第2课时角的平分线的判定

1、第2课时角的平分线的判定【知识与技能】1掌握角的平分线的判定.2. 会利用三角形角平分线的性质.【过程与方法】通过学习角的平分线的判定，发展学生的推理能力，培养学生分析、归纳问 题的能力.【情感态度】锻炼数学应用意识和用数学解决实际问题的能力，体验数学的应用价值【教学重点】角平分线的判定.【教学难点】三角形的内角平分线的应用.曹埶字a程、情境导入，初步认识到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢?问题1我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等【教学说明】如图所示，已知 PD丄0A于D，PE丄OB于E，PD=PE,那么能否得到点P在/ AOB的角平分线上呢？事实上，在 RtAOPD和R

2、t OPE 中, 我们利用HL可得到RtAOPD也RtAOPE所以/ AOP=/BOP,即点P在/ AOB的角平分线上.二、思考探究，获取新知三角形内角平分线是角平分线的延伸，那如何利用它来解题呢?CA的距离OF=OD=OE.若/A=70。，求/ BOC的度数.例1 如图O是 ABC内的一点，且 O到三边AB、BC、【分析】由OD=OE=OF,且OD丄BC、OE丄AC、OF丄AB知，O是 ABC的三角平分线的交点，所以/仁/2、/3=/4.要求/ BOC的度数，只要求出/ 1 + / 3的度数，即只要求出2 (/ 1 + / 3) =/ABC+ / ACB的度数即可，在 ABC中，运用三角形的

3、内角和定理，即可得出/ BOC的度数.解：TOF丄 AB,OD 丄 BC,且 OF=OD, BO平分/ ABC,即/仁/2,同理可得/ 3=/ 4.11/ BOC=180° -(/ 1 + / 3)=180° - (/ ABC+ / ACB)=180 ° - (180° -/221A)=90 ° +-/ A=125 ° .【教学说明】求三角形中角的度数，要善于运用角平分线的性"D匚 图【证明】如图，过点 D作DM丄AB于点M，作DN丄AC于点N.A例2如图Q、E、F是 ABC的三条边上的点，且 CE=BF,Sadce=Sad

4、bf,求证：AD平分/ BAC.【分析】由已知条件可知 DCE和DBF的两底CE=BF且它们的面积相等,所以这两底上的高应该相等因此过点D作DM丄AB,DN丄AC,垂 足分别为M和N,贝U DM=DN.由角平分线的判定定理可知，AD平分/ BAC.11V Sadce=SaDBF,即一CE - DN= BF DM.22又V CE=BF,A DN=DM, 点D在/ BAC的平分线上，即 AD平分/ BAC.例3如图所示，在 ABC中，AC=BC，/ ACB=90 ° ,D是AC上一点，且1AE丄BD并交BD的延长线于点E,又AE= - BD.求证：BD是/ ABC的平分线.2【分析】要证

5、明BD是/ ABC的平分线，即证明/仁/ 2,可构造全等三角形,延长AE、BC交于F,根据条件证明 ABEFBE即可.【证明】延长AE、BC交于点F.V AE 丄 BD, / ACB=90 ° ,/ 2+/F=/ FAC+/ F=90° ,即/ 2=/FAC.在 BDC与 AFC中,22 = NFAC* BC = ACnBCD =NACF =90。:. BDCN AFC(ASA), BD=AF.11又 aE= BD, AE= AF,22 AE=EF.在 ABE和 FBE中,AE = EFNAEB =NFEB =90。,BE = BE:. ABE FBE(SAS)./ 仁/2

6、.即BD是/ ABC的平分线.例4 （青海西宁中考）八年级（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图所示），设计了如下方案:方案一：/ AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P置于射线OA,OB之间.移动角尺使角尺两边相同的刻度与 M、N重合，即PM=PN,过角尺顶点P的射线0P就是/ AOB的平分线.方案二：/ AOB是一个任意角，在边0A、0B上分别取OM=ON,将角尺的直角顶点P介于射线OA，OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与 M , N重合，即PM=PN,过角尺顶点P的射线0P就是/ AOB的平分线.(1)方案一、方案二是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由;方案一

7、中，在PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使 PM丄OA,PN丄OB.此方案是否可行？请说明理由.解：（1）方案一不可行，理由：缺少三角形全等的条件.方案二可行.证明：在 OPM和OPN中,PM =PN, OP =OP, OM =ON,:. OP MN OPN (SSS)./ AOP=/BOP.OP是/ AOB的平分线.(2)此方案可行.理由： PM=PN,且PM丄OA,PN丄OB,.P在/ AOB的角平分线上， OP是/ AOB的平分线.三、运用新知，深化理解1.如图，已知 DB丄AE于点B, DC丄AF于点C,且DB=DC, / BAC=40 ° ,/ ADG=130°

8、; ,则/DGF=第1题图第2题图2如图，以 ABC的两边AB,AC为边分别向外作等边 ABD和等边 ACE , 连接BE,CD交于点O,求证：OA平分/ DOE.【答案】1.150°2.证明：过点A分别作AM丄DC于点M , AN丄BE于点N. ABD、 ACE是等边三角形, AD=AB,AE=AC,/ DAB= / EAC=60 °/ DAC= / BAE, DC=BE,又$ DAC=S BAE, AM=AN.又 AM 丄 DC,AN 丄 BE, OA 平分/ DOE.四、师生互动，课堂小结1三角形的三条角平分线的交点有且只有一个，且一定在三角形的内部 2.证明三线共点的证明思路：先设其中的两线交于一点，再证明该交点也在第三条直线上.3. 在三角形内部，要找一点到三边距离相等时，只要作出两个角的角平分线,其交点即是.4. 角平分线的判定与性质的关系：由角平分线的判定方法知这个结论的逆命题也是正确的，即在三角形内，到三角形三边的距离相等的点是三角形三条角平分线的交点.崔.1.布置作业：从教材“习题12.3”中选