51提高_空间向量的直角坐标运算(理)126最新修正版

1、最新修正版空间向量的直角坐标运算编稿：赵雷 审稿：李霞【学习目标】1. 理解空间向量的基本定理，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2. 掌握空间向量的坐标运算、夹角公式、距离公式。3. 能通过坐标运算判断向量的共线与垂直.【要点梳理】 要点一、空间向量的基本定理1.空间向量的基本定理：p，存在唯一的有序实数组x、y、z，使p=xa+yb+zc .如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是 a、b、c生成的，所以我们把a、b、c称为空间 b、c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.2 .基底、基向量概念： 由空间向量的基本定理

2、知，若三个向量a、b、ca、p|p=xa+yb+zc , x、y、z R，这个集合可看做是由向量 的一个基底.要点诠释：(1)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；(2) 由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面, 就隐含着它们都不是 0;(3) 一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念.要点二、空间向量的坐标表示(1) 单位正交基底若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，常用ibk表示;(2 )空间直角坐标系在空间选定一点 O和一个单位正交基底i, j,k，以点O为

3、原点，分别以i, j,k的方向为正方向建立0 - xyz，点0叫原三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴我们称建立了一个空间直角坐标系4 4 4点，向量i, j, k都叫坐标向量。通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面;(3)空间直角坐标系中的坐标 给定一个空间直角坐标系和向量a,其坐标向量为i, j, k，若a=a1i+a2j+a3k，则有序数组(a1, a2,a3)叫做向量a在此直角坐标系中的坐标，上式可简记作 a= (a1, a2, a3).在空间直角坐标系 Oxyz中，对于空间任一点 A,对应一个向量 0A，若OA=xi +yj +zk，则有序

4、数组(X, y, Z)叫点A在此空间直角坐标系中的坐标，记为A (X, y, z),其中x叫做点A的横坐标，y叫写点的坐标时，三个坐标之间的顺序不可颠倒.点A的纵坐标，Z叫点A的竖坐标.要点诠释：(1) 空间任一点P的坐标的确定. 过P作面xOy的垂线，垂足为垂线，垂足分别为 A、C,则x=|P /p/,C|,(2) 空间相等向量的坐标是唯一的；另外,在面xOy中，过P/分别作X轴、y轴的 y=|AP / |, z=|PP / | .如图.零向量记作0= (0,0,0)。要点三、空间向量的坐标运算(1)空间两点的距离公式若 A(Xi,yi,Zi) , B(X2,y2,Z2)，则 AB=oB 0

5、A = (X2,y2,Z2) (Xi,yi,Zi) =(X2 -Xi,y2 yi,Z2 Zi)即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。|AB|=7a?=/x2-Xi)2 + (y2-yi)2 +(z2-zi)2 ,或 dA,BAB的坐标表示，然后=J(X2 Xi)2 +(y2 yi)2 +(Z2 Zi)2 要点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量 再用模长公式推出。(2)向量加减法、数乘的坐标运算若 a=(Xi,yi,Zi), b=(X2,y2,Z2)，则 a+b=(xi+x2, yi+y2,Zi +z2); ab =(

6、xi X2,yi -y2,乙Z2); ka =(AXi,Ayi,AZi)(A壬 R)；(3 )向量数量积的坐标运算右 a =(Xi, yi,zi), b = (x,y2,Z2)，则a b =XiX2 +yiy2 +ziZ2;即:空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 (4 )空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式卄呻片若 a=(ai,a2,a3), b=(b,b2,b3)，贝U|a= Jaj +&22+&32 , |b|= cos<a>=l|3| |b| "肩2 +a22+ a32右,打)Jd +b2+b3要点诠释:(1)夹角公式可以根据数量积

7、的定义推出:a b =| a |b| cos c a b >= cos c aIa ba 卜，其中0的范围是0,兀|a| |b|<AC,BDAC,DB >=兀 一9=< CA, BD >=兀一日=<CA, DB >=日.(5)空间向量平行和垂直的条件卄呻"+右 a =(X1,y1Z), b =(X2,y2,Z2)，则用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与0的关系(相等，互余，互补)。 a/b=a =Ab = X1 =AX2,y1=Ay2,Z1=az?(a 匸 R) uxX2yy2=(X2 y2Z20)Z2片4 ab=0u X1X2

