专题九解析几何第二十七讲抛物线答案

1、专题九解析几何第二十七讲抛物线答案部分1. C【解析】由题意可知，如图AMFx = 60°,又抛物线的立义得= 所以MNFFH为等边三角形，在三角形NFH中，FH = 2, = cos60得NF = 4,所以M到 NFNF的距离为等边三角形4WVF中NF边上的髙，易知为 NF = 2y/3.选C.22. D【解析】易知抛物线的焦点为F（l,0），设P（xp,yp）,由PF丄兀轴得xP = .代入抛物线方程得» = 2 （-2舍去），把P（l,2）代入曲线y =-伙0）的k = 2,故选D x3. B【解析】因为抛物线的准线方程为大=一£ = 一1, “ = 2,

2、焦点坐标为（1,0）.24. D【解析】当直线/的斜率不存在时，这样的直线/恰好有2条，即x = 5±r,所以0r5；所以当直线/的斜率存在时，这样的直线/有2条即可设A（西,儿），x + 禺=2x. 卜+儿=2儿两式相减得（X +”）（” 一”）= 4（斗x） k、b = = =召一疋儿+儿儿设圆心为C（5,0）,则紇加因为直线/与圆相切,不一5所以Z._A= = _,解得无=3,于是蓝=尸一4, r>2,又元<4兀0， )b 无_5即 r-4<12,所以 0 <厂<4,又 0 <r<5,厂>2 所以 2vrv4,选 D.5. C【解

3、析】过点。作00'丄/交/于点0,因为而=4宛，所以IPQI:IPFI=3:4,又焦点尸到准线/的距离为4,所以IQF 1=1 QQ1= 3.故选C.6. D【解析】易知抛物线中p = ,焦点F(-,0),直线AB的斜率k= ,故直线AB的2 43方程为)，=虫(尤一丄)，代入抛物线方程y2=3x,整理得X2- x+ = 0.3 421621设心,必),叫,儿)，则召+尤2=才，由物线的定义可得弦长IABI=X|+£ + " = 12,结合图象可得O到直线43的距离J = £sin30 =-,2 819所以Q4B的面积S = -ABd = 一7. D【解析

4、】/!(2,3)在抛物线/ = 2px的准线上.一彳=一2. p = 4,.设直线AB的方程为x = R(y 3) - 2，将与y2 = 8兀联立，得 y $ _ 8幼 + 24k +16 = 0 ，则 A= (一8 幻？ 一 4( 24* + 16) = 0,即2/_3k_2 = 0,解得£ = 2或£ = _丄(舍去)，4将£ = 2代入解得x = &y = 8,即5(8,8),又F(2,0), 紡尸=,故选D.8. C【解析：OF =迈,由抛物线的泄义可得P点的坐标(3>/2,±2>/6),9. C【解析】依题意可得AF所在直线

5、方程为- + y = 代入/=4>，得= 2又IFMI： IMNI二(1-y)： (1+y) =l：v5 .= 16x的准线/:x = 10. C【解析】设C:x2y2=a2(a>0)交于于 A(-4,2省)(-4,一2的)得：“2 =(冷_(2® =4og = 2o2g = 42 211. D【解析】双曲线C ： 2-厶 = 1(“>0">0)的离心率为2,所以一=2 nb =也(1lra又渐近线方程为bx±© = 0,所以双曲线q的渐近线方程为屆±y = 0.而抛物C,: a-2 = 2pv(p > 0)的焦点

6、坐标为(0上),所以有(2=2=>p = 8.2 7故选D.12. C【解析】设抛物线的方程为y2 = 2/zv ,易知IAB 1=2/? = 12,即p = 6,点P在准线上，:P到AB的距离为/? = 6,所以AABP而积为36,故选C.13. (1,0)【解析】由题意知“>0,对于y2 = 4ax ,当x = l时，y = ±2需，由于/被抛 物线y2 = 4ar截得的线段长为4,所以4需=4所以。=1,所以抛物线的焦点坐标 为(1.0).14. 2迈【解析】y2 = 2px的准线方程为x =-匕,又>0,所以x =-与必经过双曲2 2线/一尸=1的左焦点所以

