正弦定理教学设计

1、正弦定理海门中学周茜一、教学内容分析 ：本课“正弦定理”，作为单元的起始课，为后续内容作知识与方法的准备，是在学生已有的三角函数及向量知识的基础上， 通过对三角形边角关系作量化探究，发现并掌握正弦定理 （重要的解三角形工具） ，解决简单的三角形度量问题。二、学生学习情况分析：由于本课内容和一些与测量、 几何计算有关的实际问题相关， 教学中若能注意课程与生活实际的联系， 注重知识的发生过程， 定能激起学生的学习兴趣。 当然本课涉及代数推理， 定理证明中可能涉及多方面的知识方法， 综合性强，学生学习方面有一定困难。三、教学目标：让学生从已有的知识经验出发,通过对特殊三角形边角间数量关系的探求，发现

2、正弦定理；再由特殊到一般，从定性到定量，探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，猜想，比较，推导正弦定理，由此培养学生合情推理探索数学规律的数学思考能力；培养学生联想与引申的能力， 探索的精神与创新的意识， 同时通过三角函数、 向量与正弦定理等知识间的联系来帮助学生初步树立事物之间的普遍联系与辩证统一的唯物主义观点。四、教学重点与难点：本节课的重点是正弦定理的探索、证明及其基本应用； 难点是正弦定理应用中“已知两边和其中一边的对角解三角形，判断解的个数”，以及逻辑思维能力的培养。五、教学过程设计：（一）创设情境 :A问题 1、在建设水口电站闽江桥时, 需预先测量桥长AB,于是在

3、江边选取一个测量点 C,测得 CB=435m,CBA=880 , BCA=420 。由以上数据，能测算出桥长AB吗？这是一880042个什么数学问题 ?B435mC引出：解三角形已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程。师：解三角形， 需要用到许多三角形的知识， 你对三角形中的边角知识知多少？生：······，“大角对大边，大边对大角”师：“abc A BC”，这是定性地研究三角形中的边角关系，我们能否更深刻地、从定量的角度研究三角形中的边角关系？引出课题：“正弦定理（二）证明探究从定量的角度考察三角形中的边角关系，猜想可能存在哪

4、些关系？考察等边三角形、特殊直角三角形的边角关系，提炼出asinA=bsinB=csinC。这一关系式在任一三角形中是否成立呢？请学生以量角器、刻度尺、计算器为工具，对一般三角形的上述关系式进行验证，教师用几何画板演示。在此基础上，师生一起得出猜想，即在任意三角形中，有 asinA=bsinB=csinC。对此猜想，据以上直观考察，我们感情上是完全可以接受的，但数学需要理性思维。如何通过严格的数学推理，证明正弦定理呢？在初中，我们已学过如何解直角三角形， 下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。在 Rt ABC中，设 BC=a,AC=b,AB=c,C 900 ， 根据锐角asin Ab

5、sin B， 又sin C1c则的 正 弦 函 数 的 定 义 ， 有 c， cc ,abccabcsinA sin BA sinBsinC 。sin C，从而在直角三角形 ABC中， sin问题 2： 在锐角三角形 ABC中，如何构造、表示“a 与 sin A 、 b 与 sinB ”的关系呢？探究 1：能否构造直角三角形，将问题化归为已知问题？如图 1，过 C 作 BC 边上的线 CD，交 BA 的延长线于 D，得到直角三角形 DBC。如图 2，过 A 作 BC 边上的高线 AD ，化归为两个直角三角形问题。如图 3，分别过 B、 C 作 AB 、 AC 边上的垂线，交于D，连接 AD ，

6、也得到两个直角三角形··经过师生讨论指出：方法2，简单明了，容易得到“ c 与 sin C 、 b 与 sinB ”的关系式。探究 2：能否引入向量，归结为向量运算？（1）图 2 中蕴涵哪些向量关系式？学生探究，师生、生生之间交流讨论，得AB BCAC,AB BC CA 0, AB CB CA, （这三个式子本质上是相同的） ,AD?BC0 等 ,（2）如何将向量关系转化为数量关系？( 施以什么运算 ?)生：施以数量积运算（3）可取与哪些向量的数量积运算？探究 3：能否引入向量的坐标形式，把向量关系转化为代数运算？（1）如图 4，建立直角坐标系，可得：A(0,0),B(c,

7、0),C(bcosA,bsinA),（2）向量BC 的坐标 =？（bcosA-c ，bsinA ）（3）哪一点的坐标与向量标又为多少？根据平行四边形法则，D（BC 的坐标相同？由三角函数的定义，该点的坐00a cos(180B), asin(180B) ），从而建立等量关系： bcosA c=a cos(1800B),bsinA=a sin(1800B),整理，得c= bcosA+acosB（这其实是射影定理），a/sinA=b/sinB，同理可得 a/sinA=c/sinC。问题 3：钝角三角形中如何推导正弦定理？（留做课后作业 ）（四）理解定理、基本应用：问题 4、定理结构上有什么特征，有

8、哪些变形式？（ 1）从结构看：各边与其对角的正弦严格对应，成正比例，体现了数学的和谐美。（ 2）从方程的观点看：每个方程含有四个量，知三求一。 从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如ab sin A ；sin B已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin Aasin Bb。2、例题分析例 1在ABC 中，已知 A 32.00 ， B 81.80 ， a42.9 cm，解三角形。评述：定理的直接应用，对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例 2在ABC 中，已知 a 20cm, b 28cm, A 40 0 ，解三角形（角度精确到 10

9、，边长精确到1cm）。评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。课后思考：已知三角形的两边一角， 这个三角形能唯一确定吗？为什么？3、课堂练习：（1）、引题（问题 1）（2）、在 ABC中， sinA sinB 是 A B 的A. 充分不必要条件C. 充要条件D.B.必要不充分条件既不充分也不必要条件（五）课堂小结：问题 5：请同学们用一句话表述学习本课的收获和感受。生 1：原来我只会解直角三角形，现在我会解一般三角形了师：通过本课学习，你发现自己更强大了。生 2：原来我以为正弦定理的证明，只有书上一种方法，今天我们学到了课本以外的众多方法。师：我们学习过两个重要数学工

10、具， 即三角函数与平面向量， 正弦定理的证明充分展示了它们的妙用。生 3：公式很美。师：美在哪里？生 3：体现了公式的对称美，和谐美· ·····在同学们的热烈讨论的基础上，用课件展示小结：1、在正弦定理的发现及其证明中，蕴涵了丰富的思想方法，既有由特殊到一般的归纳思想，又有严格的演绎推理。在定理证明中我们从直观几何角度、向量运算角度探求了数学工具的多样性。2、正弦定理反映了边与其对角正弦成正比的规律 , 据此，可以用角的正弦替代对边，具有美学价值3、利用正弦定理解决三类三角形问题：（ 1）已知两角和任一边，求其他两边和一角。（ 2）已知两边和其中一边的对角，