值问题，即求解满足一定边界条件的偏微分方程 组。然而只有对一些特殊的结构在特定加载条件下才能找到精确解，而对于一般 的力学问题，如空间问题，泛定方程为含有 15个未知量的6个偏微分方程，在给 定边界条件时.求解是极其困难的，而且往往足小对能的。因此，为了解决具体 的工程结构力学问题，目前都广泛应用数值方法，如有限元法、无限元法、边界 元法、无网格化法及样条元法等等。这些解法的依据都是能量原理。本章将讨论 利用能量原理和极值原理求解弹塑性力学问题的近似解法。本章共讨论五个能量原理。首先是虚位移原理，由虚位移原理推导出最小势 能原

2、理，其次介绍虚应力原理，和由虚应力原理推导出最小余能原理。另外，还 简单介绍最大耗散能原理。本章还讲述了根据上述的能量原理建立的有关弹性力 学问题的数值解法。8.1基本概念1.1物体变形的热力学过程由第四章知，物体在外界因素影响下的变形过程，严格来说都是一个热力学 过程。因此研究物体的状态，不仅要知道物体的变形状态，而且还要知道物体中 每一点的温度。如果物体在变形过程中，各点的温度与其周围介质的温度保持平 衡，则称这一过程为等温过程；若在变形过程中，物体的温度没有改变，即既没 有热量损失也没有热量增加，则称这一过程为绝热过程。物体的瞬态高频振动， 高速变形过程都可视为绝热过程。令物体在变形过程

3、中的动能为 E,应变能为U,则在微小的t时间间隔内，物 体从一种状态过渡到另一种状态时，根据热力学第一定律，总能量的变化为E U W Q(a)其中， W为作用于物体上的体力和面力所完成的功；Q是物体由其周围介质所吸收(或向外发散)的热量，并以等量的功度量。假定弹性变形过程是绝热的，则 对于静力平衡问题有(b)E 0，将式(b)代入式(a)，贝U有(8.1-1)1.2应变能由第四章的式(4.1-5b)知，在线弹性情况下,U o o ijd ij 2 ij ik对于一维应力状态，在Uo实际上就是应力应变曲线与 围成的面积(图8.1)，即XUo o xd x单位体积的应变能为(8.1-2)x平面内，

4、贝Ux轴和x x所(8.1-3)其中x是物体变形过程某一指定时刻的应变，应 变能U 0表示物体在变形过程中所储存的能量。1.3应变余能在图8.1中,如果令U。表示应力应变曲线与x轴和xx所围成的面积，即(8.1-4)Uo 0 xd x式中x是物体变形过程某一指定时刻的应力。 称U0为单位体积的应变余能，简称 余能，有时又称其为应力能。由于x和x是物体变形过程中同一时刻的应力和应变，因此有U。u。由此可见，U。与Uo互补或互余对方为x x矩形的面积。显然，在线弹性情况下有 Uo Uo，即余能与应变能在数值上相等。尽管应变余能不像应变能那样具有明确的物理意义，但引入应变余能这一概 念后，使讨论问题

5、的范围扩大了。8.2虚位移原理与最小势能原理2.1虚位移原理设有变形体在外力作用下处于平衡状态。此处，外为包括体力分量 X，丫，Z及 一部分表面的面力分量 X，丫，Z。假如有一组位移分量u,v, w既能满足用位 移表示的平衡方程，又能满足位移边界条件以及用位移分量表示的应力边界条件。现在设想在变形体几何约束所允许的条件下，给它一个任意的微小变化，即所谓 虚位移或位移变分 U，V，w，得到一组新的位移UUU vvvwww(a)231F面考察能量发生了什么变化。这时，外力在虚位移上所做的功(称为虚功)为W (X u Y VV Z w)dV (X u Y V Z w)dS (8.2-1a)Sfi u

6、idVFi uidSV i iS i i(8.2-1b)式中，V为变形体的全部体积， 为S，给定位移的表面记为露 对于给定位移的那一部分表面，S为变形体的全部表面积，其中给定外力的表面记 Su。但面积分仅对给定面力的那一部分表面进行， 因无虚位移，故不必考虑。应该指出，这里所说的虚位移一般并不是由实际外力所引起的，而是由其他 因素所引起，或者是为了分析问题而假想的。虚位移发生时， 的，这是因为在约束力方向不可能产生位移。物体产生虚位移的过程中，物体必然产生微小的虚变形， 产生虚应变能，即约束反力是不作功因此在变形体中就V( x xy y z z xy xy yz yzzx zx)dV(8.2-

