压电振子的振动模式ppt课件

1、压电振子的振动方式压电振子的振动方式vibration modesvibration modes薄长条纵向伸缩振动薄长条纵向伸缩振动 薄圆片、棒、薄圆环、薄球壳、面切薄圆片、棒、薄圆环、薄球壳、面切变、弯曲振动，厚度振动，变、弯曲振动，厚度振动，能陷振动模，能陷振动模，机电类比和线性机电网络，机电类比和线性机电网络，前几章我们根据晶体的对称性，分析讨论了不前几章我们根据晶体的对称性，分析讨论了不同对称性的压电晶体所具有的独立的介电常数、同对称性的压电晶体所具有的独立的介电常数、弹性常数、压电常数，以及这些量与电学量弹性常数、压电常数，以及这些量与电学量电位移、电场强度等之间的关系，与机械量电位

2、移、电场强度等之间的关系，与机械量应力、应变之间的关系胡克定律，与电学应力、应变之间的关系胡克定律，与电学量和机械量之间的关系压电方程组等等，量和机械量之间的关系压电方程组等等，但是未涉及到如何确定这些常数的数值。但是未涉及到如何确定这些常数的数值。 在实验上通常是经过测定压电元件的谐振频率在实验上通常是经过测定压电元件的谐振频率和反谐振频率的方法来确定这些常数的，这就和反谐振频率的方法来确定这些常数的，这就要求对晶体的这些常数同晶片的谐振频率和反要求对晶体的这些常数同晶片的谐振频率和反谐振频率之间的关系进展实际分析。这种实验谐振频率之间的关系进展实际分析。这种实验的和实际的分析任务，是研讨压

3、电晶体的一个的和实际的分析任务，是研讨压电晶体的一个重要方面。重要方面。 确定资料参数确定资料参数另一方面，压电元件常用于振荡器、滤波器、另一方面，压电元件常用于振荡器、滤波器、换能器、光调幅器以及延迟线等等。这些器件换能器、光调幅器以及延迟线等等。这些器件都是压电效应来激发压电体的机械振动。因此，都是压电效应来激发压电体的机械振动。因此，只需经过对压电元件的振动方式的讨论，才干只需经过对压电元件的振动方式的讨论，才干较深化地了解压电元件的任务原理和任务性质。较深化地了解压电元件的任务原理和任务性质。 元器件的设计元器件的设计 虽然压电晶体包括已极化的压电陶瓷是各向虽然压电晶体包括已极化的压电

4、陶瓷是各向异性体，但是压电元件都是根据任务需求，选择异性体，但是压电元件都是根据任务需求，选择有利的方向切割下来的晶片，这些晶片大多数薄有利的方向切割下来的晶片，这些晶片大多数薄长片、圆片、方片等较简单的外形，它的根本振长片、圆片、方片等较简单的外形，它的根本振动方式如伸缩振动、切变振动等大体上与各动方式如伸缩振动、切变振动等大体上与各向同性的弹性介质一样，都是在有限介质中以驻向同性的弹性介质一样，都是在有限介质中以驻波的方式传播，只需在非常简单的情况下，才能波的方式传播，只需在非常简单的情况下，才能够得到动摇方程的准确解。够得到动摇方程的准确解。 对于稍复杂的情况，只需近似解。对于稍复杂的情

5、况，只需近似解。在本章中，不能够对各种振动方式都进展详细在本章中，不能够对各种振动方式都进展详细讨论，只是对其中最简单最常用的振动方式作讨论，只是对其中最简单最常用的振动方式作较系统而全面的分析讨论，希望经过对特殊性较系统而全面的分析讨论，希望经过对特殊性的讨论了解普遍性。的讨论了解普遍性。 薄长片压电振子的长度伸缩振动，又称纵向薄长片压电振子的长度伸缩振动，又称纵向振动，是压电元件中常采用的一种振动方式，振动，是压电元件中常采用的一种振动方式，也是最简单的振动方式。也是最简单的振动方式。在这一节中除了讨论压电振子的纵向振动特在这一节中除了讨论压电振子的纵向振动特性外，还要讨论压电振子的等效电