7、一匕=-近,p = 2迈.215. 1 + V2【解析】由正方形的泄义可知BC=CD,结合抛物线的宦义得点D为抛物线的 焦点，所以AD=p = a. D(£,0)F(£ + /M),将点F的坐标代入抛物线的方程得2 2b2 =2p(U + b) = a2+ 2ab ,变形得(-)2- -1=0,2a a解得- = 1 + V2或2 = 1血(舍去)，所以- = l + >/2aaa16. 2» x = 【解析】=1,/? = 2：准线x = = -1 .2 217. 2联【解析】建立直角坐标系，使拱桥的顶点O的坐标为(0,0),设抛物线的方程为 x2 =-2

8、py，/与抛物线的交点为A、B,根据题意知A (-2, -2), B (2, -2)则有 一 2 = a x ( 2)', ： a =抛物线的解析式为y = -|x2水位下降1米，则y»3,此时有x =亦或x = -y6此时水而宽为2品米.18. 【解析】由题意可得p的值为血，B点坐标为(空,1)所以点B到抛物线准4 4线的距离为丄血.419. 【解析】由题意得F(1,O), /的方程为y =吃一1)伙>0).设 A(xvylB(x2,y2),由 P一 “ 得一(2疋 + 4)x + 疋=o.=4x2k2 +4 = 16Ar +16 > 0,故 %)+ x2 =；

9、K+ 4所以 I AB 1=1 AF + BF 1= (x1+l) + (x2 + l) =kAb2 +4由题设知乂二=8解得k= (舍去)，k = .Ir因此/的方程为y = x-.(2)由得A3的中点坐标为(3,2),所以43的垂直平分线方程为y 2 = (x 3),即=-x + 5设所求圆的圆心坐标为Cv(py0),则儿=一无)+5,（儿_忑+ 1）-2.解得S+ 16.Jo =2托=11,丿0=6因此所求圆的方程为（兀一 3）2+0 2）2= 16或（X 11）2+0 + 6）2 = 144.20.【解析】(1)设P(%,儿),因为PA,的中点在抛物线上，所以”，儿为方程y2 4- x

10、()(=4 即v12-2voy, +&*)-元=0的两个不同的实数根.2 2所以X+'2 =2儿因此，PM垂直于y轴.由可知严幫映1>!1>2=8 - >013/所以PM=-(y + )-x0=-yr -3x(),丨 y厂y21= 2丁2(£一4无).o41Q /T3因此，APAB的而积S*b =牙I PM II牙一 y21=节1 (忧2因为兀 +严=1 代 V °)，所以 >0 一4如=-4a;- -4x0+4e4,习.因此，而积的取值范羽是6>/无匕卫.421. 【解析】(1)设 A(xpy),则 x * a , Vj =,

11、 ” =二，x)+a2=4,44于是直线AB的斜率=坷一七 42(2)由 y =,得/ =-42设M(w)，由题设知今=1，解得“=2,于是M(2,l).设直线A3的方程为y=x +加，故线段的中点为N(2,2 + )，IMNI=I2 + 1I.将y = x + w代入y = 土得X2 一 4入一4加=0当 = 16(/? +1) > 0 即 m > 1 时'X二=2 士 2 >/? + 1 从而 AB=y/2 I 石 一 x2= 472(?/+ 1)由题设知IABI=2IMNI,即4丁2(加 + 1) = 2(加 + 1),解得m = l.所以直线AB的方程为y =

12、 x + 7.22. 【解析】(I )设直线AP的斜率为k,x + -2因为一丄，所以直线AP斜率的取值范围是（一1,1） o2 2（II）联立直线AP与B0的方程上i_y +丄& +丄=0.2493x + kv k =0,42解得点Q的横坐标是一疋+驶+ 32伙 5）因为PA = yj + k2(x + |)= J1 + T 伙 + 1)IP0I=吋伙一严+厅, yJk2+所以1阳1腔1 = 一伙一1）伙+ 1尸令/伙）=-伙-1）伙+ 1几因为广伙）= _（% 2）伙+ 1）2,所以/伙）在区间（-1,-）上单调递增，（丄,1）上单调递减,2 21 27因此当k = 一时，I PA

