解含绝对值的方程

1、.“解含绝对值的方程”例题解析绝对值概念在初中代数，乃至初等数学中，均占有相当重要的地位。解含绝对值的方程在初中数学竞赛中经常出现， 同学们往往感到困惑， 难于解答。下面举例说明解这类方程的几种常用方法。一. 运用基本公式：若，则解方程例 1. 解方程解：去掉第一重绝对值符号，得移项，得或所以所以原方程的解为：例 2. 解方程解：因为所以即或解方程（ 1），得.解方程（ 2），得又因为，所以所以原方程的解为二. 运用绝对值的代数意义解方程例 3. 方程的解的个数是（）A.1B.2C.3D.4或4以上解：方程可化为所以所以方程的解有无数个，故选（D）。三. 运用绝对值的非负性解方程例 4. 方程

2、的图像是（）A. 三条直线：B. 两条直线：C. 一点和一条直线：（ 0，0），D. 两个点：（ 0，1），（ -1，0）解：因为而.所以所以原方程的图象为两个点（0， 1），（ -1， 0）故选（ D）。四 . 运用绝对值的几何意义解方程例 5. 解方程解：设，由绝对值的几何意义知所以又因为所以从数轴上看，点落在点与点的内部（包括点与点在内），即原方程的解为。五. 运用方程的图象研究方程的解例 6. 若关于 x 的方程有三个整数解，则a 的值是（）A.0B.1C.2D.3.解：作的图象，如图 1 所示，由于方程解的个数就是直线与的图象的交点个数，把直线平行于 x 轴上、下移动，通过观察得仅当

3、时方程有三个整数解。故选（B）。图 1同时，我们还可以得到以下几个结论：（1）当时，方程没有解；（2）当或时，方程有两个解；（3）当时，方程有 4 个解。中考数学试题分类解析汇编专题 1：实数一、选择题1.（2012 广东省 3 分）5 的绝对值是【】A5B5CD【答案】 A。【考点】 绝对值。【分析】 根据负数的绝对值等于它的相反数，得| 5|=5 。故选 A。2. （2012 广东省 3 分）地球半径约为 6400000 米，用科学记数法表示为【】.A0.64 ×107B6.4 ×106C64 ×105D 640 ×104【答案】 B。【考点】 科学

4、记数法。【分析】 根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中 1 |a| 10， n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及 n 的值。在确定 n 的值时，看该数是大于或等于1 还是小于 1。当该数大于或等于1 时， n 为它的整数位数减 1；当该数小于 1 时， n 为它第一个有效数字前 0 的个数（含小数点前的 1 个 0）。 6400000 一共 7 位，从而 6400000=6.4×106 。故选 B。3.（ 2012 广东佛山 3 分）的绝对值是【】A2BCD【答案】 C。【考点】 绝对值。【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值

5、的定义，在数轴上，点到原点的距离是，所以的绝对值是。故选 C。4.（ 2012 广东佛山 3 分）与 2÷3÷4 运算结果相同的是【】A 4÷ 2÷ 3B 2÷（3×4）C2÷（4÷2）D3÷ 2÷ 4【答案】 B。【考点】 有理数的乘除运算。【分析】 根据连除的性质可得： 2÷ 3÷ 4=2÷（ 3×4）。故选 B。5.（2012 广东广州 3 分）实数 3 的倒数是【】ABC 3D 3【答案】 B。【考点】 倒数。.【分析】根据两个数乘积是1 的数互为

6、倒数的定义，因此求一个数的倒数即用 1 除以这个数所以3 的倒数为 1÷3=。故选 B。6.（2012 广东广州 3 分）已知，则 a+b=【】A8B 6C6D8【答案】 B。【考点】 非负数的性质，绝对值，算术平方，求代数式的值。【分析】 ， a 1=0，7+b=0，解得 a=1，b=7。a+b=1+（ 7）=6。故选 B。7.（2012 广东梅州 3 分）=【】A2B2C1D 1【答案】 D。【考点】 零指数幂。【分析】 根据任何非 0 数的 0 次幂等于 1 解答即可：。故选 D。8.（2012 广东汕头 4 分）5 的绝对值是【】A5B5CD【答案】 A。【考点】 绝对值。【

