因式分解的常用方法及应用及典型习题

1、因式分解的常用方法及应用暑期因式分解知识回顾：1、定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做因式分解，又叫分解因式.2、提公因式法：公因式：多项式各项公共的因式.用提公因式法进行因式分解要注意下面几点：公因式要提尽；将公因式提到括号外时，留在括号内的多项式的首项为正3、公式法把乘法公式反过来，就可以利用公式将某些多项式写成因式的积的形式，即进行因式分解.平方差公式：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.完全平方公式：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.例如：对下列各式因式分解： 12abe 9 a2b2 =.2（x 3）

2、 （x 3）=. x3 xy2 .2 27x18x 3=在因式分解的时候，不能采用提公因式法和公式法的时候，可以思考一下是否可以采用分组分解法.基础知识示例剖析如果整式没有公因式可以提取，也无法直接 用公式分解，则需要分组分解 .分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者 可以用公式，这就是分组分解法 .分组分解法的基本步骤：1、将原式适当分组；2、讲分组后的式子分解因式，或提”或 代”；3、将经过处理过的式子在分解因式，或提”或代”.ax by bx ayax bx ay byK K重新分组 例如,x a b ya b KK提取公因式a b x y K K再提取

3、公因式注意事项：降哥排序首项为正 拆开重组 瞄准方法例题精讲【解析】原式=xy1 24y1= x12yx 2y 1x 2y 12x2x y 2a2 ab2鼻 产胃【例1】下列多项式已经进行了分组，能接下去分解因式的有（） m3 m x* 2 xy m 1 ； 4b2 9a2 6ac c2 ；222 5x 6y 15x 2xy ； x y mx my ；A. 1个B. 2个C. 3个 D. 4个因式分解：1 4x2 4y2 8xy ,正确的分组是（）A.4x28xyB.4x24y2xyC.8xy4x24y2D.4x24y28xy将多项式2xy2y 2x 2y1分解因式，正确的是（A. xB. x

4、 y221 C. x y 1D.B. a a b 1 a b 122D. a ab a a ab a a2b2 a2 b2 1将多项式a3 2a2b ab2 a分解因式，正确的是（）2A. a ab a a b 122C. a a2 2ab b2 12】分解下列因式 xy x y 12 5a m 15am 3abm 9bm22 a b 2ab 1 a2 2ab b2 c2 2c 13254 x 2x x 2 x 2x3】分解因式 x(x z) y(y z)ax( y3 b 3) by(bx2 a2 y)ab(c2 d2) (a2 d2)cdxxxx题型二：因式分解一一十字相乘法十字相乘法是二次

5、三项式因式分解的重要方法.一个二次三项式ax2 bx c,若可以分解，则一定可以数，其实就是分解系数a,b, c,使得：aa2a , g. c,aca2Gb,x2(a b)x ab (x a)(x b).卜面两个步骤:将多项式按某一个字母降哥排列，将这个多项式看成是关于这个字母的二次三项式;这个方法的要领可以概括成16个字 头尾分解，交叉相乘，求和凑中，试验筛选免立例题精讲,礴写成(a1xq)(a2xC2)的形式，它的系数可以写成a1x，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的a2c建议：十字相乘法只适用于二次三项式的因式分解，有些多项式为了能用十字相乘法分解，一般需经过若系数为分数，设法提

6、出一个为分数的公因数，使括号内的多项式成为整系数，再利用卜字相乘法分【引例】分解下列因式,、2 x 5x 6 x2 5x 6【解析】(x 2)(x 3)、2_ x 5x 6,.2.(4) x 5x 6(x 2)(x 3);二(x 6)(x 1);6x-1xX：(x 6)( x 1)-6x1x思路导航二二翎若b2 4ac不是一个平方数，那么二次三项式ax2bx c就不能在有理数范围内分解垂典题精练,事犷【例4】分解因式： x2 7x 10,、22 x 10xy 24y x4 13x2 36,.2(4) 2x x 1-22 2x 3xy 2y，、一 2. . _ 2 12x 11xy 15y选主元

7、法:在对含有多个未知数的代数式进行因式分解时, 是字母系数进行因式分解.可以选其中的某一个未知数为主元，把其他未知数看成【例5】请用十字相乘的方法将下列各式因式分解: x2 b 1 x b kx22k 3 x k 3 3x2 4xy 4y2 8x 8 y 3 a(6a 11b 4) b(3b 1) 2【例6】 在日常生活中如取款、上网都需要密码，有一种用因式分解”法产生的密码，方便记忆，原理是：如对于多项式x4 y4因式分解的结果是x y x y x2 y2 ,若取x 9 , y 9,则各个因式的值是：x y 0, x y 18, x2 y2 162 ,于是就可以把 “018162作为一个六位

8、数的密码.对于 多项式4x3 xy2,取x 2, y 2时，用上述方法产生的密码是： （写出一种情况 即可）.【例7】 如图，试用图中的三张正方形纸片和三张矩形纸片拼成一个较大的矩形，请你画出拼后的大矩形 （注明边长），并将这个拼图表示为一个因式分解的式子.北腺峰突贰【例8】 如图，正方体的每一个面上都有一个正整数，已知相对的两个面上两数之和都相等,2229, 3的对面的数分别为 a,b,c,求a b c ab bc ac的值.13,思维拓展训练（选讲）卓训练i.分解因式： x x 1 y y 1 2xy;23 2 3 1 x x x x .222、22、 abx (a b )x (a b ); mx2 (m2 m 1)x m2 m .x 14y 6 .2xy 2xz 14yz训练2.分解因式：x2 2xy 8y2 x2 3y2 8z2训练3.已知三个连续奇数的平方和为251,求这三个奇数.训练4.已知 ABC三边a、b、c ,满足条件a2c a2b ab2 b2c c2b ac2 0,试判断ABC的形状, 并说明理由.题型一因式分解一一分组分解法巩固练习【练习1】 分解因式：ab c2 d2 cd a2 b2题型二因式分解一一十字相乘巩固练习【练习2】分解因式： 16m2 31mn 2n2; 6xn 1 7xny 24xn1y2.【练习3】多项式x2 px 12可分解为两个一