13、W PQ取得最大值2 16t223. 【解析】（I ）由已知得M（OJ）,2又N为M关于点P的对称点.故N（-J）, ON的方程为y = -x. P/2厂 代入y2=lpx整理得/zr-2rx = 0,解得州=0, =P因此/7(,2r)所以N为OH的中点即凹=2 pI ON I(II)直线MH与C除H以外没有其它公共点.理由如下：直线MH的方程为一心上八即x = -(y-r)2/p代入y2 = 2px得+ 4尸=0,解得y, = y2 = 2t,即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线与C没有英它公共点.24. 【解析】(I )由题设F(丄,0).设h：y = a2：y=b,则加0,且

14、2A(%,d)，B(0),P(；4),0(J 畔).2 2 2 2 2 2记过人B两点的直线为/,贝强的方程为2x-(a+b)y + ab = 0.(I)由于F在线段AB上，故l+" = 0.记A/?的斜率为何，F0的斜率为心，则& =V = = = -b = k- + cr cr -ab a a所以 AR/ FQ.(ID设/与x轴的交点为D(xp0),由题设可得2x-|/;-e/|x1-=孚，所以x,=0 (舍去)，X, =1.=-1/; - «|FD| = -b- a - - * SAPQF =设满足条件的43的中点为E(x, y)2 v当A3与x轴不垂直时，由

15、kAR = kDE可得=一匕工1)当A3与只轴垂直时，E与D重合.所以所求轨迹方程为y2 =x-l.25. 【解析】(I)由题意得抛物线上点A到焦点P的距离等于点A到直线x = -的距离.由抛物线的第一得£ = 1,即p = 2(II)由(【)得抛物线的方程为V2 = 4俎F(1,O),可设川宀2/),心OJ H ±1产=4x因为AF不垂直于y轴，可设直线AF：x = » + l,(sHO),由-消去天得y-_4sy-4 = 0,故 y)y2 =-4,所以B2/又直线的斜率为产，故直线FN的斜率为/+32、设M(加.0),由A, M, N三点共线得：仝尸+ 3r2

16、-l于是?= 工，经检验，用0或m 2满足题意. r2-l综上，点M的横坐标的取值范围是(-s,0)U(2、+8)26. 【解析】(I )由题意可知，直线P4的斜率存在，故可设直线H4的方程为y = k(x-t).y = kx-t)所以1 ? 消去y整理得：x2-4kx + 4kt = 0因为直线尢4与抛物线相切，所以 = 16/-16匕=0,解得k=t.所以x = 2t，即点A(2r,r).设圆C?的圆心为£(0,1),点B的坐标为(勺,儿)，由题意知，点50关于宜线PD对称，./. = _ 妙/曰2/2 厂t. n 2/2 广故有 2 2t 解得心=_儿=即点® 一 )

17、 门1 + r1 +厂1 +厂1+广%(/-儿=°（1【）由（【）知，AP = tyl+P ,直线AP的方程为tx-y-t2=O,F所以点B到直线PA的距离为=Jl + 八1F所以哋的面积为S=-AP-d = -.27. 【解析】解法一：（I ）由抛物线的泄义得AF 1=2 + -2因为IAFI=3,即2 +上=3,解得p = 2,2所以抛物线疋的方程为r=4.（II）因为点A（2,m）在抛物线E：r=4x±,所以m = ±2近,由抛物线的对称性，不妨设A（2,2V2）.由 A（2,22）, F（1,O）可得直线 AF的方程为 y = 21）. y = 2>

18、/2 （x-1）?由' 得2/-5x + 2 = 0,y2 = 4x解得*2恥冷，从而E2竝-0_2>/12-(-i)= -V2-01-(-02V2一丁所以住八+人迢=0 ,从而AAGF = ZBGF ,这表明点F到直线GA.GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线G3柑切. 解法二：（J）同解法一.（II）设以点尸为圆心且与直线G4相切的圆的半径为/因为点A（2jn）在抛物线“ y2=4x±,所以m = ±2近,由抛物线的对称性，不妨设A（2,2V2）. 由 A（2,2V2）, F（1,O）可得直线 AF的方程为y = 2y/2（x-l）.y