7、2a)或写为U V ij ijdV(8.2-2b)应变能在虚位移上的假定变形体在虚位移的过程中，并没有温度和速度的改变，因而也就没有热 能和动能的改变。则按照能量守恒定律或热力学第一定律， 增量U，应当等于外力在虚位移所做的虚功，于是有V ( x xy yz zxyxy yz yzzx zx)dVv(X u Y V Z w)dVs (X u Y VZ w)dS (8.2-3)也称为拉格朗日(Lagrange)变分方式(8.2-3)即为虚位移原理的位移变分方程，程，有时也称为虚功方程。因此，虚位移原理可叙述为：在外力作用下处于平衡状态的可变形体，当给 予物体微小虚位移时，外力在虚位移上所做虚功等

8、于物体的虚应变能。现详细证明如下：若在虚位移原理的变分方程(8.2-3)中，因给定位移的部分表面Su上ui 0， 而在给定面力的部分表面 S上，边界条件jnj Fi成立。则式(8.2-3)中右边对 S的积分可以写为对整个物体表面 S的积分，即有W fi uidV Fi uidSfi uidV j nij gdS (8.2-4)VSVS运用高斯散度定理，将上式对体积积分化为面积分，有(x U) ( y V) ( z w) dV V xyz(x ul y vm z wn)dS (8.2-5)S其中l,m,n为外边界法线方向单位矢量I cos(x, n ),n的方向余弦，即cos( y,n )， n

9、 cos(z, n )注意到dVxudV(u)xdVS x1 udS以及xyv u dVyxyV匚xyydVxy(l v m u)dS其余的类似，因此由以上两式可得V( ij Ui),jdVijnjuidS(8.2-6)，有fi UidV v( ij Ui),jdVvfiUidV V( ij,juiij ui , j)dV(b)v(ij, j fi) UidVij Ui ,j dV式中 nj l,m, n。将式(8.2-6)代入式(8.2-4)WV当物体处于平衡状态时，因为ij > j f i所以式(b)中笫一项积分为零。又因ijUi,j Uj ,i )所以有ijui , jijij于是

10、由式(b)得ijijdV将上式与式(8.2-2b)比较可知，有以上证明说明，相等是物体处于平衡状态的必要条件。W当给予系统微小虚位移时，外力所作虚功与物体的虚应变能另外，由应变位移关系以及先变分后微分与先微分后变分等价可知-(u),(丄xyy(C)x x-)(V)(u),x xy将式(c)代入(8.2-2a)，经分部积分和利用格林公式，可得到如同下列形式的三个 关系式V( x x)dVx( u)dVxr xu)dV-dVX (d)xludS宀udV以及下列形式的三个关系式v(xy xy)dVxy(V) ( u) dV xxy(l v mu)dSv(xyxxyy(e)u)dV将式(d)、(e)U

11、 v( x所表示构六个关系式代人(8.2-2)式,则得xyxyyzyzzx zx)dVs( x1xymxz n)yxlymyzn)(zxlzymzn) w dSv(xyyyxf)zy)wdV zy将式 代入式(8.2-3)，并加以整理，得( xxyxzv(二yxX) u (zxyz一 Y) Vz(yxlzyyym-Z) wdV zyzn Y) v ( zxls( x1zymxym xzn X) uzn Z) wdS 0u, v,因为虚位移w各自独立，而且是完全任意的，因此上列积分式中括弧内的 系数均等于零，这样我们得到三个平衡方程和三个静力边界条件。因而证明W U是物体处于平衡状态的充分条件。

12、从以上讨沦可知，虚位移原理变分方程(8.2-3)式等价于平衡方程与应力边界条件。因此，满足变分方得(8.2-3)式的解就一定满足平衡方程和应力边界条件。所 以，虚位移原理也可表述为：变形连续体平衡的必要与充分条件是，对于任意微 小虚位移，外力所做虚功等于变形体所产生的虚变形能。应当指出，式(8.2-3)等号左边表示，由于产生虚位移Ui而引起物体内产生了虚xy不是别的什么虚应变，而是应变能。这种虚位移实际上应理解为真实位移的变分，而不是其他随便一种位移 函数。也就是说。式(8.2-3)中的虚应变(8.2-7)Ui，因此在己知位移边界Su上虚由U, V, w引起的，即它们之间满足下列条件j -(

