知识讲解条件概率事件的相互独立性

1、条件概率事件的相互独立性【学习目标】1 . 了解条件概率的概念和概率的乘法公式.2 .能运用条件概率解决一些简单的实际问题.3 . 了解两个事件相互独立的概念，会判断两个事件是否为相互独立事件.4 .能运用相互独立事件的概率解决一些简单的实际问题.【要点梳理】要点一、条件概率的概念1 .定义设A、B为两个事件，且P(A) 0,在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率。用符号P(B| A)表示。P(B|A)读作：A发生的条件下B发生的概率。要点诠释在条件概率的定义中，事件A在事件B已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进

2、行的.而这里所说的条件概率，则是当试验结果的 一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率.2. P (A | B)、P ()、P (B)的区别P (A | B)是在事件B发生的条件下，事件 A发生的概率。P ()是事件A与事件B同时发生的概率，无附加条件。P (B)是事件B发生的概率，无附加条件.它们的联系是：P(A | B) P(AB).P(B)要点诠释一般说来，对于概率 P()与概率P(A),它们都以基本事件空间为总样本，但它们取概率的前提是不相同的。概率P(A)是指在整个基本事件空间的条件下事件 A发生的可能性大小，而条件概率P()是指在事件B发生的条件下，事件 A发生的可能性大小。

3、例如，盒中球的个数如下表。从中任取一球，记取得篮球”，取得玻璃球”。基本事件空间 包含的11样本点总数为16,事件A包含的样本点总数为 11 ,故P(A) 一。16如果已知取得玻璃球的条件下取得篮球的概率就是事件B发生的条件下事件 A发生的条件概率，那么玻璃木质总计红235蓝4711总计61016在事件B发生的条件下可能取得的样本点总数应为玻璃球的总数”，即把样本空间压缩到玻璃球全体。而4 2在事件B发生的条件下事件 A包含的样本点数为蓝玻璃球数，故P(A|B) 。6 3要点二、条件概率的公式1 .计算事件B发生的条件下事件 A发生的条件概率，常有以下两种方式： 利用定义计算.先分别计算概率

4、P ()及P (B),然后借助于条件概率公式 P(A| B) P(AB) 求解.P(B)利用缩小样本空间的观点计算.在这里，原来的样本空间缩小为已知的条件事件B,原来的事件A缩小为事件，从而AB包含的基本事件数目口n(AB)»P(A|B)j人缶甘*击孙拓，即：P(B| A) (一)，此法常应用于古典概型中的条件概率B包含的基本事件数(A)求解.要点诠释概率P()与P()的联系与区别:联系：事件A, B都发生了。区别：在P()中，事件A, B发生有时间上的差异，事件A先发生事件B后发生；在P()中，事件A, B同时发生；基本事件空间不同在 P()中，事件A成为基本事件空间；在 P()中

5、，基本事件空间仍为原基本事件空间。2 .条件概率公式的变形.公式P(A|B) P(AB)揭示了 P (B)、P (A | B)、P ()的关系，常常用于知二求一，即要熟练应用它的 P(B)变形公式如，若 P (B) >0,则P () (B) P (A| B),该式称为概率的乘法公式.要点诠释条件概率也是概率，所以条件概率具有概率的性质.如：任何事件的条件概率取值在0到1之间；必然事件的条件概率为 1,不可能事件的条件概率为 0;条件概率也有加法公式：P (BU C| A) (B | A) (C | A),其中B和C是两个互斥事件.要点三、相互独立事件1 .定义：事件A (或B)是否发生对

6、事件 B (或A)发生的概率没有影响，即 P(B| A) P(B),这样的两个事件叫做相互独立事件。若A与B是相互独立事件，则 A与B, A与B,入与B也相互独立。2 .相互独立事件同时发生的概率公式：对于事件A和事件B,用A B表示事件A、B同时发生。(1)若A与B是相互独立事件，则 P(A B) P(A) P(B)；(2)若事件A,A2，H|,An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即：P(AAj|A) P(A) P(A2)Hl P(An)o要点诠释(1) P () (A) P (B)使用的前提是 A、B为相互独立事件，也就是说，只有相互独立的两个事件同 时

7、发生的概率，才等于每个事件发生的概率的积.(2)两个事件 A、B相互独立事件的充要条件是 P(A B) P(A) P(B)。3 .相互独立事件与互斥事件的比较互斥事件与相互独立事件是两个不同的概念，它们之间没有直接关系。互斥事件是指两个事件不可能同时发生，而相互独立事件是指一个事件是否发生对另一个事件发生的 概率没有影响。一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的。相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的。4 .几种事件的概率公式的比较已知两个事件 A, B,它们发生的概率为