19、 = 2>/2 （x-1）,?由/'得2宀5兀+ 2 = 0,y2 =4x解得x = 2或人=丄，从而8（- -2）.2 2又G（l,0）,故宜线GA的方程为2迈X-3y + 2>/2=0,又直线GB的方程为2近x + 3y + 2矩=0 ,所以点F到直线GB的距离 =芈=.a/8 + 9V17这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线G3相切.28. 【解析】（I ）由题意知F（#,0）,设D（/,0）a>0）,则FD的中点为（上,0）因为FA=FD,由抛物线的泄义可知3 + #=/解得f = 3+p或/ = 一3 （舍去）由苛兰=3,解得p = 2.所以抛物线

20、C的方程为y2=4x.（II ） （ i ）由（I ）知 F（1,O），设4（心儿）（兀凡 HO） DW）（天° >0）因为网 =|/7)卜贝iJd-1|=勺+1,由”>0得勺=勺+2,故D(xo + 2,O),故直线AB的斜率忍B =因为直线厶和直线43平行，设直线厶的方程为y = -也x + 4代入抛物线的方程得/+ V- = 0,2儿 儿由题意 = + = 0,得b = - >0 儿儿4设 ExE.yE),则)1=-一儿4% =卫>0当尤工4时，k、E = 'L'()二-4y0>'o -4 '可得直线4E的方程为$-

21、儿整理得)丿=一一(兀一1),直线AE恒过点F(l,0) 兀-4当朮=4时，直线的方程为x = l,过点F(tO),所以直线4E过泄点F(hO)(ii)由(i )知直线AE过立点F(l,0),所以AE = AF+FE = (xq + 1) + (丄+ 1)=心 + 丄+ 2。人)“0设直线AE的方程为x = my + 1,因为点A(x°,儿)在直线AE上故川=卫二设直线A3的方程为),一儿=一卫匕一忑)儿2?R由于儿工0,可得x = 一二y + 2 + 儿，代入抛物线的方程得r + y-8-4xo=O )b>0QQA所以儿+ ”=_一，可求得牙=_儿_，召=+兀+ 4儿X)心所

22、以点B到直线AE的距离为则AABE的而积S=-x 4(氏+2 + X()+4 + 777(儿+兰)_1= 4(/7+当且仅当=Ao即XQ=1时等号成立,所以AABE的面积的最小值为1629. 【解析】（】）在CC?方程中，令y = 0,可得b=l,且得4（一1,0）,3（1,0）是上半椭圆C的左右顶点,设G的半焦距为C,由-=及/一。2=2=,解得“ =2,所以d = 2, b = a 2（ii）由（i）知，上半椭圆G的方程为丁+Q = i（yno）,易知，直线/与X轴不重合也不垂直，设其方程为=&（尤一1）伙工0） 代入G的方程中，整理得：（疋+4）/-2疋欠+疋一4 = 0（*）2

23、k 设点P的坐标（,），由韦达左理得心+勺= 一 k +4k _4_8k又3(1,0),得从而求得>>=-一 k+4L+4k2 -4_祿所以点P的坐标为(7 十+4上+4同理，由F =竺一 D伙H °)得点。的坐标为-k-k2-2k) y = -x+(y<0):.AP = -伙,4), A0 = -k(l,R + 2)kr +4v AP 丄 A0, :.AP 巫= 0.R卩二伙 一4伙+ 2) = 0 Zr+4QkHO, ：k 4伙 + 2） = 0,解得k= 一一3QQ经检验，k=-2符合题意，故直线/的方程为y = -（x-l）30【解析】（I ）依题意d =解得c = l（负根舍去）.抛物线C的方程为x2=4y.(II)设点Axi.yl),B(x29y2), P(x(” y。)，=4八即y = lx2,得亍=4X抛物线C在点人处的切线PA的方程为y - ” = -L（x - “，21步Xr = 4xft =亍-风X点卩（心儿）在切线«上，： y（）=寸心一,同理，儿=亍心-儿X 综合、得，点A（xp yIXB（x2,y2）的坐标都满足方程y0 = x0 - y.2经过心,yj, Bg 力）两点的直线是唯一的，直线48的方程为y0=-x0- y