6、路以及压性外，还要讨论压电振子的等效电路以及压电资料的介电常数、弹性常数和压电常数的电资料的介电常数、弹性常数和压电常数的丈量等内容。丈量等内容。 薄长片压电振子的压电方程组薄长片压电振子的压电方程组 设设d31d310 0的压电晶体的的压电晶体的zxzx切割晶片，长度切割晶片，长度l l沿沿x x方向，宽度方向，宽度lwlw沿沿y y方向，厚度方向，厚度ltlt沿沿z z方向，方向，并且有并且有llwllw和和ltlt，电极面与，电极面与z z轴垂直，如图轴垂直，如图6-36-3所示。由于所示。由于llwllw和和ltlt，长度方向是主要，长度方向是主要要素，所以只思索应力分量要素，所以只思

7、索应力分量X1X1的作用，其它的作用，其它应力分量应力分量X2X2、X3X3、X4X4、X5X5、X6X6可以忽略不计。可以忽略不计。 图图5-1 5-1 薄长片压电振子薄长片压电振子由于电极面垂直于由于电极面垂直于z z轴，所以只需思索电场分轴，所以只需思索电场分量量E3E3的作用，其它电场分量的作用，其它电场分量E1E1、E2E2可以忽略可以忽略不计。又由于丈量时或任务时只是薄片不计。又由于丈量时或任务时只是薄片的中心被夹住，片的两端为自在端，即薄片的中心被夹住，片的两端为自在端，即薄片的边境条件为机械自在，在边境上的应力分的边境条件为机械自在，在边境上的应力分量量X1|X1|边境边境=0

8、=0。还有电极面是等位面。还有电极面是等位面。 在此情况下，可以选在此情况下，可以选X1X1、E3E3为自变量，用第一为自变量，用第一类压电方程组，即：类压电方程组，即：11113133311333EXxs Xd EDd XE根据牛顿第二运动定律得到薄长片的运动方程为：根据牛顿第二运动定律得到薄长片的运动方程为：212uXtx为了得到薄长片压电振子的动摇方程，就需求根为了得到薄长片压电振子的动摇方程，就需求根据压电方程组中应力与应变的关系式，据压电方程组中应力与应变的关系式，13131133111111111EEEExdudXEEsssxs代入动摇方程得：代入动摇方程得：22313221111

9、1EEuudEtsxsx11113133311333EXxs Xd EDd XE212uXtx由于压电振子的电极面是等位面，电场分量由于压电振子的电极面是等位面，电场分量E3E3在在晶片中是均匀分布的，即有晶片中是均匀分布的，即有E/E/x=0 x=0。将这些。将这些关系代入上式式即得薄长片压电振子的动摇方程关系代入上式式即得薄长片压电振子的动摇方程为：为：22222E1122xucxus1tuxEsdxus1tu3E113122E1122111Ecs 声速声速假设压电振子是在交变电场E3=E0ejt的激发下，经过压电效应产生纵向振动，那么上式的通解为： cos()sin()j tu xtAk

10、xBkx e ，式中波矢k=/c；A、B为待定系数，由边境条件确定。满足边境条件的解满足边境条件的解由于压电振子的两端为自在端，它的机械自在边由于压电振子的两端为自在端，它的机械自在边境条件为境条件为: : x=0 x=0时，有时，有X1|x=0=0X1|x=0=0； x=lx=l时，有时，有X1|x=l=0;X1|x=l=0; X1=?, u(x) X1=?, u(x)而应力的表达式可以写为：而应力的表达式可以写为：1313113311111111310111111sin()cos()EEEEj tj tEExdudXEEsssxsdkAkxBkx keE ess cos()sin()j t

11、u xtAkxBkx e ，代入边境条件得代入边境条件得: :x=0 x=0时时,X1=0,X1=0：310111110 j tj tEEdBkeE ess310111110sin()cos()j tj tEEdAklBkl keE essx=lx=l时时, X1=0, X1=0：311011111sin()cos()j tj tEEdXkAkxBkx keE ess310dBEk稍加整理即得稍加整理即得: :)klsin(1)klcos(kEdAkEdB031031310111110sin()cos()j tj tEEdAklBkl keE ess310sin( )cos( )AklBkl

12、kd E3101sin()cos()AklBkld Ek310dBEk把把A A、B B代回到动摇方程的解中，得到满足边境代回到动摇方程的解中，得到满足边境条件的解为条件的解为: :310310313cos()1cos()sin()sin()cos( ()cos()sin()cos( ()cos()sin()j tj td Eklukxkx ekkld Ek lxkxekkld Ek lxkxkkl为了对上式所表示的波形有较详细的了解，在为了对上式所表示的波形有较详细的了解，在图图5-25-2中，绘出了中，绘出了t=0t=0及及t= t= / /=1/2=1/2周期时的周期时的波形。从图波形。