13、ui,j uj,i)此外，位移Ui在己知位移边界Su上还应满足Ui 位移应为零，即(8.2-8)式(8.2-7)和(8.2-8)为方程(8.2-3)式的附加条件。因此，在应用虚位移方程式 (8.2-3)时，所选取的解不必预先满足平衡力程和应力边界条件，但要求所给虚位 移u, V, w能满足附加条件(8.2-7)式和(8.2-8)式，即应满足变形协调条件和几 何边界条件。应当指出，由于虚位移原理的成立与材料本构关系无关，因此，虚位移原理 既适用于线弹性体、非线性弹性体，也适用于弹塑性体和理想塑料体等固体材料。例8.1如图8.2所示跨长为I，抗弯刚度为EI，受分布荷重q(x)作用的简支 梁，试用虚

14、位移原理写出梁的挠曲线微分方程和边界条件。解： 位移w，ui 0梁在平衡状态时，如果产生一虚由虚位移原理此处UI0 A由材料力学知,W (1)xdAdxxzw ,图8.2Ezw"受均布荷重简支梁(3)根据变分法则知z( w)"z (w") 将式、代入式并整理后，得I ""EI w ( w) dxI""UEzw z( w) dA dx0 A''对上式进行两次分布积分后，可化为外力所做虚功为U EI W (IW)W® Ww(4)wdx0l0q(x) Wdx将式、(6)代入式(1)，则得'EIw

15、q(x)0wdxEIw(W)EIw W 0由于在支座处的虚位移应满足简支条件要求,所以边界条件为考虑w的任意灶，于是要使式(7)成立，必有EIw q(x)(8)式(8)即为该梁的挠曲线微分方程。例8.2如图8.3所示受均布荷重q的简支梁，抗弯刚度为座支承，试写出梁的边界条件和挠曲线微 分方程。解：由例8.1知，变形能经两次分部积分后为EI，跨中由弹性支图8.3受均布荷重简支梁U 2EI W ( W)W 00 W wdx令弹簧内的反力为则外力功为l0q wdx(9)式中Wc为梁在弹性支座C处的挠度。因UMq) wdx 2eIw ( w)2 '(EIw0W，因此可由以上两式得2EIw W

16、0 R wc 0(10)于是，由式(10)可知，根据简支条件和对称条件，边界条件应为(W)'x l 0,同时，考虑到 W除弹性支座处外,(W)挠曲函数必须满足(w)均为任意性，要使式(10)成立，必有x 00, WWc,2EIW ElWw x 00, w2.2最小势能原理从位移变分方程(8.2-3)出发，可以导出虚功方程。假定物体从平衡位置有微小虚位移，物体的几何尺寸的变化略去不计,则原来作用在物体上的体力X,Y,Z和面力X,Y,Z的大小与方向都保持不变。于是,按照变分原理，式(8.2-3)中变分的运算与积分的运算可以交换次序，故有z z xyxy yz yz zx zx )dV(g)

17、v(Xu YvZw)dVs(Xu Yv Zw)dS由第四章的(4.1-5a)知，有U。ij在式(g)中左边积分项中引入各向同性弹性体的广义虎克定律，并注意到ij ijxyxyxz xzyxyxy y yz yzzx zx zy zy则有U02 yz；x)ijij(h)由第四章知，在式(h)中代入应变位移关系，得EUVw 9U0(u，v，w)( 一 一)2(1)(1 2 ) xyz式中ii o(丄)2x(d)2z(8.2-9)G , U v、2 / w v、2 / ?P (匚匚)(w)2x当存在应变能U0(Ui)时，式(g)可写为VU0(Ui)dVV(XUYv Zw)dVS(XUYvZw)dS于

18、是有(U W) 0(8.2-10a)也可写为(U V) 0(8.2-10b)其中附加条件为p VU0(Ui) fiUidV S FiUidS(8.2-10C)Ui Ui (在 Su 上)(8.2-10d)式中P称为总势能，V (=- W)称为外力势能，U称为弹性变形体的应变势能。当 物体在不受外力作用的自然状态下，应变势能与外力的势能均为零。式(8.2-10)说明，在给走的外力作用下，实际的位移应使总势能的一阶变分为零，即使总势 能取驻值。下面进一步让明有真实的位移总是使物体的总势能取最小值。Ui为变形许可的 j，于是当物体对于稳定的平衡状态，物体偏离平衡状态而有虚位移时，其总势能的增量恒 为