7、分析】 根据负数的绝对值等于它的相反数，得| 5|=5 。故选 A。9. （2012 广东汕头 4 分）地球半径约为 6400000 米，用科学记数法表示为【】A 0.64 × 107B 6.4 ×106C 64 ×105 D 640 ×104【答案】 B。【考点】 科学记数法。.【分析】 根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中 1 |a| 10， n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及 n 的值。在确定 n 的值时，看该数是大于或等于1 还是小于 1。当该数大于或等于1 时， n 为它的整数位数减 1；当该数小于

8、1 时， n 为它第一个有效数字前 0 的个数（含小数点前的 1 个 0）。 6400000 一共 7 位，从而 6400000=6.4×106 。故选 B。10.（2012 广东深圳 3 分） 3 的倒数是【】A3B 3C.D。【答案】 D。【考点】 倒数。【分析】根据两个数乘积是1 的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即用 1 除以这个数所以3 的倒数为 1÷（ 3）=。故选 D。11.（2012 广东深圳 3 分）第八届中国（深圳）文博会以总成交额143 300 000 000元再创新高将数143 300 000 000用科学记数法表示为【】A，B。C。D。【答案】

9、 B。【考点】 科学记数法。【分析】 根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中 1 |a| 10， n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及 n 的值。在确定 n 的值时，看该数是大于或等于1 还是小于 1。当该数大于或等于1 时， n 为它的整数位数减 1；当该数小于 1 时， n 为它第一个有效数字前 0 的个数（含小数点前的 1 个 0）。 143 300 000 000 一共 12 位，从而 143 300 000 000=1.433×1011。故选 B。12. （ 2012 广东湛江 4 分） 2 的倒数是【】A2B 2CD【答案】 C。.

10、【考点】 倒数。【分析】根据两个数乘积是1 的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即用1除以这个数所以2 的倒数为 1÷ 2=。故选 C。13. （2012 广东湛江 4 分）国家发改委已于 2012 年 5 月 24 日核准广东湛江钢铁基地项目，项目由宝钢湛江钢铁有限公司投资建设，预计投产后年产10200000 吨钢铁，数据 10200000 用科学记数法表示为【】A 102×105B10.2 ×106C1.02 ×106D 1.02 × 107【答案】 D。【考点】 科学记数法。【分析】根据科学记数法的定义， 科学记数法的表示形式为a

11、15;10n，其中 1 |a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值。在确定 n 的值时，看该数是大于或等于 1 还是小于 1。当该数大于或等于 1 时， n 为它的整数位数减 1；当该数小于 1 时， n 为它第一个有效数字前 0 的个数（含小数点前的 1个 0）。 10200000 一共 8 位，从而 10200000=1.02×107 。故选 D。14.（2012 广东肇 庆 3 分）计算的结果是【】A1BC 5D【答案】 B。【考点】 有理数的加法。【分析】根据有理数的加法运算法则计算即可得解： 3+2=（ 3 2）=1。故选 B。15.（2012

12、广东肇 庆 3 分）用科学记数法表示5700000，正确的是【】ABCD【答案】 A。【考点】 科学记数法。.【分析】 根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中 1 |a| 10， n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及 n 的值。在确定 n 的值时，看该数是大于或等于1 还是小于 1。当该数大于或等于1 时， n 为它的整数位数减 1；当该数小于 1 时， n 为它第一个有效数字前 0 的个数（含小数点前的 1 个 0）。 5700000 一共 7 位，从而 5700000=5.7×106 。故选 A。16. （ 2012 广东珠海 3 分） 2

13、 的倒数是【】A2B 2CD【答案】 C。【考点】 倒数。【分析】根据两个数乘积是1 的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即用 1 除以这个数所以 2 的倒数为 1÷2= 。故选 C。二、填空题1. （ 2012 广东省 4 分）若 x，y 为实数，且满足，则的值是【答案】 1。【考点】 非负数的性质，算术平方根，绝对值。【分析】 根据算术平方根和绝对值非负数的性质，要使，必须有且，即 x=3， y=3。2. （ 2012 广东梅州 3 分）使式子有意义的最小整数m是【答案】 2。【考点】 二次根式有意义的条件。【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0 的条件，要使

14、在实数范围内有意义，必须。所以最小整数m是 2。3. （2012 广东梅州 3 分）梅州水资源丰富，水力资源的理论发电量为775000千瓦，这个数据用科学记数法可表示为千瓦.【答案】 7.75 ×105。【考点】 科学记数法。【分析】 根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中 1 |a| 10， n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及 n 的值。在确定 n 的值时，看该数是大于或等于1 还是小于 1。当该数大于或等于1 时， n 为它的整数位数减 1；当该数小于 1 时， n 为它第一个有效数字前 0 的个数（含小数点前的 1 个 0）。 7750