8、+y1y2+z1Z2 =0I规定：0与任意空间向量平行或垂直作用：证明线线平行、线线垂直【典型例题】类型一、空间向量的坐标表示例1.如下图，已知在正四棱锥 P-ABCD中，O为底面中心，底面边长和高都是 PA、PB的中点，分别按照下列要求建立空间直角坐标系，写出点 分别以射线 DA、(1 )如下图甲，以 立空间直角坐标系；(2)如下图乙，以立空间直角坐标系.O为坐标原点,O为坐标原点,分别以射线 0A、DC、0B、【思路点拨】要求空间某一点即可.【解析】(1)因为点B在坐标平面所以向量OB的坐标为(1,A、B、C、D、OP的指向为X轴、0P的指向为x轴、P、E、y轴、2, E、F分别是侧棱 F

9、的坐标.z轴的正方向，建y轴、z轴的正方向，建的坐标，只要求出以原点 O为起点、M为终点的向量 OM的坐标xOy内，且底面正方形的中心为O、边长为2，所以OB二i + j1 , 0),即点B的坐标为B (1 , 1 , 0)同理可得 A (1,- 1, 0), C (- 1, 1, 0), D (- 1, 1, 0)又点P在z轴上，所以0P =2k ,所以向量OP的坐标为(0, 0, 2),即点P的坐标为P( 0, 0, 2).因为F为侧棱PB的中点，所以 O = 1（OB + OP） =（i + j + 2k）=丄i +丄 j + k ,2 2 2 2所以点F的坐标为F.12 2丿同理点E的

10、坐标为E2）, e£,-*1 ,12 2丿故所求各点的坐标分别为A （1 , - 1 , 0）, B （ 1,1 , 0）, C （- 1 , 1 , 0）, D （- 1 , - 1 , 0）, P （0, 0,<11 ）F l2,2,1 丿；(2)因为底面正方形 ABCD的中心为0、边长为2，所以OA = J2。 由于点A在x轴的正半轴上，所以 0A，即点A的坐标为A(J2,O,O).同理可得 b（o,72,o）, c（-72,o,o）, d（o,-72,o）, p（0, 0, 2）.因为E为侧棱PA的中点.所以 0EJ（0A+0P）（72i+2k）出 i+k,222所以点

11、E的坐标为E座,0,1.I2 丿同理点F的坐标为fL,1.V 2丿故所求各点的坐标分别为A（运0,0）, b（o,72,o）, c（-72,o,o）, d（o,-72,o）,p（0 , 0,2）, e 锂.2°/ Fi0,y【总结升华】解决这类给定直角坐标系，求相关点的空间坐标时，关键是确定这些点在坐标轴的三个不同方向上的分解向量的模同一几何图形中，由于空间直角坐标系建立的不同，从而各点的坐标在不 同的坐标系中也不一定相同，但其实质是一样的建立空间直角坐标系的关键是根据几何图形的特征，尽 量先找到三条互相垂直且交于一点的线段，如若找不到，就要想办法构造.举一反三：【变式1】已知ABC

12、DA1B1C1D1是棱长为2的正方体，E、F分别为BB1和DC的中点，建立如图所 示的空间直角坐标系，试写出图中E、F点的坐标。D (0 , 0, 0)且F为DC的中点,- F ( 0 , 1, 0 )。又 B (2 , 2 , 0) , B1 (2 , 2 , 2),且 E 为 BB1 的中点， E ( 2 , 2 , 1)。【变式2】如图所示,已知 PA丄平面ABCD , M、N分别是AB、PC的中点，并且 PA=AD,T 四边形ABCD为正方形.以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，求MN、DC的坐标表示.【答案】MN/,0,H DC = (0,1,0).V22丿类型二：空间向量的直角

