第四讲整式的乘除与因式分解讲义

1、整式的乘除与因式分解一、基础知识1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数， 字母指数和叫单项式的次数。如:2a2bc的 系数为2，次数为4,单独的一个非零数的次数是 0。2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。如:a2 2ab x 1,项有 a2、 2ab、x、1,二次项为 a2、2ab，一次项为 x，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。3、整式：单项式和多项式统称整式。注意:凡分母含有字母代数式都不是

2、整式。也不是单项式和多项式。4、同底数幕的乘法法则：am an amn( m,n都是正整数)同底数幕相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。5、幕的乘方法则：(am)n amn( m,n都是正整数) 幕的乘方，底数不变，指数相乘。幕的乘方法则可以逆用：即amn (am)n (an)m6、积的乘方法则：(ab)n anbn积的乘方，等于各因数乘方的积。(n是正整数)7、同底数幕的除法法则：am an(a 0,m, n都是正整数，且m n)同底数幕相除，底数不变，指数相减。零指数和负指数;a01，即任何不等于零的数的零次方等于 1。1a p（ a 0, p是正整数），即一个不等于零

3、的数的P次方等于这个a9、数的P次方的倒数。单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。注意: 积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。 相同字母相乘，运用同底数幕的乘法法则。 只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。10、单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加,即 m(a b c) ma mb mc( m,a,b,c都是单项式)注意: 积是一个多项式，其项数

4、与多项式的项数相同。 运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。 在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。11、 多项式与多项式相乘的法则;多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所 的的积相加。12、平方差公式：(a b)(a b) a2 b2公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。13、完全平方公式:(a b)2 a2 2ab b2公式特征：左边是个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍

5、。注意:(ab2b)2b)22 2(a b) 2ab (a b) 2ab(a b)2 4ab(a b)2 (a b)22 2 2(a b) (a b) (a b)14、单项式的除法法则:单项式相除，把系数、同底数幕分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。注意：首先确定结果的系数(即系数相除)，然后同底数幕相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式15、多项式除以单项式的法则:多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。即：(am bm cm) m am m bm m cm m a b c16因式分解

6、：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解。1、提公因式法.:如果一个多项式的各项含有公因式， 那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式的积的形式、ma+mb+mc=m(a+b+c) (m 可以表示单项式，也可以表示多项式)2、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1) (a+b)(a-b)=孑-b2a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (a± b)2 = a2± 2ab+fc2a2±2ab+fc2=(a± b)2；3、分组分解法(1) 分组后能直接提公

7、因式am an bm bn=m ( a+b)+n(a+b)=(a+b)(m+n)(2) 分组后能直接运用公式x2 y2 axay =(x+y)(x-y)+a(x+y)=(x+y)(x-y+a)1的二次三项式x2 (p q)x pq (x p)(x q)进行分解。4、十字相乘法.(一)二次项系数为直接利用公式特点：(1)二次项系数是1；(2) 常数项是两个数的乘积；(3) 一次项系数是常数项的两因数的和。凡是能十字相乘的二次三项式a+bx+c,都要求 b2 4ac >0而且是一个完全平方数。(二 )二次项系数不为 条件：(1)a(2) C(3) b1的二次三项式一一ax2 bx C分解结果

8、:aia2C1C2aiC2a2C131C182/ C2ba1 C2a? Gax2bx c=(aix Ci)(a2X C2)一、基础知识梳理(课前完成)(一)整式的乘除1幕的运算性质/八.mn(1) . a .a(m ,n都是正整数)(2) . ab n(n为正整数)。例：(3) . am n(m ,n都是正整数)(4) . a" an(a 0 , m ,32a ao(5) . a0( a0)(6) . a2.整式的乘法：(1)单项式乘以单项式：6x2.3xy(2)单项式乘以多项式：x22y xy2(3)多项式乘以多项式：2x3y x 4y3.整式的除法：(1)单项式除法：6x32xo

9、(2)多项式除以单项式：8x24xy4xno。例:。例:ab 323a .aa23n都是正整数，并且m(a 0,n )o 例：n是正整数)(二)因式分解1分解因式的概念(1) .分解因式：把一个多项式化成几个(2) .分解因式与整式乘法的关系：2 分解因式的基本方法：的形式。(1).提公因式法： ma mbme(2 )运用公式法:(1 )平方差公式：a2 b2；(2 ) 完全平方公式：2 - , , 2a 2ab b2x 6x 9、基础诊断题109.单项式 8a2b2, 12ab3,6a2b2的公因式是A. a7B. a12C.16 aD. a642.计算：3ab2.5a2b,9x33x2O3