19、正。实际上可以让明，总势能量P的二阶变分为正。为此，令位移场，Ui为真实解的位移场，与之相应的应变张量分别为j和有虚位移时，有ui ui u,ijijij将U0( j)进行泰勒级数展开，并忽略二阶以上的高阶微量，可得j)2(k)U ( ' U ( ) a 1 2U0(U0( ij ) U0( ij )ij 2 厂(ij2 ij于是，变形许可状态的总势能与真实变形状态总势能之差为V可 UidVUo( j) Uo( j)dVS FiUjdS (l)因为(m)由式(8.2-9)V U0dVV fi UidVS Fi UidS 0(n)比较式(k),(m)可得V 2U0dV1 2U02 Vr(

20、q)klij足够小时，式(q)必为正，因为如果令ij 2U02IJj)2从而得则式(k)可化为P (j) p( ij)2VU( j)dV由式(h)知，U0( j)为正定，所以2 P 0,(8.2-11)上式表明如下一个原理：在给定外力作用下而保持平衡的弹性体，在满足位移边 界条件的位移场中，真实的位移场使总势能取最小值。该原理称为最小势能原理。物体在外力作用下所产生的位移场，除了满足位移边界条件外，还必须满足 以位移表示的平衡力程以及应力边界条件。最小总势能原理说明，真实的位移除 满足几何边界条件外，还要满足最小势能原理的变分方程。实际上以上已经证 明.变分方程(8.2-3)完全等价于平衡力程

21、与应力边界条件。同样的结论也适用于 式(8.2-9)。用最小势能原理和用泛定方程求解边值问题，只是形式上不同。以后 将看到，这种解题手段的变更，在不少情况下.将带来很大的力便，同时也扩大 I解题的范围。由最小总势能原理可导出熟知的卡氏(Castigliano) 第一定理：当应变能Uo 用广义位移表示为U0( i)对，则广义力Fi= U0( i)/ i。例8.3试由最小势能原理，弄略去剪应力影响，导出图 方程。解：根据应变能密度和虎克定律，8.2所示梁的挠曲线由材料力学知，其中Myx T将式代入式(1)，外力功为根据最小势能原理VU0dV经整理后得梁的变形能为有 xdxdydz2E V x.2d

22、 w2EI-v，I A y dzdydxA2l d w 20 EI (R dx0 dxlW 0 qwdx(U W) 0的变分量为w，并注意到 dw dw()dx dxw ( W)(1)EI (w )2 2EIw ( w)2Elw (w )因而l ""lp EIw ( w) dx q wdx将上式等号右边第一项分部积分两次，可得l " " "0 EIw ( w) dx EIw ( w)EIwEIw wdx (5)对于简支端，有边界条件为MEIw ( w将式代入式，并注意到，得0回EIw w；0q) wdx 0由于w任意性，因此有EIw q 0上式

23、即为梁的挠曲线方程。8.3位移变分法的应用基于虚位移原理的位移变分力程，提供了以位移作为基本未知数的弹塑性力 学问题的近似解法。瑞利一里兹(Rayleigh-Ritz)和伽辽金(Galerkin)提出了各自解法，现分别介绍如下：3.1瑞利一里兹法当给定面力和几何约束条件时，可以利用位移变分方程求解。因此时应力边 界条件和位移边界条件为已知，由虚位移原理或最小势能原理所导出的变分方程 (8.2-3)和(8.2-10a)均等价于平衡方程和应力边界条件，所以采用式(8.2-3)和(8.2-10a)求解肘，所选取的位移函数不需要先满足应力边界条件，只需满足位移 边界条件。设位移函数为UoVoWonak

24、Uk(x, y, z)k 1nbkVk (x,y,z)k 1nCkwk (x, y, z)k 1(8.3-1)式中，ak,bk,Ck为未知的待定的常数，U0,V0,W0满足边界条件，即在已知位移边界Vo V,Wo W1,2, , n)为坐标线性独立的识定函数，且在己Wk(x, y,z)0,(k 1,2,n)nWWk(x, y,z) Ck(a)将式(8.3-1)1代入虚位移原理丈分方程(8.2-3)或最小1势能原理变分方程 (8.2-9a)，由 ak,例如，将式(8.3-1)代入式(8.2-10a)Su上，应有U0 U, 而Uk(x, y,z),Vk(x, y,z),Wk(x, y, z)(k

25、知位移边界Su上满足Uk(x, y,z) Vk(x,y,z)这样，无论n如何取值，位移函数总是能满足位移边界条件。由于Uk(x, y, z), Vk(x,y,z),Wk(x, y,z)是设定的已知函数，因此对位移进行一阶 变分时，只需对系数ak,bk,Ck取一阶变分，即nnUUk(x,y,z) ak，vVk(x, y,z) bk,n_Uk 1 akak Ubk bkCkS UkX akVkY bkCkV(UkX akVkY bk WkZ Ck)dVWkZ Ck0式中系数ak, bk,Ck的变分是完全任意的,UakU彼此无关。于是，将上式整理后得VXUkdVSXUkdSbkUYvkdvsYvkd