15、00 一共 6 位，从而 775000=7.75×105。4.（2012 广东湛江 4 分）若二次根式有意义，则 x 的取值范围是【答案】。【考点】 二次根式有意义的条件。【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须。5.（ 2012 广东肇 庆 3 分）计算的结果是【答案】 2。【考点】 二次根式的乘法。【分析】 根据二次根式乘法进行计算：。.8.（ 2012 广东珠海 4 分）使有意义的 x 的取值范围是【答案】。【考点】 二次根式有意义的条件。【分析】 根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须。三、解答题1.（2012

16、 广东省 6 分）计算：【答案】 解：原式 =。【考点】 实数的运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂。【分析】针对特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂3 个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。2.（2012 广东省 7 分）观察下列等式：.第 1 个等式：；第 2 个等式：；第 3 个等式：；第 4 个等式：；请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5 个等式： a5=；（2）用含有 n 的代数式表示第n 个等式： an =（ n 为正整数）；（3）求 a1+a2+a3+a4+a100 的值【答案】解：（1）。（2）。（3）a1+a2+a3+a4+a100。【

17、考点】 分类归纳（数字的变化类）。【分析】 （1）（2）观察知，找等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为：序号的2 倍减1 和序号的 2 倍加 1。（3）运用变化规律计算。3.（2012 广东梅州 7 分）计算：【答案】 解：原式 =。【考点】 实数的运算，绝对值，算术平方根，特殊角的三角函数值，负整数指数幂。【分析】 针对绝对值，算术平方根，特殊角的三角函数值，负整数指数幂4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。.4.（2012 广东汕头 7 分）计算：【答案】 解：原式 =。【考点】 实数的运算，特殊角的三角函数值，

18、零指数幂，负整数指数幂。【分析】针对特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂3 个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。8.（ 2012 广东珠海 6 分）计算：【答案】 解：原式 =21 1 2=0。【考点】 实数的运算，算术平方根，绝对值，零指数幂，负整数指数幂。【分析】 针对算术平方根，绝对值，零指数幂，负整数指数幂4 个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。.专题 2：代数式和因式分解一、选择题1.（ 2012 广东佛山 3 分）等于【】ABCD【答案】 A。【考点】 同底数幂的乘法。【分析】 根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，

19、即：。故选 A。2.（ 2012 广东广州 3 分）下面的计算正确的是【】A6a5a=1Ba+2a2=3a3C（ ab）=a+bD2（a+b）=2a+b【答案】 C。【考点】 去括号与添括号，合并同类项。【分析】 根据合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变； 去括号法则： 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数， 去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反，进行计算，即可选出答案：A、 6a5a=a，故此选项错误； B、a 与 2a2 不是同类项，不能合并，故此选项错误；C、（ ab）=a+b，故此选项正确

20、； D、2（a+b）=2a+2b，故此选项错误。故选 C。3.（ 2012 广东汕头 4 分）下列运算正确的是【】Aa+a=a2B（ a3）2 =a5C3a?a2=a3D【答案】 D。【考点】 合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法。.【分析】根据合并同类项， 幂的乘方与积的乘方， 同底数幂的乘法运算法则逐一计算作出判断：A、a+a=2a，故此选项错误； B、（ a3）2=a6，故此选项错误；C、3a?a2=3a3，故此选项错误； D、，故此选项正确。故选 D。4.（ 2012 广东深圳 3 分）下列运算正确的是【】A，B。C。D。【答案】 B。【考点】 合并同类项，同底幂乘法和除法，

21、幂的乘方和积的乘方。【分析】根据合并同类项， 同底幂乘法和除法， 幂的乘方和积的乘方运算法则逐一计算作出判断：A.和不是同类项，不可以合并，选项错误；B.，选项正确； C.，选项错误；D.，选项错误。故选 B。5.（ 2012 广东湛江 4 分）下列运算中，正确的是【】A3a2a2=2B （a2 ）3=a5Ca3?a6=a9D（2a2）2=2a4【答案】 C。【考点】 合并同类项，同底幂乘法，幂的乘方和积的乘方。【分析】根据合并同类项， 同底幂乘法，幂的乘方和积的乘方运算法则逐一计算作出判断：A、 3a2a2=2a2，故本选项错误； B、（ a2 ）3=a6 ，故本选项错误；C、 a3?a6=