13、从图5-25-2中可以看出上式代表纵驻波方程中可以看出上式代表纵驻波方程式，即在薄长片压电振子中传播的是纵驻波。式，即在薄长片压电振子中传播的是纵驻波。313cos( ()cos()sin()d Ek lxkxu xtkkl，图图5-2 5-2 薄长片压电振子的纵向振动薄长片压电振子的纵向振动310cos()cos( ()sin() d Ekxk lxukklt=0t=0时：时：t=t=/ /时：时：310cos( ()cos()sin() d Ek lxkxukkl)klsin()klcos(1kEd031)klsin()klcos(1kEd031)klsin()klcos(1kEd031)

14、klsin()klcos(1kEd031x0l/2lt=0u0t=/u0薄长片压电振子中的应力、应变以及电位移与薄长片压电振子中的应力、应变以及电位移与x x、t t的关系为的关系为: :1313sin( ()sin()( , )sin()uk lxkxx x td Exkl式中式中E3=E0ejE3=E0ejt t313cos( ()cos()sin()d Ek lxkxu xtkkl，313111sin( ()sin()( , )1sin()Ed Ek lxkxXx tskl 331133331333311( , )sin( ()sin()1sin()XXED x td XEd Ek lx

15、kxEskl13131133111111111EEEExdudXEEsssxs应力应力自在自在式中：式中：313333311sin( ()sin()( , )sin( )xEd Ek lxkxD x tEskl233333111/xXEds或或: :313333311sin( ()sin()( , )1sin()XEd Ek lxkxD x tEskl传统电介质资料知识回想传统电介质资料知识回想介电常数介电常数，长，长l l、宽、宽lw lw 、厚、厚ltlt0wtl lCl 01tCwlZj Cjl l 电容：电容：容抗：容抗：0wCtVVIjl lZl 电流：电流：电流随频率电流随频率单调

16、添加，单调添加，有位相差有位相差经过薄长片压电振子的电流经过薄长片压电振子的电流 由于经过压电振子电极面上的电流由于经过压电振子电极面上的电流I3I3等于电极等于电极面上的电荷面上的电荷Q3Q3随时间的变化率，即随时间的变化率，即: :dtdQI33而电极面上的电荷而电极面上的电荷Q3Q3与电位移与电位移D3D3的关系为的关系为 3300wllQDxt dxdy ，(5-15)2313333300112313333110231333311231333311sin( ()sin()sin()cos( ()cos()sin()22cos()sin()tan()2wllxElxwwExwwExwwE

17、d Ek lxkxQEdxdyskld E lk lxkxl lEkskld E lkll lEksklkld E ll lEks 2kl313333311sin( ()sin()( , )sin( )xEd Ek lxkxD x tEskl最后得到经过压电振子电极面的电流为最后得到经过压电振子电极面的电流为: :233313333113003tan()2,2xwwEjtjtkldQdEl l ddEIl lkldtdtsdtdEdE ejE ejEdtdt 所以有所以有: :231333311tan()22xwEkldIj l lEkls薄长片压电振子的等效导纳薄长片压电振子的等效导纳假设经

18、过薄长片压电振子的电流为假设经过薄长片压电振子的电流为I3I3，两电，两电极之间电压为极之间电压为V3V3，那么压电振子等效阻抗，那么压电振子等效阻抗Z Z为，为，33VI Z压电振子的等效导纳压电振子的等效导纳G G为为: :33V/IZ/1G33/ZVI或者或者两电极面之间的电压两电极面之间的电压V3V3为为: :3tl033EldzEVt压电振子的等效导纳为：压电振子的等效导纳为：2313311tan()22xwEtkll ldGjklls 231333311tan()22xwEkldIj l lEkls牛顿定律牛顿定律压电方程压电方程动摇方程动摇方程边境条件边境条件质点位移质点位移电位

