求数列通项公式的6种方法

1、求数列通项公式的种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一.利用递推关系式求数列通项的7种方法:累加法、 累乘法、 待定系数法、 倒数变换法、 由和求通项 定义法（根据各班情况适当讲）二。基本数列：等差数列、等比数列。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和 累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三. 求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。四.求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。五.数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。1.适用于：an 1 an f(n)例1已知数列an满足an 1一、累加法这是广义的等差数列累加法是最基

2、本的二个方法之一。an 2n 1, a1 1，求数列an的通项公式。解：由 an 1 an 2n 1 得 an 1an 2n 1 则an (an2(n2(n2(n(n2nan 1 ) (an 11)1)1)n21)(nan1 2( n(n 2) III(n 1)1) 1所以数列(a3 a2) (a2 aj a12 1) (2 1 1) 11 (n 1) 12)2) 1 III (22an的通项公式为an例2已知数列an满足an1an23n1，a13，求数列an的通项公式。解法一：由 an 1 an 2 3n1 得 an 1In 2 3nan(an an 1 ) (an 11 1)3n23n1)

3、3(2 3n-n 12(32 313n所以解法二:3nanan3n3anan 23n 3an3'(|nan因此(|2(n3an2(n则an练习2答案：n练习(2Ih(n1.an 2) III3n2 1)川(23231) (n 1)a2)32(a21)(2aj31ai1) 31) 3(31)3n2.已知数列答案：裂项求和an1两边除以3n 1an3(an 1an 11尹）1an3nanan 2)(an 2(尹an 3)III(7(I13n 1)的首项为满足a1丄) 3n 2)13nIII (|III 右)l2) 32n且an 1an anan2n(nn(n 1)(n）写出数列an的通项公

4、式，求此数列的通项公式.12）1评注：已知a1 a an 1 anf(n)，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项 an若f(n)是关于n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和若f(n)是关于n的二次函数,累加后可分组求和若f(n)是关于n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和若f(n)是关于n的分式函数,累加后可裂项求和。二、累乘法1.适用于：an 1f(n)an这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。2.若anf (n)，则a2aif(1),a3a2anf(n)两边分别相乘得,an 1a1ainf(k)k 1例4.设an是首项为1的正项数列，且1

5、a2 12nanan 1 an0( n=1 , 2,3，),则它的通项公式是 an解：已知等式可化为:(an 1an) (n1)an1 nanan 1an0(na(n+1) n1 nananan2时,an 1ananan 1a2an 1an 2a1 a1 =专评注:本题是关于an和an 1的二次齐次式，可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到1an与an 1的更为明显的关系式，从而求出an练习.已知(n 1)an 1nan® 1,求数列 an的通项公式.三、待定系数法适用于an 1 qanf(n)基本思路是转化为等差数列或等比数列, 个函数。而数列的本质是一个函数，其定义域是自然

6、数集的一1 .形如 an 1 can d,(c0,其中a1a )型例6已知数列an中，ai 1,an2an 11(n2)，求数列 an的通项公式。解法一：an2an 1 1(n 2),an 12(an 1 1)又 a1 12, an 1是首项为2，公比为2的等比数列an 12n,即an2n 1解法二：an 2an 11(n 2),an 1 2an两式相减得an1 an 2(an an 1)(n2)，故数列 an 1 an是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的练习已知数列an中,ai2, an 1 an12 '求通项an。Z I n 1.答案：an(2)12 形如：an 1 P a

7、n(其中q是常数，且n 0,1)若p=1时，即：an 1anq :累加即可.若P 1时，即：an 1nan q求通项方法有以下三种方向：i.两边同除以n 1p .目的是把所求数列构造成等差数列an 1即:pannq7 (評令bn 7b，则n 1bn丄（与p q，然后类型1，累加求通项ii.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列。即:an 1qbn令nq ,则可化为bn1 E bqq .然后转化为类型5来解,iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设 an 1 qn 1p(anpn ）p ） 通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项注意：应用待定系数法时，要求P q,否则待定系数法

8、会失效。例7已知数列an满足an 1c A o n 1彳2an 4 3, a11，求数列an的通项公式。解法一（待定系数法）:设an13n2(an3n 1)，比较系数得14, 22则数列an 4 3是首项为ai4 31 15，公比为2的等比数列,执 n 1所以an4 35 2n 1，即 an4 3n 15 2n 1解法二（两边同除以n 1q ）:两边同时除以cn 13 得:an耳142-3 ，下面解法略解法三（两边同除以n 1p ）:两边同时除以2n1 得:an 1an4 （|）n32 ，下面解法略*3 .形如 an 1 pankn b（其中k,b是常数，且k 0)例8在数列an 中,a11,

9、 an 13an 2n，求通项an（逐项相减法）解:a n 1 3a n2n,n 2 时，an 3an 12(n1)两式相减得 an 1 an3(a nan 1 )2 令 bn an 1a n 则 bn 3b n 12利用类型5的方法知bn5 3nan 1an5 3n1 15an 再由累加法可得23n1亦可联立an解出*5.形如an 2 pan 1 qan时将an作为f (n)求解分析：原递推式可化为an 2an 1(p)(an 1an)的形式，比较系数可求得，数列an 1 an为等比数列。例11已知数列an满足an 25an 1 6an, a11,32求数列an的通项公式。解：设an 2an

10、 1(5)(an1an)比较系数得2，不妨取（取-3结果形式可能不同，但本质相同）则 an 2 2an3(an 12an)则an 12an是首项为4，公比为3的等比数列an 1 2anA n 14 3，所以an4 3n15 2n练习数列an中，若a18, a22,且满足 an 2 4an 1 3an求an答案：an 113'四、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例16已知数列an满足an12anan-,a11，求数列an的通项公式。2解：求倒数得an 1anan 111 11 1丄丄，为等差数列，首项丄1，an 2an 1 an公差为-，31丄Unan 21),an122五、由和求通项2已知数列an的各项均为正数，且前 n项和Sn满足Sn 3n 2n,印 2求数列an的通项公式。1例19已知数列an的各项均为正数，且前n项和Sn满足Sn -(an 1)(an 2)，且a2,a4,a9成63等比数列，求数列an的通项公式。解：对任意1N 有Sn6(an1)(an2)当 n=1 时,a1 6(a1 1)(a12),解得a11或a-i2当nA2时,16(an1 1)(an12)-整理得:(anan 1)( anan 13)0 an各项均为正数， an an 1当41时，an 3n 2 ,