专题复习_“隐形圆”问题

1、“隐形圆”问题江苏省通州咼级中学、问题概述江苏省高考考试说明中圆的方程是C级知识点，每年都考，但有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程)，从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题.二、求解策略如何发现隐形圆(或圆的方程)是关键，常见的有以下策略.策略一 利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆例1 (1)如果圆(x 2a)2 + (y a 3)2= 4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是.6-:a : 05略解：到原点的距离为1的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，转化到此单位圆与已

2、知圆相交求解.(2) (2016 年南京二模)已知圆 O: x2 + y2= 1，圆 M : (x a)2+ (y a + 4)2= 1 .若圆 M 上存在点P,过点P作圆O的两条切线，切点为 A, B,使得/ APB = 60；贝U a的取值范 围为解：由题意得OP二2，所以P在以O为圆心2为半径的圆上，即此圆与圆M有公共点，因此有 2 1 <OM < 2 +1二 K a2 + (a - 4)2 < 9 n 2 -2 < a < 2 + 2 .2 2(3) ( 2017年苏北四市一模)已知 A B是圆C J x2 y2 =1上的动点，AB= 3 , P是圆C2：

3、 (x - 3)2 (y -4)2 =1上的动点，贝U PA PB的取值范围是 . 7,13略解：取AB的中点M，则C1M= 1，所以M在以C1圆心，半径为1的圆上，且 2 23 m)2PA PB T2PM，转化为两圆上动点的距离的最值.(4) 若对任意：疗R,直线 l: xcos + ysi2sin(： + )+ 4 与圆 C: (x m)2 + (y 6=1均无公共点，则实数 m的取值范围是52)略解：直线I的方程为：(x-1)cos> + (y- 3 )si4, M(1, 3 )到I距离为4,所以I是以M为圆心半径为4的定圆的切线系，转化为圆M与圆C内含.、$ 、222注：直线 l

4、: (x-xo)cos、f+ (y- yo)si n、£= R 为圆 M： (x x0) - (x -y0) =R 的切线系.例2 （2017年南通市一模）在平面直角坐标系xOy中，已知B, C为圆x2 y2二4上两点,点A（1, 1）,且AB丄AC,则线段BC的长的取值范围为 解：法一（标解）：设BC的中点为M x,y ,因为 OB2 =0M 2 BM 2 =0M 2 AM 2 ,2 2 2 2所以 4 =x y 亠x -1 亠y -1,化简得32所以点M的轨迹是以1 , 1为圆心，3 2为半径的乜2）26 -26 +2丨缶圆，所以AM的取值范围是，所I 22 J以BC的取值范围是

5、 6 - 2 , 6 + 2 I.由矩形的几何性质（矩形所在法二：以AB、AC为邻边作矩形 BACN，贝U BC = AN ,平面上的任意一点到其对角线上的两个顶点的距离的平方和相等），有 OB2 9C2 =OA2 ON 2,所以 ON =6 ,故N在以O为圆心，半径为6的圆上，所以BC的取值范围是6 - 2 , 6 2 .变式1（2014年常州高三期末卷）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O : x2 y2 =16，点P （1, 2） , M、N为圆O上两个不同的点，且PM PN二 0 ,若 PQ 二 PM PN ,贝U PQ 的最小值为3 3 - 5y变式2 已知圆C1 : x 2 y2二9

6、，圆C2 : x2 y2二4，定点AP（1 0）,动点A, B分别在圆G和圆C2上，满足.APB二90 ,则线段 AB的取值范围 .2 3 -1, 2 3 1BO Px变式 3已知向量 a、b、c 满足 a = 3, b = 2, c = 1,(a - c) (b - c) = 0 ,贝V a - b 范围为. 2 3 -1, 2 3 - 1策略二动点P对两定点A、B张角是90° ( kPA .kPB - -1，或PA PB = 0)确定隐形圆例 3 (1)( 2014 年北京卷)已知圆 C: (x 3)2 (y - 4)2 =1 和两点 A(_m, 0) , B(m, 0),若圆上

7、存在点P,使得.APB = 90，贝U m的取值范围是 . 4,6】略解：由已知以 AB为直径的圆与圆 C有公共点.(2) (海安2016届高三上期末)在平面直角坐标系xOy中，已知点 P (- 1, 0),Q(2 , 1)，直线I: ax by c二0其中实数a, b, c成等差数列，若点P在直线I上 的射影为H，则线段 QH的取值范围是 . 2,3 2解：由题意，圆心C(1, 2)在直线ax+ by+ c= 0上，可得a 2b+ c= 0,即c= 2b a. 直线 l: (2a b)x+ (2b c)y+ (2c a) = 0,即卩 a(2x+ y 3) + b(4 x)= 0,2x y

8、- 3 = 0,由，可得x= 4, y = 5，即直线过定点 M(4, 5),4 -x 二 0由题意，H在以PM为直径的圆上，圆心为 A(5, 2)，方程为(x 5)2+ (y 2)2= 50, |CA|= 4 2 , CH 最小为 5 2 4 2 =2 , CH 最大为 4 2 + 5 2 = 9 2 ,线段CH长度的取值范围是2 , 9 2 .(3) (通州区2017届高三下开学初检测)设 m R ,直线h : x my二0与直线I2 : mx -y - 2m - 4 二 0 交于点 P(x), y)，则 x°y 2x0 的取值范围是. 12 - 4 10,124 10 略解：1