8、 P (A), P (B),将A, B中至少有一个发生记为事件，都发生记 为事件 A B,都不发生记为事件 A B，恰有一个发生记为事件 A B A B ,至多有一个发生记为事件A B A B AB,则它们的概率间的关系如下表所示：概率A, B互斥A, B相互独立P ()P (A) (B)1 P(A) P(B)P (A B)0P (A) P (B)P(A B)1-P (A) (B)P(A) P(B)P(A BAB)P (A) (B)P(A) P(B) P(A) P(B)P(A B A B A B)11 P (A) P (B)【典型例题】类型一、条件概率例1.甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多

9、年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%,两地同时下雨的比例为 12%,问：(1)乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率为多少？(2)甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为多少？【思路点拨】(1)在乙地为雨天的事情业已发生的情况下，求甲地也下雨的概率， 为典型的条件概率问题。【解析】设A表示 甲地为雨天”，B表示2地为雨天”，则根据题意有 P (A) =0.20, P (B) =0.18,P () =0.12 .(1) P(A|B)P(AB)P(B)0.120.180.67 ;P(AB) 0.12(2) P(B | A) - 0.60 .P(A) 0.20【总结升华】这类条件概

10、率的应用问题，首先分清一前一后两事件的发生，前面的事件对后面的事件的发生有没有影响。若没有影响，就是无条件概率；若有影响，就是条件概率，然后根据相应的公式计算即可。举一反三：、. 一 3 一 7【变式1】甲、乙两名推销员推销某种产品， 据以往经验，两人在一天内卖出一份产品的概率分别为和5 101 、一两人在一天内都卖出一份产品的概率为-,问：2(1)在一天内甲先卖出一份产品乙后卖出一份产品的概率是多少？(2)在一天内乙先卖出一份产品甲后卖出一份产品的概率是多少？事件甲在一天内卖出一份产品”，事件乙在一天内卖出一份产品3 一 7因为两人在一天内卖出一份产品的概率分别为3和,，两人在一天内都卖出一

11、份产品的概率为5 10一3所以 P(A) , P(B)5工，P(AB) 10(1)因为 在一天内甲先卖出一份产品乙后卖出一份产品”这一事件是甲在一天内卖出一份产品后,卖出一份产品，所以由条件概率公式，可得P(B|A1 P(AB) £ P(A) 3 5(2)因为 在一天内乙先卖出一份产品甲后卖出一份产品”这一事件是乙在一天内卖出一份产品后,卖出一份产品，所以由条件概率公式，可得P(A|B)P(AB)P(B)10【变式2】若P(A)A.B.3, P(B|A) 4C. 1 D.31,一,则P(AB)等于()2583 13P(AB) P(A) P(B|A) 。4 2 8【变式3】一个盒子中装

12、有 6只好晶体管和4只坏晶体管，任取两次，每次取 1只，第一次取后不放回，若第一次取到的是好的，则第二次也取到好的概率为()A. 35B. 13c. 59D.设A=第i次取到好的晶体管"(i=i,2)。因为P(A)610所以 P(A2|A) P(Aia2) P(A)例2 . 5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求:(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率;(3)在第1次抽到理科题的条件下，第 2次抽到理科题概率【思路点拨】本题考查古典概型、条件概率.(1)和(2)中利用P 解决，(3)利用条件概率公式解 n决.【解析】设第1次抽到

13、理科题”为事件A,第2次抽到理科题”为事件B,则第1次和第2次都抽到理科题”为事件.(1) P(A)A1A1A212 320 5(2) P(AB)A2 _62A220 10(3) P(B| A)P(AB)P(A)1-23-W3 一5【总结升华】(1)求条件概率 P(B | A)的关键就是要抓住事件 A作为条件和事件 A与B同时发生这两件事，然后具体问题具体对待。(2)本题第(3)问可用下面的方法求解：用n (A)表示事件A中包含的基本事件个数，贝U n (A) =12 , n () =6,故 P(B|A) niABl _ 1.n(A) 122举一反三：【变式1】某学校一年级共有学生100名，其

14、中男生60人，女生40人；来自北京的有 20人，其中男生12人，若任选一人是女生，问该女生来自北京的概率是多少？【答案】用A表示 任选一人是女生”，B表示 任选一人来自北京”，依题意知北京的学生有 8名女生，这 是一个条件概率问题，即计算P ( B | A).P(AB)_40由于 P(A) -40-, 100- P(B|A)需望100【变式2】在10支铅笔中,有8支正品,第二次取到正品的概率是()A. 1 B 心545D.2支次品，若从中任取2支，则在第1次取到的是次品的条件下，45【答案】C利用缩小样本空间的方法求解。因为第一次取到1支次品，还剩9支铅笔，其中有 8支正品，所以第二次取正品的

