求值域的10种方法

1、求函数值域的十种方法-直接法（观察法）:对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 4 .若 X 2y 4, X 0, y 0，试求 Ig xIg y的最大值。例1 .求函数y1的值域。【解析】 JX 0 , JX 1二函数y JX1的值域为1,）。【练习】1.求下列函数的值域: y 3x 2( 1 X 1)； f(x) 2211 , X 1,0,1,2。【参考答案】1,5:2,):(,1)U(1,): 1,0,3。二 .配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如2F(X) af * 2(X) bf (X)c的函数的值域问题，均可使用配方法。例2 求函数y2X 4x

2、 2 ( X 1,1)的值域。【解析】X2 4x22 (X 2)26。函数f(x)X2 4x( f (X) 0)配方得：f(x)（X 2）2 4（X 0,4）利用二次函数的相关知识得f（X） 0,4，从而得出：y 0,2。说明：在求解值域（最值）时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为:f(x) 0。值。利用两点(4,0)，(0,2)确定一条直线，作出图象易得:x (0,4), y(0,2),而Igx Igy Ig xyIg y(4 2y) Ig2(y 1)22，y=1 时，Igx Ig y 取最大值 Ig2。【练习】2.求下列函数的最大值、最小值与值域:y x24

3、x 1；4x 1,x3,4;2x 4x 1,x0,1;y x24x 1,x 0,5:x2 2x 41x;站【参考答案】3,):2,1:2,1:3,6;6,73】；40,2三 .反函数法：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。适用类型：分子、类型。分母只含有一次项的函数 (即有理分式一次型)，也可用于其它易反解出自变量的函数2x的值域。x 1分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出例5 .求函数yx，从而便于求出反函数。2xy反解得x沃，故函数的值域为(,2)U(2,)。【练习】1 .求函数2x 3的值域。3x 2ax bcx dc 0,

4、 x的值域。【参考答案】2 2.(,3)U(3,a a,-)U(-,)。c c四-分离变量法:适用类型1：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。例6:求函数解：.y1 x丄上的值域。2x 51-(2x 5)22x 52x 5722x 5722x 51,函数2x1的值域为 y | y- o2x 52适用类型2:分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为f (x)(k为常数)的形式。2例7 :求函数yxx的值域。x 1分析与解：观察分子、分母中均含有x2 x项，可利用分离变量法；则有2x2 x xX2 X 11x2 x 11/ 2(x 2)

5、不妨令:f(x) (x1312)2 4，g(x)帀(f(x) 0)从而 f(x)34,注意：在本题中若出现应排除f(x) 0，因为f(X)作为分母 所以g(x)0,4另解: 观察知道本题中分子较为简单，可令2 .x x 1 t 2x x，求出t的值域,进而可得到 y的值域。【练习】22x 2x 3砧后72的值域。x x 1【参考答案】1 (2，130五、换元法：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。(t 2)2

6、 5 o例&求函数y 2x J1 2x的值域。解：令 t J1 2x (t 0)，则 x, y t2 t 123亠8时，ymax 5，无最小值。函数 y 2X4Jf2X的值域为（9 :求函数y2 J1（X 1）2的值域。解：因（X1)2即（X1)2故可令cos0,，ycos 1J1cos2 sincos 1 A/2sin(sin(J2si n() 14故所求函数的值域为0,1运。3例10.求函数y _x_y 4 o 2X 2x的值域。解：原函数可变形为:可令x= tan，则有2x1 X22 X2 X1sin2而此时tan2xX2sin2 丄12 X2Xcos2cos2时,8-时,8有意义。故所

7、求函数的值域为例11.求函数y （siny maxy min1)(cosx 1)， X一 一 的值域。12 2解：y (sin X 1)(cos x 1)sin xcosx sin X cosx 1令sin X cosx t，则 sinxcosx kt2 1)2y -(t2 1) t 12A i2sin X cosxV2sin(x )12 2可得:当 tymax342y 3云故所求函数的值域为-342 2例12.求函数y解：由5 x20，可得| x|故可令x 45 cos0,y 75cos4 TdsinTiOsi n(-) 0时,4ymax时,ymin故所求函数的值域为:判别式法：把函数转化成

8、关于 x的二次方程F（X, y） 0 ；通过方程有实数根，判别式20,从而求得原函数的值域，形如ya1X2thX Q2a2Xb2Xai、a2不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。例13 :求函数x： X 3的值域。X2 X 13变形得（y 1）X2 （y21)x解：由y务X X 11时，此方程无解;1 时， X R , (y 1)24( y 1)(y 3)解得1y ，又 y 1， 1 y 332 函数yX 3的值域为y |1 yX2 X 111七、函数 的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。例14 :求函数y X /2X的值域。解：当X增大时，1 2

9、x随X的增大而减少，随X的增大而增大,二函数y,-上是增函数。2函数yX J12x的值域为，i。例15.求函数1 Jx 1的值域。解：原函数可化为:令 y1y24Xri，显然讨心在1,上为无上界的增函数所以yy1y2在1,上也为无上界的增函数所以当x=1时，y y1 y2有最小值 逅，原函数有最大值 产 Q显然y 0，故原函数的值域为(0,J2(原理：同增异减)适用类型2 :用于求复合函数的值域或最值。2例16:求函数y log丄(4x X)的值域。2分析与解：由于函数本身是由一个对数函数(外层函数)和二次函数(内层函数)复合而成，故可令:t(x) x2 4x(t(x) 0)配方得：t(x)