19、移电位移电流，导纳电流，导纳资料参数，等效电路资料参数，等效电路结果分析结果分析以上就是如何经过压电方程和动摇方程求得压以上就是如何经过压电方程和动摇方程求得压电振子的等效导纳方法。电振子的等效导纳方法。下面进一步分析在不同频率时压电振子导纳的下面进一步分析在不同频率时压电振子导纳的性质。性质。 频率很低时的情况频率很低时的情况 at low frequencyat low frequency当外加交变电场的频率很低时，即当外加交变电场的频率很低时，即很小时，可很小时，可以近似以为以近似以为k=k=/c/c0 0，于是，于是: :0tan()2lim12kklkl 2313311tan()22

20、xwEtkll ldGjklls频率很低时，薄长片压电振子的等效导纳频率很低时，薄长片压电振子的等效导纳231131113|xwlowEtXwlowtl ldGjlsl ljj Cl33Xwlowtl lCl式中电容：式中电容：5-215-21自在介电常数自在介电常数X33X33确实定确实定可见低频时压电振子等效为一个电容性元件，可见低频时压电振子等效为一个电容性元件，或者说在低频时，压电振子在电路中只起一个或者说在低频时，压电振子在电路中只起一个电容器的作用，它的电容数值由电容器的作用，它的电容数值由5-215-21式确式确定。实验上就是经过在很低频率下，丈量压电定。实验上就是经过在很低频率

21、下，丈量压电振子的电容振子的电容ClowClow称为低频电容来确定自在称为低频电容来确定自在介电常数介电常数X33X33。 应该留意，这里所说的应该留意，这里所说的“频率很低是指外加交频率很低是指外加交变电场的频率变电场的频率f f或或 远小于压电振子的谐远小于压电振子的谐振频率振频率frfr或或 r r的情况，即的情况，即ffrffr，或，或 00，于是：，于是：在反谐振频率时的情况在反谐振频率时的情况由于由于00，所以，所以( (+ +)/2)/2在第二象限，这时在第二象限，这时tan(tan(+ +)/2)0)/2)0，并随频率的添加在，并随频率的添加在- - 0 0范围内变化，因此一定

22、存在某一个频率范围内变化，因此一定存在某一个频率fafa或或a a，即，即k=ka=k=ka=a/ca/c时，使得时，使得: :2313311tan()202xEkldkls即当即当k=kak=ka时，薄长片压电振子的等效导纳为零，时，薄长片压电振子的等效导纳为零，等效阻抗为无限大；经过压电振子的电流等于零。等效阻抗为无限大；经过压电振子的电流等于零。2313311tan()2|02xwkaEtklj l ldGklls导纳：导纳：2313311tan()202axEak ldk ls 在反谐振频率时的情况在反谐振频率时的情况电流：电流：|kaZ 33|0kakaVIZ阻抗：阻抗：可见，当外加

23、交变电场可见，当外加交变电场E3E3的频率的频率f=faf=fa或或= =a a时，时，压电振子的等效阻抗为无限大实践上为最大压电振子的等效阻抗为无限大实践上为最大值，经过的电流为最小即等于零。这也是值，经过的电流为最小即等于零。这也是一种谐振景象，相应的频率一种谐振景象，相应的频率fafa称为反谐振频率。称为反谐振频率。实验上，常经过丈量谐振频率与反谐振频率来确实验上，常经过丈量谐振频率与反谐振频率来确定机电耦合系数。定机电耦合系数。纵向振子的机电耦合系数纵向振子的机电耦合系数k31k31与谐振与谐振频率频率frfr和反谐振频率和反谐振频率fafa之间的关系之间的关系欲得到的欲得到的k31k

24、31与与frfr和和fafa的关系式，要从的关系式，要从5-245-24式出发，将式出发，将5-245-24式改写为：式改写为：2231333133 113333 11coth()22XaaxExXEk lk lddss 2313311tan()2|02xwkaEtklj l ldGklls5-255-25再将再将22313133 112,aaaXEdfkkscc222313133333333311133 111(1)xXXXETEddkss以及以及代入代入5-255-25式得式得 5-26231231aak1k)clfcoth(clffffra由于反谐振频率稍大于谐振频率，故可将反谐由于反谐

25、振频率稍大于谐振频率，故可将反谐振频率振频率fafa写成：写成：又：,22coth( )coth( ) 1coth(),( )coth( )rrf lcflccoth将这些关系代入到5-26式得：231231rrrrrrrrrrrrrk1k)ff2tan()ff1 (2)ff2coth(1)ff1 (2)ff2coth()2coth(1)ff2coth()2coth()ff1 (2)ff22coth()ff1 (2)ff1 (clfcoth)ff1 (clf再代入上式，并加整理后，即得机电耦合系数再代入上式，并加整理后，即得机电耦合系数k31k31与谐振频率与谐振频率frfr与反谐振频率与反谐