26、S(8.3-2)VZWkdVZWkdSSCk由应变能函数表达式(8.2-9)系数ak,bk,Ck的二次函数，因而式(8.3-2)将是各个待定系数的线性方程组，共有 3n个方程。从方程组(8.3-2)可解全部系数ak,bk,Ck后，即可由式(8.3-1)求得位 移分量。式(8.3-2)也可写为及位移分量表达式(8.3-1)可知，应变能U应是待定pakpbk0 (k 1,2,n)(8.3-3)pCkbk, Ck的任意性，可得确定全部系数ak,bk,Ck的线性代数方程组。，可得这一方法称为瑞利-里兹法，也称为里兹法。Ui选择合适的Uo,vo, wo和Uk, Vk,Wk，以及项数n，可以获得精确度较高

27、的位移解。 将求得的位移代入用位移表示的应力表达式，在计算应力分量时需对位移求导， 通常近似解的精度往往会因求导而降低，因此应力近似解的精度一般都较差。这 是因为应力分量并不精确地满足平衡方程，只是满足平衡方程与一个加权函数 乘秋的积分为零的条件，即V( ij ,j fi)UidV S ( jPijFi)UidS0要提高精度，只有增加式(83.3-1)中位移函数的项数n，当项数n 时，贝U其解 将收敛于精确解。3.2伽辽金法如果选择的位移因数表达式(8.3-1)，不仅能满足位移边界条件，还能满足应力边 界条件，那么变分方程(8.2-3)或(8.2-10a)为WU0VijijdVV fi Uid

28、VSFi UidSij Ui,j dV(8.3-4)s ijnjdSij ,j UidV注意到所取位移函数满足应力边界条件,V因此由上式得V( ij,jfi) UidVx xyV T "Vyxx(b)zxzyw dV将式(b)展开为三个方程，则每个方程均含有n个积分，并注意到变分关系式(a)和ak, bk, Ck为任意值，所以耍使式(b)成立，则只能每个积分式均等于零，于是 可得XxyxzVXyzyxyyzVXyzzxzyzVXyzXYZUkdVVkdVwkdV0 (k 1,2,n)(8.3-5)转换用位移分量表示,可得对于各向同性弹性变形体，将以上三个方程中的应力分量，通过广义虎克

29、定律方 程(4.2-14b)、几何方程(3.2-9)11 2 "X2uX UkdVE2(1 _)E2(1 )11 2y11 2z2vY VkdVZ wkdVk 1,2, ,n (8.3-6)w。由式(8.3-1) z式中 X y函数，所以式(8.3-5)和式(8.3-6)将是这些系数的线性方程组。求解此方程组， 可解得3n个系数，从而由式(8.3-1)求得位移分量。这个方法称为伽辽金法。比较以上两种基于虚位移原理的近似计算方法可知，在位移函数的选择上， 伽辽金法比瑞利-里兹法更为严格，它不仅要满足位移边界条件，还必须满足应力 边界条件；但在应用上伽辽金法比较方便，因为可不必导出泛函。

30、仅根据熟知的 平衡方程就能列凼伽辽金方程。例8.4如图8.4所示受均布荷重悬臂梁，g可知，位移分量u,v,w是系数ak,bk,Ck的线性1J：图8.4受均布荷重悬臂梁上式满足固定端条件w(0)0,梁跨长为I，抗弯刚度为El，试根据初 等理论，不计体力和用 瑞利-里兹法和伽 辽金法分别求梁的挠度和固端弯矩。 解：(1)瑞利-里兹法求解当不计剪切对挠度的影响，现设 挠曲线方程为x、w(x) a(1 cos)2l(1)dwdx由初等理论知，梁的弯矩为M（X）EI(2T)2acosN2l梁的变形能为l 20M (x)dx1 l2E? 0EI2X2 a cos 412 2l2dxEI 4264l3 a对

31、于本问题，应用瑞利-里兹法，位移函数表达式（8.3-1） 选位移函数式（1）满足边界条件，所以相应的线性方程组« 在不计体力的条件下，该式成为U）仅保留第三式，又因所（8.3-2）也仅保留第三式。a将式（2）代入式（3）后，并求解可得lX0q(1 CO访)dX将式 代入式，得梁的挠曲线表达式为w(x)2)(1 cos-)2l最大挠度发生在X l处，即wmaxZ) o.1194罟这个结果与材料力学解解wmaxql48EIl 40.125误差仅为EI4.5%。利用M（X）EId 2w dx28(1-)X cos一 21可得M max M8ql22-(1 -)0.2945q|2与精确解Mq