13、坐标运算【高清课堂：空间向量的坐标运算 399111例题1】例 2、已知 a =(2，1, 2), b =( 0，1,4)，求 a + b，a b，3a +2 b，【思路点拨】空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似，向量的数量积 等于它们对应坐标乘积的和。【解析】a = ( 2, 1, 2) , b = ( 0 , 1, 4), a + b = (2, 1 , 2) + (0, 1 , 4)=(2+0, 1+(1), 2+4)=(2, 2 , 2 )。a b = (2, 1 , 2) (0, 1 , 4)=(20 , 1 (1), 24=(2 , 0 , 6)。3 a

14、+2 b =3 (2 , 1 , 2) +2 ( 0, 1 , 4)=(3 X2, 3 X(l), 3 X(2) + (2 X0, 2 X(l), 2 X4)=(6, 3 , 6) + ( 0 , 2 , 8)=(6, 5 , 2 )。a b = (2, 1 , 2) (0 , 1 , 4)=2 X 0+(1) x(l) + (2) X 4=0+1 8= 7【总结升华】空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似，向量的数量积 等于它们对应坐标乘积的和。III叫叫斗【变式】已知向量 a=( 3, 5, -1), b= (2 , 2 , ¥，c= (4，-1, -3

15、)，贝y下列向量的坐标是: 2a=， a +b - c =: 2a -3b+4c =: ma + nb =_举一反三：【答案】(6,10,-2):(1,8,5):(16,0,-23):(3m+2n,5m+2n,-m+3n)例3.(1)(2)(3)已知向量 a =(4，- 2，4), b =(6，3, 2)，求: a b;| a |, | b |;【答案】(1)(2 a +3 b) ( a 2 b )a b =4X 6+( 2) X ( 3)+( 4) X 2=22|a | =肩=(42+(2)2+a)2 =6 ；| b|= Tb2 = Je2 +(3)2 +22 =7 ；(2a + 3bHa-

16、2b) =2a2 +3a b-4a b-6b2 = 2x62 -22 -6x72 = -244。【总结升华】空间向量求模的运算要注意公式的准确应用 举一反三：【变式1】已知a =（1,2,2）,b =(1,0,1)求 |a|,|b|;亠，求 <a,b>.6【答案】(1)|2|=山2 +22 + 22 =3,4 -4a b =巒2+nz2I4耳 0 烏,| b 卜 712 +012 =迈= 1x1 +20 + 2咒1 =3j b 二 3|a|b| 3、丘4 4 兀二a,b= -4【变式2】（2015春武汉月考）已知444a=(3,-2,-3),b=(-1,x-1,1)，且a 与 b的

17、夹角为钝角，贝 Ux的取值范围是（A. (- 2,+8)B.55(-時七严)C (-8,-2)D.（5严）【答案】【解析】4片COS V a,b >=二-習-1）-3 “，解得722，J2 +（x-i）2X A 2，故选 A.4)。设 a=7B , L7C例 4 .已知空间三点 A ( 2, 0, 2), B ( 1 , 1, 2), C ( 3 , 0 ,（I）求 <a,b>(n)若向量【思路点拨】4 444ka +b与ka -2b互相垂直，求k的值。4 44 4呻 呻 呻 4 一(I)利用数量积定义求cosa, b，再求a, b；(n )先求出ka + b与ka - 2b

18、坐标表示，利用数量积为 0求k【解析】(I) a=A3=OOA =(11,0), b=A5=OOA = (-1,0,2) a b ； b二 cos va,b X 彳耳|a|b|(1,1,0) (-1,0,2)山2 +* +02 7(-1)2 +02 +221 (-1)+1.0+0.2 _.爲 b + arccos(-迈)i-arccos逅10 1044ka -2b =(k+2,k,-4),-I-2b) = 04 4(n) ka +b =(k 1,k,2),(ka +b)丄(ka -2b)= (ka +b) (ka =(k -1)(k +2) +k "kt 2(4) =0 k= -5或