22、a9，故本选项正确； D、（ 2a2） 2=4a4，故本选项错误。故选 C。6. （2012 广东肇 庆 3 分）要使式子有意义，则的取值范围是【】ABCD【答案】 A。【考点】 二次根式有意义的条件。.【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在有意义，必须。故选 A。7.（ 2012 广东珠海 3 分）计算 2a2+a2 的结果为【】A 3aB aC 3a2D a2【答案】 D。【考点】 合并同类项。【分析】根据合并同类项法则 （把同类项的系数相加作为结果的系数， 字母和字母的指数不变）相加即可得出答案： 2a2+a2=a2。故选 D。二、填空题1.（ 2012 广东省 4 分）

23、分解因式： 2x2 10x=【答案】 2x（x5）。【考点】 提公因式法因式分解。【分析】 要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式， 则把它提取出来， 之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式。因此，直接提取公因式2x 即可： 2x2 10x=2x（ x 5）。2.（ 2012 广东广州 3 分）分解因式： a3 8a=【答案】 a（ a+2）（ a2）。【考点】 提公因式法和公式法因式分解。【分析】 先提取公因式 a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解：32a 8a=a（ a 8）=a（ a+2）（ a2）。3. （ 2012 广

24、东梅州 3 分）若代数式 4x6y 与 x2ny 是同类项，则常数 n 的值为 【答案】 3。【考点】 同类项。【分析】 根据同类项的定义列式求解即可：代数式 4x6y 与 x2ny 是同类项， 2n=6，解得： n=3。4.（ 2012 广东汕头 4 分）分解因式： 2x210x=.2x 即可： 2x210x=2x（ x.【答案】 2x（x5）。【考点】 提公因式法因式分解。【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式， 若有公因式，则把它提取出来， 之后再观察是否是完全平方式或平方差式， 若是就考虑用公式法继续分解因式。因此，直接提取公因式5）。5. （2012 广东汕

25、头 4 分）若 x，y 为实数，且满足，则的值是【答案】 1。【考点】 非负数的性质，算术平方根，绝对值。【分析】 根据算术平方根和绝对值非负数的性质，要使，必须有且，即 x=3，y=3。2. （ 2012 广东佛山 6 分）化简：【答案】 解：原式 =。.【考点】 分式的加减法。【分析】 应用分配率较简便，也可先通分，再计算。3.（ 2012 广东广州 10 分）已知（ a b），求的值【答案】 解：，。【考点】 分式的化简求值。【分析】 由得出，对通分（最简公分母为），分子因式分解，约分，化简得出，代入求出即可。4. （ 2012 广东汕头 7 分）先化简，再求值：（ x+3）（ x3）x

26、（x2），其中 x=4【答案】 解：原式 =x2 9 x2 +2x=2x9。当 x=4 时，原式 =2×49= 1。【考点】 整式的混合运算（化简求值）。【分析】 先把整式进行化简，再把 x=4 代入进行计算即可。5. （ 2012 广东汕头 9 分）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；.请解答下列问题：（ 1）按以上规律列出第5 个等式： a5=；（ 2）用含有 n 的代数式表示第 n 个等式： an=（n 为正整数）；（ 3）求 a1+a2+a3 +a4+ +a100 的值【答案】 解：（ 1）。（2）。（3）a1+a2 +a3+a4 +a100

27、。【考点】 分类归纳（数字的变化类）。【分析】 （1）（ 2）观察知，找等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为：序号的2倍减 1和序号的 2 倍加 1。（3）运用变化规律计算。6. （ 2012 广东深圳 6 分）已知 = 3， =2，求代数式的值【答案】 解：原式 =。当= 3，=2时，原式 =。.9. （2012 广东珠海 6 分）先化简，再求值：，其中【答案】 解：原式 =。当时，原式 =。【考点】 分式的化简求值，二次根式化简。【分析】先将括号内的分式通分，进行加减后再算除法，计算时，要将除法转化为乘法。最后代入，化简求值。10. （2012 广东珠海 9 分）观察下列等式：12×231=132×21，13×341=143×31，23×352=253×32，34×473=374×43，.62×286=682×26，以上每个等式中两边数字是分别对称的， 且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”（