32、l220.5ql2相比，误差达41%如果取挠曲线函数为w(x)ai(1xcos)a2(12lcoslS)2l此式也能满足前述边界条件。M (x)El212xa1 cos 2l32l2a23cos2lU t02lxa1 cos2l32!a2 cosdx根据瑞利-里兹法a1Ua2El 332?27EI 3aia2解以上联立方程,可得参数为a14叫32(1EI-)，故挠曲线为w(x)32ql4i0*xcos)dx2l0q(1 cos3x)dxa21 co畤212733 x cos2l则最大挠度和最大弯矩分别为w(l)max 0.129 晋M(0)max 0.318ql2由上式可见，无论挠度还是弯矩，

33、其精度均有所提高，但弯矩提高不大明显。 如果将挠曲函数的项数增加，则随项数的增大，无论是挠度值还是应力值均会逐 步接近精确值。(2)伽辽金法解依据伽辽金法位移函数不仅要满足位移边界条件，而且还要满足静力边界条 件，因此设想取挠曲线函数为a(x4 Ax3 Bx2)由梁固定端位移边界条件 w(0)0,空dx0，可知满足位移边界条件。同时满足静力力边界条件。再由自由端的静力边界条件，w"(l) w'"(l) 0，可解得2A 4l, B 6I因此，梁的挠曲线函数为w(x) a(x44|x36|2x2)由伽辽金方程(8.3-5)知，因在x,y方向无外载荷，又由初等理论知，第一

34、、二式自动满足，因此(8.3-5)式化为二 Z wkdV(Fs)zq wkdx式中Fsz系梁中的剪力,Wk(x4 4Ix36I2x2)。再由材料力学知EIw Fs(x)，所以上式化为l0( E|W将式(6)代入式(7)，并积分后得q)(x44|x36|2x2)dx 0(8)q24EI将它代入式(6)，最后得挠曲线表达式、是大挠度和最大弯矩分别为w(x) (x424 EI4Ix36I2x2)w( 1 ) maxql48EIM (0) maxEld 2w dx2ql22这个结果与材料力学结果完全相同。8.4虚应力原理和最小余能原理虚位移原理是从位移变分出发可直接求出位移分量。但在工程实际问题中，

35、往往感兴趣的是直接得到表征结构强度的应力分量。而位移变分法得到的位移分 量，必须通过几何方程和本构方程求出烹形体内的应力分量，在计算过程中因需 经多次微分往往会产生较大的误差。为此，真接以应力分量为未知数求解变形体 问题的应力法便具有重要的价值。同时，对一些特殊的问题，例如，平面问题， 柱体扭转等，可以引进应力而数，此时应力法更具有极大的方便。4.1虚应力原理对于处于平衡状态的变形体应用变分原理时，取虚位移Ui，即对位移分量进行变分，这些位移的变分必须是几何上可能的。为此，引入虚应力概念。所谓虚 应力是满足平衡方程及指定的力边界料的、 任意的、微小的应力。虚应力记为 ij， 即对应力分量进行变

36、分，这些应力的变分必须是静力上可能的，即经变分后，新 的应力分量必须满足平衡方程和应力边界条件。设ij为实际存在于变形体内的应力分量，则它应该满足平衡方程，应力边界 条件和应力协调条件。现让这些应力分量发生静力许可的微小变化，得到新的应 力分量为ijijij（a）它们必须满足平衡方程和应力边界条件，于是新的平衡方程为(xx)(xyxy )(xzxz)xyz(yxyx)(yy)(yzyz)xyz(zxzx)(zyzy)(zz)zyzXYZ(b)式中X,Y,Z为给定的体力, 相减，得设想没有改变。将式（B）与发生应力变分前的平衡方程x)7(xy )xz)二（yx)y)1(yz)(8.4-1)二（z

37、x)7(zy)1(z)和给定位移部分的表面Su。表面力也发生相应的变化，变形体的表面分为两帝分，即给定面力的部分表面 S 在表面力没有给定的边界Su 上,由于应力分量的变化, 即X, Y, Z。新的表面力变成X X, Y Y, Z 因此，新的应力分量在此边界面上应满足边界条件，即(x(yx(zxx)lyx)lzx)l(xy(y(zyxy)my)mzy)mxzyzxz)nyz)nz)n(C)xz将式(c)与原边界条件式相减，得xyyxyz(8.4-2)zxzy此外，对于表面力已给定的边界上,X 故应力变分在该边界上应满足的条件为lxmxylyxmylzxmzy表面力不能变化，即Yxzyz(8.4