26、振频率fafa的关系式：的关系式：3rrrff231ff2)ff2tan(由于由于f/frf/fr很小，可以将展成为幂级数：很小，可以将展成为幂级数：机电耦合系数机电耦合系数k31k31确实定确实定由于由于f/frf/fr很小，通常只取上式的第一项最多很小，通常只取上式的第一项最多取到第二项来计算取到第二项来计算k31k31值，即值，即 2r24r4r2231ff444ff441ff2krra2r2231fff4ff4k压电常数压电常数d31d31确实定确实定可见实验上，只需测出压电振子的谐振频率可见实验上，只需测出压电振子的谐振频率frfr和和反谐振频率反谐振频率fafa，代入，代入5-28

27、5-28式，即可确定机电式，即可确定机电耦合系数耦合系数k31k31。再结合经过低频电容。再结合经过低频电容C0C0确定的自确定的自在介电常数在介电常数X33=ltC0/llwX33=ltC0/llw，即可确定压电常数，即可确定压电常数d31d312223131 33 114XElowtarrClffdksMlf夹持介电常数夹持介电常数22333331(1)(1)4xXtlowarwrlCffkl lf 5-305-30总之，经过薄长片压电振子的谐振频率总之，经过薄长片压电振子的谐振频率frfr、反、反谐振频率谐振频率fafa以及低频电容以及低频电容ClowClow和密度，即可确和密度，即可确

28、定压电晶体或压电陶瓷的弹性柔顺常数定压电晶体或压电陶瓷的弹性柔顺常数sE11sE11、压电常数、压电常数d31d31、自在介电常数、自在介电常数X33X33、夹、夹住介电常数住介电常数x33x33和机电耦合系数和机电耦合系数k31k31等物理量。等物理量。薄长片压电振子的等效电路薄长片压电振子的等效电路equivalent circuitequivalent circuit器件设计器件设计For device designFor device design知薄长片压电振子的等效导纳知薄长片压电振子的等效导纳G G或等效阻抗或等效阻抗Z Z为为2333133 11tan()1212xwxEtkl

29、l ldGjkllsZ当外加电场的频率很低时，压电振子的等效导当外加电场的频率很低时，压电振子的等效导纳为：纳为：33Xwlowlowtl lGjj Cl可见频率很低时，压电振子在电路中只起着一个可见频率很低时，压电振子在电路中只起着一个电容为电容为ClowClow的电容器的作用，它的阻抗为的电容器的作用，它的阻抗为Z=1/(jClowZ=1/(jClow) )，在此情况下的压电振子的等效，在此情况下的压电振子的等效电路是如图电路是如图5-35-3所示纯电容电路。所示纯电容电路。频率很低时压电振子的等效电路频率很低时压电振子的等效电路图图5-35-3串联谐振串联谐振 Series resona

30、ntSeries resonant等效阻抗等效阻抗Z|fr=0Z|fr=0，电流，电流I3=I3=实践上实践上I3=I3=极大极大值。这种谐振景象与无线电中的值。这种谐振景象与无线电中的LC LC 串联谐振串联谐振景象一样。由于景象一样。由于LC LC 串联谐振时，电路中的阻抗串联谐振时，电路中的阻抗=0=0，电流，电流= =。frG当外加电场的频率等于压电振子的谐振频率当外加电场的频率等于压电振子的谐振频率frfr时，时，压电振子的等效导纳为：压电振子的等效导纳为：所以可以以为谐振时，压电振子在电路中起着所以可以以为谐振时，压电振子在电路中起着一个串联的电容一个串联的电容C1C1和电感和电感

31、L1L1的作用。在此情况的作用。在此情况下，压电振子的等效电路如图下，压电振子的等效电路如图5-45-4所示的串联电所示的串联电路。压电振子的谐振频率路。压电振子的谐振频率frfr就等于就等于LCLC串联电路串联电路中的谐振频率中的谐振频率fsfs。谐振时压电振子的等效电路谐振时压电振子的等效电路图图 5-45-4并联谐振并联谐振 parallel resonantparallel resonant当外加电场的频率等于压电振子的反谐振频率当外加电场的频率等于压电振子的反谐振频率fafa时，压电振子的等效导纳为：时，压电振子的等效导纳为：0Gfa等效阻抗等效阻抗Z|fa=Z|fa=，电流，电流I