15、概率是 8。9【变式3】盒中装有5件产品，其中3件一等品，2件二等品，从中不放回地抽取产品，每次抽取1件,求：(1)取两次，两次都取得一等品的概率;(2)取两次，第二次取得一等品的概率;(3)取两次，已知第二次取得一等品，第一次取得的是二等品的概率。【答案】事件为 第i次取到一等品”，其中1, 2,(1)取两次，两次都取得一等品的概率为P(AA2) p(A)PCIA)(2)取两次,第二次取得一等3 23一 一;5 4 10品的概率，即第一次有可能取到一等品，也有可能取到二等品,可得P(A2)(3)取两次,2 3 3 2 3P(AA AA2) P(AA2) P(AA2) 2 3 f 2 35 4

16、 5 4 5已知第二次取得一等品，第一次取得的是二等品的概率，即 P(A|A2)P(AAz)P(A2)例3. 1号箱中有2个白球和2 35 4354个红球,2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从 1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问从 2号箱取出红球的概率是多少?【思路点拨】从2号箱取出红球，有两种互斥的情况：一是当从1号箱取出红球时；二是当从 1号箱取出白球时.2一 ，P(B) 1 34P(A|B) 91P3,31-，8 13【解析】记事件 A:从2号箱中取出的是红球；事件 B:从1号箱中取出的是红球.则P(B) 2 43 1P(A|B) 8 1从而 P(A) P(AB

17、) P(AB)P(A|B)P(B) P(A|B)P(B)4 2 1 1 119 3 3 3 27 .【总结升华】求复杂事件的概率，可以把它分解为若干个互不相容的简单事件，然后利用条件概率公式和 乘法公式，求出这些简单事件的概率，最后利用概率的加法公式，得到最终结果.举一反三：【变式】一个口袋内装有 2个白球和2个黑球，那么：(1)先摸出一个白球不放回，再摸出一个白球的概率是多少？(2)先摸出一个白球后放回，再摸出一个白球的概率是多少？【答案】(1)设 先摸出一个白球不放回”为事件A,再摸出一个白球”为事件B,则 先后两次摸到白球”为事件,1 P(A) P(AB)2 P(B| A)P(AB)P(

18、A)1 6121313(2)设先摸出一个白球放回”为事件A1,再摸出一个白球”为事件B1,则两次都摸到白球”为事件A1B1,1P(A) 2 9 P(B | A)P(AB)P(A)1414121，一， 一1 ;先摸出一个白球后放回，再3综合(1) (2)所述，先摸出一个白球不放回，再摸出一个白球的概率为 1摸出一个白球的概率为 一.2类型二、相互独立事件例4.容器中盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球.(1)队8个球中任意取出1个，取出的是白球”与从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球这两个事件是否相互独立？为什么？(2)从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与 把取出的1个白球放回容器，再从容

19、器中任意取出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？为什么？【思路点拨】从相互独立事件的定义入手.5【解析】(1)从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为5 ,若这一事件发生了，则 从剩下的7845个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为工；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为 5 .可77见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件.(2)由于把取出的白球放回容器，故对 从中任意取出1个，取出的是黄球”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件.【总结升华】判断两事件是否相互独立的方法有：(1)通过计算P () (B)可以判断两个事件相互独立：(

20、2)通过验证 P () (A) P (B)也可以判断两个事件相互独立.举一反三：【变式】判断下列各对事件是互斥事件还是相互独立事件.(1)运动员甲射击1次,射中9环”与射中8环”;(2)甲、乙两运动员各射击1次，甲射中10环”与2射中9环”:(3)甲、乙两运动员各射击1次，甲、乙都射中目标”与甲、乙都没有射中目标(4)甲、乙两运动员各射击1次，至少有1人射中目标”与甲射中目标，但乙没有射中目标(1)甲射击1次,射中9环”与 射中8环”这两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件.(2)甲、乙各射击1次,甲射中10环”发生与否对 2射中9环”的概率没有影响，二者为相互独立事件.(3)甲、乙各射击1次

21、,甲、乙都射中目标”与甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件.(4)甲、乙各射击1次，至少有1人射中目标”与甲射中目标，但乙没有射中目标”可能同时发生，二者构不成互斥事件，但也不可能是相互独立事件.例5.甲、乙各进行一次射击，若甲、乙击中目标的概率分别为(1)两人都击中目标；(2)至少有一人击中目标；(3)恰有一人击中目标.0.8、0.7.求下列事件的概率:【思路点拨】显然 甲射击一次，击中目标”，与2射击一次，击中目标 ”互不影响，即相互独立，两人都击中，即事件同时发生，应该用乘法公式。【解析】记A为甲射击一次，击中目标”，B为乃射击一次，击中目标”，则A与B相互独立，进而有