38、-3)因此，为了使应力变分是静力许可的，它必须满足式 (8.4-3)。于是，应力余能的变分，参照、(8.4-2)(8.1-4)式或(8.2-2a)可写为(8.4-1)和式V(xy xy yz yz zx zx )dV(d)将几何方程代入上式,vHuv)xy dV x(e)将上式内各项进行分部积分并利用格林公式，得如同下列形式的三个关系式V (寸 x)dVvTU x)dVr x)dV(f)xdSVU；(x)dV和如同下列形式的另外三个关系式V UV(-PxydVs(vl um)xydSxy) Uq(xy)dV(g)将式(f)、(g)代入式(d)， u' Su(l x mSxy得n xz)

39、V(l yxyz)W(lzxm zyn x)dSVu.(亍xy)xz)(g)v-( x由式(8.4-1)yx)y) ( yz) W：(zx)(zy)(y上式中对体积的积分项为零；并注意在已知表面力的边界，而在已知位移的边界Su上，因U u, V V, W(8.3-2)知，应满足式(8.4-3)因虚应力产生的附加面力应满足式(8.4-2)。因此，由式 化为U ' (u X V Y W Z)dSSu该变分方程等式的右边部分表示表面外力的增量 u,v,w所作的功，同时注意式(d),因而式可写为z) dVS 上, W，且在该边界 可知，上式可简X, Y, Z与实际位移V ( X x y ySu

40、(U X VYz xy xyyz yzZ)dSzxzx)dV(8.4-4)式(8.4-4)表示虚应力原理，用下处于平衡状态时，微小虚面力在实际位移所作的虚功，等于虚应力在真实应 变所产生的虚应变余能。(8.4-3)。该两式可简写为又称虚功原理，表述为:当物体在已知体力和面力作显然，式(8.4-4)成立的附加条件为式(8.4-1)和式(ij), jFi 00(在 V内 )(在S上)由以上讨论可以看出，移原理一样，虚应力原理的成立也与材料的本构关系无关。应当指出，在虚位移原理中包含了实际的外力和内力，因而可理解为虚位移 原理是对系统平衡的要求；而虚应力原理则包含有实际的位移和应变，所以可把 虚应力

41、原理看作是对物体变形协调的要求。实际上，由虚应力原理的变分方程 (8.4-4)不难导出变形协调方程，这就是说式(8.4-4)等价于应变协调条件。于是, 按式(8.4-4)解题时，对于所设解答，不必预先满足变形协调条件，只须使虚应力 j满足物体的平衡方程和应力边界条件。虚应力原理和虚位移原理在形式上是互补的。和虚位4.2最小余能原理由虚应力原理可直接导出最小总余能原理。为避免混乱，今后把用应变表示 的弹性应变能函数U( ij)称为应变能函数，或应变能；而把用应力表示的应变余能 函数称为余应变能函数，或余变余能(或应力能)，记为U'( ij)。如在虚应力原理 中引进广义虎克定律，并认为应变

42、状态是有势的，应变分量可由余应变能函数导 出，即U0( ij)ijijU。于是由上式可知，总的应变余能的变分为ijijU0( ij)dVV ij ij dV因此，式(8.4-4)可化为V Uo( ij)dVSu(Uw Z)dS 0(8.4-5a)如果存在虚应力时，在边界 变分符号置于积分号外，即Su上,位移分量应保持不变。于是可将上式中的VU0( ij)dVS(UiFi)dS0(8.4-5b)其中Fi是在已知位移边界由虚应力引起伪附加表面面力。显然，在此情况下附加 条件为ijnjfi 0(在 V内)Fi 0 (在S上)(8.4-6)如果令变形体的余能为VUo( ij)dV S UiFidSVS

43、u则有P 0上式说明，在所有满足平衡方程和应力边界条件的静力许可的应力场中，真 实的应力场使余能取极值。进一步还可证明2 P 0因此，最小余能原理可表述为：在所有满足平衡方程和应力边界条件的静力许可 的应力场中，真实的应力场使余能取最小值 。最小余能原理和最小势能原理均适用于线性和非线性弹性体。由于真实的应力场既满足平衡方程，应力边界条件，又满足变形协调条件。可见，最小余能原理因真实的应力场满足平衡方程，应力边界条件，以及使余能 取最小值的条件，所以最小余能原理与变形协调条件等价。下面指出最小余能原理的特殊情形。当物体全部表面力给定，则面力的变分为零，由式(8.4-5)得P U'0(8