19、k =22【总结升华】(I)利用数量积定义求4 4cos4呻(n)先求出ka + b与ka - 2b坐标表示，利用数量积为举一反三：【高清课堂:【变式1】4设 n =(X, y,z)，由空间向量的坐标运算 399111例题3】已知 a = (2,2,0) , b = (2,0, 2)，求一个向量r-444 片 C 丄 C C屠jnr0，.厂"2厂0nib n b=0-2x + 2z = 04，令 X = 1得 n = (1,1,1).(3)若ka +b取得最小值，求实数k的值。44【变式 2】已知 a=(1,5,1), b=(2,3,5)k的值;(1 )若(ka +b )/(a -3

20、b )，求实数呻444k的值;(2)若(ka +b )丄(a 3b )，求实数【答案】k：+S=(k-2,5k+3,-k+5) , a-3b=(7,-4,-16)（1）；（ka+b）（a3b）,.订+角朋），即(k -2,5k +3,-k +5) = (7a,4a,-16a)”k -2=7a 1由5k +3 =如，解得k =-；3k +5 = 16a * (ka+b )丄(a3b )，”.(ka+b 比a-3b ) = 0/. (k -2,5k +3, -k +5)L(7, Y -16) =0 ,即 3k-106=0，解得 k 二1063a +b = J(k -2)2 +(5k +3)2 +(

21、-k +5)2 = J27k2 +16k +384+b取得最小值。(3) ka +b当k =亘27【变式3】4时，ka在棱长为1的正方体ABCD -AB1C1D1 中，E,F 分别是 DD1,DB 中点，G在棱 CD 上, CG =CD，4H是CiG的中点,（1）求证：EF 丄 B,C ；（2）求EF与GG所成的角的余弦;（3）求FH的长.【答案】如图以D为原点建立直角坐标系 D -xyz，1 1 1则 BE1), eg)，EG%)，f(2,2,0)，7 1H(0,”)，8 2T 1 1 11 1 1(1) EF =(, -，一一), BQ = (T,0, -1)，二 EF pC = (-，一

22、，一一)(1,0, T) = 0 ,二 EF 丄 BQ .2 2 22 2 2T 1(2) T GG =(0, ,1),4T T 1 1113 EF 飞,1,-1"；,-1“3， iEFi=J(2)2+(2)2+G)2=t2+T2+(t)231 T 8- cos(EF,C1G)= l8l"24=理, EF与GG所成的角的余弦遁1717类型三、空间向量的共线与共面例 5 .若空间三点 A (1 , 5, 2), B (2 , 4 , 1 ) , C ( p ,"fH 冷冷占), |話|十2)2十(8)2玛)2，_q=3 , q+2 )共线,贝 U p=【解析】A、B

23、、C三点共线，则有 AB与aC共线，即AB=AAC o又 AB =(1,-1,3),AC =( p1,2,q+4),L( P-1)二 4 -1 = -2a3 = A(q+4)、1A =2p = 3 oq =2【总结升华】 在空间直角坐标系下，两向量的共线，可利用向量的共线定理，通过列方程组求解 举一反三：【变式1】已知0A =(2,4,1), OB =(3,7,5),OC=( 4,10,9),求证：A、B、C三点共线.【答案】法一： AB=(1,3,4),AC =(2,6,8),1 IT r则 AB = AC , AB | AC ,又 AB、AC 有公共点 A2 A、B、C三点共线.T T T

24、法二：OA =xOB +yOC (x,y R),贝9：(2,4,1)=(3x,7x,5x)+(4y,10y,9y)=(3x+4y,7x+10y, 5x+9y)：3x+ 4y =2”l2x + 5y=-1 7x+10y=4=«=2x +y=3 5x+9y=1、T T T OA=2OB OC 且 x+y=1,4y = -4Zx-1=3Ix = 2y =-1A、B、【变式2】(2015春C三点共线.拉萨校级月考)已知点A (4, 1, 3),B (2, 5, 1), C为线段AB上一点，且3| AC鬥AB I,则点C的坐标是( )B. Q,2) C.D. (-57,?)2 2 271 5A.(-匚,；)2 2 2【答案】C【解析】 C为线段AB上一点，且3| AChABi, AC JAB,3 OC=OA+1AB3= (4,1,3) +3(_2,-6,-2),