32、3=0I3=0实践上为电流极实践上为电流极小。这种谐振景象与无线电中的小。这种谐振景象与无线电中的LC LC 并联谐振并联谐振景象一样。由于景象一样。由于LC LC 并联谐振时，电路中的阻抗并联谐振时，电路中的阻抗无限大，电流为零。无限大，电流为零。所以可以以为反谐振时，压电振子在电路中起所以可以以为反谐振时，压电振子在电路中起着一个由电容着一个由电容C0C0和电感和电感L1L1以及电容以及电容C1C1相并联的相并联的作用。在此情况下，压电振子的等效电路如图作用。在此情况下，压电振子的等效电路如图5-55-5所示的所示的LCLC并联电路。压电振子的反谐振频并联电路。压电振子的反谐振频率率faf

33、a就等于就等于LCLC并联电路中的谐振频率并联电路中的谐振频率fpfp。 反谐振时压电振子的等效电路反谐振时压电振子的等效电路图图 5-55-5压电振子等效电路中的压电振子等效电路中的C0C0、L1L1和和C1C1与压与压电常数、介电常数和弹性常数之间的关电常数、介电常数和弹性常数之间的关系系 一方面，压电振子的振动特性是由压电振子的内一方面，压电振子的振动特性是由压电振子的内部矛盾来处理的，即由压电振子的压电常数、介部矛盾来处理的，即由压电振子的压电常数、介电常数和弹性常数来决议的。电常数和弹性常数来决议的。另一方面，压电振子的振动特性又可用另一方面，压电振子的振动特性又可用LC LC 串联

34、电串联电路和路和LC LC 并联电路反映出来。因此等效电路中的并联电路反映出来。因此等效电路中的C0C0、L1L1和和C1C1与压电常数、介电常数和弹性常数之间存与压电常数、介电常数和弹性常数之间存在一定的关联。在一定的关联。 这个联络可经过压电振子的等效阻抗或等效这个联络可经过压电振子的等效阻抗或等效导纳与导纳与LCLC电路中的阻抗加以比较而得到。电路中的阻抗加以比较而得到。知压电振子的等效导纳为：知压电振子的等效导纳为： 10E11t231w0Z1Z1)c2ltan(slcdl 2jCjZ1G2313311tan()22xwEtkll ldGjklls 其中：其中：033xwtl lCl0

35、01Zj C1112312tan()2Etwl sZljl d cc为分路电容为分路电容为分路阻抗为分路阻抗为动态阻抗为动态阻抗10E11t231w0Z1Z1)c2ltan(slcdl 2jCjZ1G使动态阻抗使动态阻抗Z1Z1在谐振频率附近展开，由于在谐振频率附近展开，由于)2tan(1)1 (2tan()c2ltan(, lc,)(rrrrrr故得：故得：2r2r2r231wE11t23rr231wE11tr231wE11t1121dll4slj2312cdl 2slj)2tan(cdl 2sljZ5-315-31使使LCLC串联阻抗在串联谐振频率串联阻抗在串联谐振频率11rCL1)1)(

36、1 (C2j)()2(Cj)(C1jC1j)C1L( jZrrr1rrrr1rrrr1rr2r21r11LC附近展开得：附近展开得：5-325-32 22211122311412Etwrrrl sZjll d12(1)(1)LCrrrrZjC压电振子压电振子LCLC串联电路串联电路比较比较5-315-31式与式与5-325-32式可以看出，在谐振频式可以看出，在谐振频率附近，取一级近似可得动态阻抗等效于集总参率附近，取一级近似可得动态阻抗等效于集总参数数LCLC串联阻抗，其中联络为：串联阻抗，其中联络为： 22311312211211122222211312211113131881181188

37、wlowEtEtwrEEw twwl ldCk Clsl l slLlCc Ccdl l lssMldld5-345-345-335-335-335-33与与5-345-34两式分别给出了压电振子的两式分别给出了压电振子的等效电感、等效电容和压电常数、弹性常数之间等效电感、等效电容和压电常数、弹性常数之间的关系。的关系。经过上述讨论使我们对薄长片压电振子的振动特经过上述讨论使我们对薄长片压电振子的振动特性、等效电路以及有关的压电常数、弹性常数、性、等效电路以及有关的压电常数、弹性常数、介电常数和机电耦合系数的丈量有了一个较全面介电常数和机电耦合系数的丈量有了一个较全面的了解。但是应该留意，上述