44、.4-7)式(8.4-7)称为最小功原理。该原理可表述为：若物体的面力给定，则在所有满足 平衡方程和边界条件的应力场中，真实的应力场必使余应变能取最小值。"寸于 线弹性体，因余应变能与应变能相等，因此又称(8.4-7)式为最小应变能原理。当最小余应变能原理用于线弹性力学问题则可导出熟知的卡氏第二定理。8.5应力变分法与应用基于与位移变分法类似的思想，通过应力变分方程，以应力分量作为基本未 知数，取得变形物体的近似解答。5.1应力变分法应力变分法是设定某一个应力分量表达式，其中包含了若干待定常数，使其 满足平衡方程和应力边界条件，然后通过应力变分方程决定这些常数。帕普考维奇(nKOBn

45、Akk 1nAkk 1nAkk 1uu.xyyzzx)建议取应力分量为0xy0yz0zxnAkk 1nAkk 1nAkk 1kxykyzkzx(8.5-1)是选定的满足平衡方程和应力边条件的设定函数，而 是选定的满足体力为零的平衡方程和面力为零的应力边界条件的设定函数，Ak是n个独立的待求系数。于是，不论常数Ak取何值，式(8.5-1)中的应力分量x，xy，总能满足平衡方程和应力边界条件。如前所述，像对位移的 变分一样，对式(8.5-1)应力分量的变分也是通过对待定常数Ak变分来实现。至于各个设定的函数，则仅是给定坐标位置 x,y,z的函数，与应力的变分无关。因此， 有其中，kx ,0xkxy

46、 ,0xyk 1对于应力变分方程(8.4-4)(1)Ak,xy：y AkAk,yzyz Ak(8.5-2)Ak ,zxzx Akk 1和(8.4-5)A2 a2AnAN有两种可能情况; 当给定面力或给定位移为零时，由最小功原理，有根据Ai, A2, An的任意性，可得才 0, (k1,2,n)(8.5-3)式(8.5-3)即为确定待定常数Ak的线性方程组。求得Ak后，贝冋获得问题的解。 (2)当给定位移不为零时，应力变分方程为U' (u X v YSuw Z)dS(a)式中u,v,w是已知的表面位移，上述积分只在这部分边界进行, 面力和应力两者的变分应服从式(8.4-2)而这部分边界上

47、,xyxzyxyz(b)zxzy将式(8.5-2)代入上式，并计算式(a)的积分,可求得Z)dSnDk Akk 1(c)式中Dk为常数,由下式计算：lkymkxlkmkyzn W；xlkyn:dS (d)另一方面，有(e)Uk 1 Ak将式(C),式(e)代入式(a)，并考虑到Ak的任意性，得Dk, (k 1,2, ,n)(8.5-4)式(8.5-4)仍是待定常数的线性代数方程式。由以上分析可知，对于所选定的应力分量同时满足平衡方程和应力边界条件 往往是十分难办到的。但在巳经讨论过的问题中，如平面问题，柱体的扭转，应 力分量是以应力函数表示，此时，用应力函数表示应力分量已经满足了平衡方程, 余

48、下的问题就是应力边界条件了。对于这类问题，求解时困难就少了，从而扩大 了应力变分原理的应用范围。5.2应力变分法在平面问题中的应用x, y, xy，且各分量仅仅是x,y的函数，并不随 如果在z力向取单位长度，则弹性体的应变余能在平面问题中，应力分量为 坐标z变化。对于平面应力问题， 表达式为1U 2E对于平面应变问题，以x y 2(1)2 dxdy(8.5-5)U '-2E如果弹性体是单连体， 的弹性常数无关。此时，为了计算方便，a(1)( X体力为常数,以代替1y) 2 x，可得y 2 xy dxdy (8.5-6)且是应力边界问题，则应力分布与材料可在式 (8.5-5)和(8.5-6)中取0,于是对于平面应力和平面应变两种情况下的弹性体的应变余能，可统一写成' 1 22 2U A Xy 2 xy dxdy2E A，应力分量用应力函数当体力为常数时，根据式(6.2-4)可表达为(f)2Xx y2(g)-Yyx2xy将式(g)代入式(f)U' 2e，则有2x2Xx2 2Yy2 dxdyx y(8.5-7)设应力函数为n(x,y)0(x, y