10、.计算：2a13.a1,2a b a b44.计算：x 1x 1,a32O5 .计算:3x39x26x3xO6.下列从左到右的变形是因式分解的是（)A. 2a3b2a3 bB . x224x 10 x 2 26C. a 3a 32 a9D. x226x 9 x 37.多项式2x x6提取公因式2 x后的另一1个因式是（）A. x4B.3 xC. x41D. x31)8.分解因式：x2161.计算a4 3的结果是（10.分解因式：三、典型例题例1.先化简，再求值:2b22a b a b a b ，其中 a例2.分解因式:2;2x 4x 2例3.(1)已知a b2 , ab 1，则a2b ab2的

11、值为(2)若 m 2n1,则 m2 4mn 4n2四、达标检测题（）基础检测91.下列各式计算正确的是（A.a7 2 a9B.7.a2a14C.2a23a3L 55a.3 D. ab3.3a b2.下列运算正确的是（八24A . a .aB.C.D.2a 3a 5a3.若 3 9m27m321，则m的值是B.4C.5D.4.分解因式:X29y2X22x5.若 a 2,3a212mn26mn9m2则a ab6.在边长为 分拼成一个矩形（如图乙）a的正方形中挖去一个边长为 b的小正方形（a，根据两个图形中阴影部分的面积相等,(ab)22abb2(ab)22abb2C.a2b2(ab)(ab)aba

12、b ）（如图甲）， 可以验证（把余下的部）(a2b)(ab) a2ab 2b27.先化简，再求值：XX 3，其中（二）能力提升11将下列多项式分解因式，X （X - 2） + （2 - X）若a- b=1，则代数式若 a+b=2近,ab=2,则B.41.A.2.3.A.(2014?威海) X2- 1 B .(2014?孝感)(2014?遵 义)6结果中不含因式C. X2- 2x+1a2 - b2- 2b的值为a2+b2的值为（C. 3/2X-1的是()D . x2+2x+14.A.（2014?襄阳）下列计算正确的是（a2+a2=2a4 B. 4x- 9x+6x=1 C.)(-2x2y) 3=

13、- 8x6y3D. a6%3=a2(a+2)的小正方形（a> 2）,）A . a +42B. 2a +4aC.23a - 4a- 44a2-a- 25. （2014?枣庄）如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为 将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（6.先化简，再求值：x y x y 4x3y8xy3 2xy,2.下列计算正确的是（八 3 .47 c34-A.a + a =a B. a a =a7 c/ 3、 4 7 f1C. (a ) =a D. a.3213.当x=3, y=1时，代数式(X+ y) (x y)+ y的值是14.分解因式：x2 + 2x 3=

14、.(x+ 3) (X 1)13.分解因式：x2 9 =218.(1)计算：(X 1)2(1 x)6下列各选项的运算结果正确的是A . (2x2)3C. x6 x213分解因式：8x63 xx2 2x2 25a b 2a b2a(a b)23b25下列运算正确的是A 236A. a a =ar» /2 36B. (a) =a小 623C. a * a =aD. 2 3= 617.分解因式：a2 6a+9=222. (1)计算：(a b)(a b) 2b .5.A.7.下列各式计算正确的是(3x-2x=1化简 5 (2x-3)2x-3A.16.分解因式：a2-1 = _5.下列各式计算正

15、确的是八 Z 2、24a2aA. (a )C. 3a211.已知X2A. 54C. -1016.计算：3(2x2xD )B. a2+a2=a4+4 (3-2x)结果为(B. 2x+9(a+1) (a-1)C. a5十 a5=a)C. 8x-3D a3?a2=a5D. 18X-32a2B.D.a a42a ga2a8a则3x2 6x 18的值为B.D.6-181)6x17.分解因式：a23下列运算中，结果是a5的是A. a3a2B. a10 a2C.I 23(a )D. ( a)517.分解因式:X22x22. (1)化简:(a3)(a3)a(4 a).【例1】2n3，则a6n.计算2y【例2】

16、mP4【例3】计算C 3 n2y2y【例4】下列运算正确的是8x94x3 2x3B4a2b3 4a2b30a2mama2【例5】利用平方差公式计算:2 1 2 、2ab2e ( -ab2)22009X2007- 200824c【例6】已知a, b, e是ABC的三边，且a2 b2 e2abbeca，贝U ABC 的形状是A.直角三角形 B等腰三角形 C等边三角形D等腰直角三角形【例7】分解因式：2ax 10ay 5by bx【例8】分解因式：a22ab b2 c2【例9】已知0v a < 5,且a为整数，若2x2 3x a能用十字相乘法分解因式,求符合条件的a.【例10】分解因式:5x 6【例11】分解因式:【例12】分解因式1、（2012,陕西）2x2y 8xy + 8yx2 4xy 1 4y2计算（5a3）2的结果是（A.10a5B. 10a6C.25a5D. 25a62、（201