38、讨论是在压电振子的了解。但是应该留意，上述讨论是在压电振子不存在损耗的条件下进展的。而且是在谐振频率不存在损耗的条件下进展的。而且是在谐振频率附近的近似条件下得到的。附近的近似条件下得到的。实践上压电振子总是存在损耗的，只是在损耗很实践上压电振子总是存在损耗的，只是在损耗很小时，才能够将损耗忽略不计，近似以为是无损小时，才能够将损耗忽略不计，近似以为是无损耗的压电振子。耗的压电振子。 假设压电振子的损耗不能忽略假设压电振子的损耗不能忽略不计，就需求计入损耗的影响，于是问题就比较不计，就需求计入损耗的影响，于是问题就比较复杂了。复杂了。这里只提出如下两点留意：这里只提出如下两点留意： 1 1 在

39、 同 样 大 小 的 外 加 交 变 电 场 在 同 样 大 小 的 外 加 交 变 电 场E3=E0cos(E3=E0cos(t)t)作用下，有机械损耗的压电振作用下，有机械损耗的压电振子的振幅比无损耗的压电振子的振幅小一些，子的振幅比无损耗的压电振子的振幅小一些，这种损耗在等效电路中的反映就是存在等效电这种损耗在等效电路中的反映就是存在等效电阻阻R1R1，如图，如图5-65-6所示。所示。有损耗时压电振子的等效电路有损耗时压电振子的等效电路图图 5-65-6其中等效电路参数为其中等效电路参数为211033131231111111,881,ExwttwwEtrml ll lsCLlldl l

40、 dCRlsC Q5-355-35其中其中:Qm:Qm为机械质量因子。为机械质量因子。Mechanical Quality factorMechanical Quality factor2 2无损耗时，压电振子的谐振频率无损耗时，压电振子的谐振频率frfr，就等于，就等于LCLC串联电路的谐振频率串联电路的谐振频率fsfs，也等于阻抗最小电，也等于阻抗最小电流最大时的流最大时的fmfm。压电振子的反谐振频率。压电振子的反谐振频率fafa等于等于LCLC并联电路中的谐振频率并联电路中的谐振频率fpfp，也等于等效阻抗最，也等于等效阻抗最大电流最小时的丈量频率大电流最小时的丈量频率fnfn，即有：

41、，即有：apnrsmfff,fff有损耗时，压电振子的这些频率不在相等，而是有损耗时，压电振子的这些频率不在相等，而是,(),().msrmsrnpanpaffffffffffff 即有损耗时，实践丈量的阻抗最小，电流最大时即有损耗时，实践丈量的阻抗最小，电流最大时的频率的频率fmfm，和阻抗最大，电流最小时的频率，和阻抗最大，电流最小时的频率fnfn，既不等于压电振子的谐振频率既不等于压电振子的谐振频率frfr和反谐振频率和反谐振频率fafa，也不等于也不等于LCLC串联谐振频率串联谐振频率fsfs和和LCLC并联谐振频率并联谐振频率fpfp。但是当等效电阻但是当等效电阻R1R1较小的情况下

42、即较小的情况下即QmQm值较高的值较高的情况下，情况下，fmfm、frfr、fsfs之间相差较小，之间相差较小，fnfn、fafa、fpfp之间相差也较小。之间相差也较小。所以适用上常忽略这个差别，近似地以为相等，所以适用上常忽略这个差别，近似地以为相等，即：即： apnrsmfff,fff这时压电振子的各个参数，也近似以为由以下这时压电振子的各个参数，也近似以为由以下关系来确定：关系来确定：223111222333333312223133 11 3131,44,(1),4EnmmmXxXtlowwXElowtnmmffksflflCkl lClffds kMlf(5-36)(5-36)器件的资料、几何参数器件的资料、几何参数频率参数频率参数一、压电方程组一、压电方程组 + + 牛顿第二定律牛顿第二定律二、动摇微分方程式二、动摇微分方程式三、满足自在边境条件动摇微分方程式的解三、满足