22、A与B, A与b, A与B也都相互独立.至少有一个击中，即事件 Ab ab ab发生；恰有一个击中，即事件AB AB发生.由已知 P (A) =0.8, P (B) =0.7,(1)两人都击中目标的概率P () (A) P (B) =0.8 X 0.7=0.56(2)至少有一人击中目标的概率P(AB AB AB) P(AB) P(AB) P(AB)P(A) P(B) P(A) P(B) P(A) P(B)=0.2 X 0.7+0.8 X 0.3+0.8 X 0.7=0.94(3)恰有一人击中目标的概率P(AB AB) P(AB) P(AB)=P(A) P(B) P(A) P(B)=0.2 x

23、0.7+0.8 x 0.3=0.38【总结升华】审题应注意关键的词句，例如至少有一个发生”至多有一个发生"恰'有一个发生”等，应学会在求复杂事件的概率时对事件等价拆分来求解.举一反三：【变式1】甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的球，这些球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有 1个红球、5个白球。若分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，求取出的 两球都是红球的概率。【答案】41因从甲袋中取一球为红球的概率为一，从乙袋中取一球为红球的概率为，故从两袋中各取一球，取出的都是红球的概率为【变式2】在某段时间内，甲地下雨的概率为 0.3,乙地下雨的概率为 0.4,

24、若在这段时间内两地是否 下雨之间没有影响，则在这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为()A. 0.12 B, 0.88C. 0.28 D. 0.42【答案】D, (10.3) X(J0.4)=0.42【变式3】某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券.奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动.如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：(1)都抽到某一指定号码；(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码.【答案】(1)记第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A,第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ,则 两次抽奖

25、都抽到某一指定号码 ”就是事件.由于两次抽奖结果互不影响，因此 A与B相互独立.于是由独 立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率X 0.05 = 0.0025.P ( ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05（2）两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用（AB） u（ Ab）表示.由于事件 A号与Ab互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为p （aB）十 p（Ab）（A）p（B）+ p（A）p（b）=0. 05 X （1-0.05 ） + （1-0.05 ）X 0.05 = 0. 095.（3）两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用（）u（ aB）u（Ab

26、）表示.由于事件，aB和Ab+ P ( AB ) = 0.0025两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为 P （ ） + P （A B ）+0. 095 = 0. 097L求 10都用一 一，4例6.甲、乙、丙三位同学完成 6道数学自测题，已知他们及格的概率依次为一，5（1）三人中有且只有两人及格的概率；（2）三人中至少有一人不及格的概率。【思路点拨】三件（或三件以上）相互独立的事同时发生，和两个相互独立的事同时发生是类似的,乘法公式。【解析】设甲、乙、丙三位同学答题及格分别为事件A, B, C,则事件A, B, C相互独立。(1)三人中有且只有两人及格的概率为P(ABC

27、) P(ABC)P(ABC)(2)P(A) P(B) P(C)5 5M) (1 113P(A) P(B)5) 5170250'三人中至少有一人不及格的概率为P2 1 P(ABC) 1 P(A) P(B) P(C)【总结升华】明确事件中的“至少有一个发生”P(C)(1P(A) P(B) P(C)3 7_5 1083,一。例 1 .125“至多有一个发生”“恰有一个发生” “都发生” “都不发生” “不都发生”等词语的意义。”等事件的概率问题，它们是诸多事在求事件的概率时，有时会遇到求“至少 件的和或积，可以从正面或对立面解决问题。如果从正面考虑这些问题，求解过程繁琐，但“至少 或“至多”

28、这些事件的对立事件却相对简单，其概率也易求出，此时，可逆向思维，运用“正难则反” 的原则求解。举一反三：25秒、【变式1】某道路的A、B、C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是（）35A. 一192【答案】A;25B.19235C.57665D.192在A、 B、 C三处不停车的概率分别为255357459 57故三处都不停车的概率是 12 12【变式2】甲射击命中目标的概率是60 12 60 12 60 12 935O12 1921 ，一_1 一，乙射击命中目标的概率是-，丙射击命中目标的概率是2 3若现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率是()2B.一3AD.710设甲射击命中目标”为事件A,乙射击命中目标”为事件B,丙射击命中目标”为事件Co因击中目标表示事件 A, B, C中至少有一个发生：目标