10、(x 2)2 4所以t(x) (0,4)由复合函数的单调性(同增异减)知: y 2,)。八、利用有界性：一般用于三角函数型，即利用sinx 1,1,cosx 1,1等。例17 :求函数y COSX的值域。sinx 3解：由原函数式可得：ysin x cos x3y，可化为:Jy2 1si nx(x)3y即 sin x(xJy2二 sin x(x1,1解得：旦4故函数的值域为注：该题还可以使用数形结合法。COSXsin x 3cosx 0，利用直线的斜率解题。sin x 3例18 :求函数y 1_2-的值域。1 2x解：由1彳解得2x2x 1 2x函数211 2x的值域为y(1,1)。九、图像法

11、(数形结合法)：其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例19 :求函数| x 3| |x 5|的值域。解： y|x3|2x 2 (x|x 5|8( 32x 2 (x3)x 5),5) y |x3|x5|的图像如图所示,由图像知:|x 3| |x 5|的值域为8,)例20.求函数yJ(7V (齐的值域。-8解：原函数可化简得：y |x 2| |x 8|上式可以看成数轴上点P (x)到定点A ( 2),B(8)间的距离之和。由上图可知，当点 P在线段AB上时，y |x2|x 8| | AB | 10当点

12、P在线段AB的延长线或反向延长线上时,|x 2| |x 8| |AB| 10的值域。故所求函数的值域为：10,例21.求函数 y 7x2 6x 13 Vx2 4x 5解：原函数可变形为：y 7(x 3)2 (0 2)27(x 2)2 (0 1)2上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点 A(3,2), B( 2, 1)的距离之和,由图可知当点P为线段与x轴的交点时,ymin |AB| J(3 2)2 (2 1)2743，33故所求函数的值域为J43,例22.求函数y Jx2 6x 13(3,2)Jf7x2 4x 5的值域。解：将函数变形为：y J(x 3)2 (0 2)2 7(x 2)2 (0

13、 1)2上式可看成定点 A (3 , 2)到点P (x, 0)的距离与定点B( 2,1)到点P(x,0)的距离之差。即：y |AP| |BP|ABP，根据三角由图可知：(1)当点P在x轴上且不是直线 AB与x轴的交点时，如点 P，则构成形两边之差小于第三边，有| A p| |BP | |AB | 7(3 2)2 (2 1)2 J26即：726 y 726(2)当点P恰好为直线 AB与x轴的交点时，有| AP| | BP | | AB | J26综上所述，可知函数的值域为：( 癒冏例23、：求函数y 3 sinX2 cosxk宜丄，将原分析与解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中已知两点求直线

14、的斜率的公式X2Xi函数视为定点(2，3)到动点(cosx,sinx)的斜率，又知动点(cosx,sin x)满足单位圆的方程，从而问题就转化为求点(2，3)至U单位圆连线的斜率问题，作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时 取得，从而解得：点评：本题从函数本身的形式入手，引入直线的斜率,结合图形，从而使问题得到巧解。例24 .求函数yx的值域。分析与解答：令u J厂x, V J厂x，则u0,v0, u2V22, u v y,原问题转化为当直线u V y与圆u22在直角坐标系UOV的第一象限有公共点时，求直线的截距的取值范围。由图1知：当y经过点（0, J2）时,Ym in当直线与

15、圆相切时,y maxOD 72oc 罷 2135所以：值域为42十：不等式法：利用基本不等式a b 2质,a b c 3烦（a,b,c R ），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添 项和两边平方等技巧。例25.求函数y （Sinx，当且仅当t=1，即x 1时取等号，所以0 y丄)2 (cosx 1)24 的值域。sin xcosx解：原函数变形为:12cos x2 2 1(sin x cos x) 2 sin x2 2ces x sec x2 2tan x cot x 2Jta n2 xcot2 x当且仅当tanx cot x即

16、当x k 时(k z)，等号成立4故原函数的值域为：5,)例26.求函数y 2sin xsin 2x的值域。解: y 4sin xsin xcosx4sin1 xcosxy 16sin4 xcos2 x 8sin2 xsin2 x(2 8(sin2 x sin2 64272sin2 x)2 2sin2x)/33当且仅当sin2 x2sin 2 x，即当sin2x -时，等号成立。3由y264可得:27故原函数的值域为:多种方法综合运用:例27.求函数yJx 2的值域。解：令 t Jx 2(t0)，则t2 1(1)当 t 0 时，y例28.234求函数y 1 X 2XX X 的值域。1 2x2 X4解:# c 241 2x xx1 2x2x x31 2x2x4x1X21x21 x2x1 x2%，则1 si n22y cossin 、y -当 sin当sin2 x2 x2 cos1 . -sin2sin17161时,ymax1716Ymin此时tan都存在，故函数的值域为22,17注：此题先用换元法，后用配方