9、1过定点0(0, 0), I2过定点A(2, -4),则P在以OA为直径的圆上(除去一点)， 变式(2017年南京二模)在平面直角坐标系xOy中，直线1仁kx y+ 2= 0与直线12： x+ ky 2 = 0相交于点P,则当实数k变化时，点P到直线x y 4= 0的距离的最大值为. 3 2策略三 两定点A、B,动点P满足PAPB = 确定隐形圆例4 (1) (2017年南通密卷3)已知点A(2, 3)，点B(6 3),点P在直线3x -4y + 3 = 0上,若满足等式AP BP 2、二0的点P有两个，则实数的取值范围是 .=13 _2 由题意解：设 P (x, y),贝U AP - (x

10、- 2, y - 3) , BP - ( x - 6, y 3),根据 AP BP =0，有 x _4 2 y2圆：(x4$ +y2 =132人*号圆与直线3x_4y+3 = 0相交，圆心到直线的距离d = 3 '4 一 4 ' 0 3二3 :：- 13 - 2，,所以: 2 .2 23 - 4(2)( 2016年盐城三模)已知线段 AB的长为2，动点C满足CA CB= ( 为常数)，且点C总不在以点B为圆心，1为半径的圆内，贝颁数，的最大值是_32 4略解：动点C满足方程X2 y2 - 1.策略四 两定点A、B，动点P满足PA2 - PB2是定值确定隐形圆例5 (1)在平面直

11、角坐标系 xOy中，已知圆C: (x-a)2+ (y a+ 2)2= 1,点A(0, 2)，若 圆C上存在点M，满足MA2+ MO2= 10,则实数a的取值范围是 . 0, 32 2略解：M满足的方程为X (y -1) = 4，转化为两圆有公共点(2)( 2017年南京、盐城一模)在 ABC中，A, B, C所对的边分别为a,b,c，若a2 b2 - 2c2 = 8，UABC面积的最大值为解：以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，建系.设 A(_c ,0) , B( C , 0) , C(x, y)，则由 a2 b22 二 82 2得(x - c )2 y2 (x C ) y2 2c2 =

12、8，即 x2 y2 = 4 -5 c2 ,224所以点 C 在此圆上，Sw c r =c 4 -5 c2 = 1 (4 -5 c2 ) 5 c2 < 2 52245445策略五 两定点A、B,动点P满足PA = ?；.,. 0, . !)确定隐形圆(阿波罗尼斯圆)PB例 6 (1)略解：点P满足圆的方程为x2 y2 =4，转化到直线与圆相交.(2)( 2016届常州一模)在平面直角坐标系xOy中，已知圆O: x2 + y2= 1,01： (x 4)2+ y2= 4，动点P在直线x - 3y-b二0上，过点P作圆O, O1的两条切线,（例7）则 B 2 ,2船相遇，则l领海公海切点分别为A

13、, B,若满足PB = 2PA的点P有且仅有两个，则 b的取值范围20 L ,4 I 3丿例7(2017年南通二模)一缉私艇巡航至距领海边界线I (一条南北方向的直线)3.8海里的A处，发现在其北偏东 30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追 击.已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行.(1)若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；(参考数据：sin17 ° &PB（ x- 2）2y - 2 ,33壯5.7446 )6(2 )问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是

14、否总能在领海内成功拦截？并说明理由.北I领海公海B解：(1)略(2)如图乙，以A为原点，正北方向所在的直线为y轴建立平面直角坐标系 xOy .3，设缉私艇在P(x , y)处(缉私艇恰好截住走私船的位置)与走私2 2整理得，x -942 2）+（y -4 3）=9 ,所以点P(x , y)的轨迹是以点 9 ,9 3为圆心,4460为半径的圆.图乙因为圆心9 ,9 3到领海边界线l : x二3.8的距离为44所以缉私艇能在领海内截住走私1.55,大于圆半径| ,船.策略六 由圆周角的性质确定隐形圆例8(1)已知a,b, c分别为 ABC的三个内角A, B, C的对边，a = 2 ,(a+b)(s

15、inA-sinB)=(c-b)sinC 贝U -ABC 面积的最大值为3PA= 3，即x y略解：cos/ A= 1，/ A= 60°,设. ABC的外接圆的圆心为 O,外接圆的半径为 2 3，则23O到BC的距离为 3，则边BC上的高h的最大值为 3 + 2 3 = 3 ,则面积的最大值3 33为3 .(2)(2017年常州一模)在厶ABC中，/ C= 45°, O是厶ABC的外心，若OC = mOA + nOBm,n R),贝U m+ n的取值范围是 . - 2,1)略解： / AOB = 2/ C= 90。，点C在以O为圆心，半径 OA的圆上(在优弧 AB 上)三、同

16、步练习1 .已知直线l : x -2y m = 0上存在点M满足与两点 A(-2, 0) , B(2, 0)连线的斜率之积为 -1 ,则实数m的取值范围是. -2 5,2 52. (2016年泰州一模)已知实数a, b, c满足a2 b2 =c2 , c - 0，贝Vb的取值范围a 一 2c为. - 3 , 3 333. 已知 v,t：=R，则(cost -t - 2)2 - (sinr -t - 2)2 的取值范围是 . 2 2 7 2 2 12 24. 已知圆C :(x - 3)(y - 4)=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m 0).若圆C上存在点P,使得PA PB =1 ,则m的

17、取值范围是 . 15, 352 27. (2016年无锡一模)已知圆 C : (x- 2) y二4，线段EF在直线l : y =x 1上运动，点P为线段EF上任意一点，若圆 C上存在两点A、B,使得PA PB W 0,则线段EF长度的最大值是.148. 如图，已知点 A(- 1,0)与点B(1,0), C是圆x2 + y2= 1上的 动点(与点A,B不重合)，连接BC并延长至D，使得|CD|=|BC|,则线段PD的取值范围.(2,2)39在平面直角坐标系 xOy中，已知点A( _t , 0)(t > 0) , B(t ,0)，点C满足AC* .BC= 8 , 且点C到直线I: 3x -

18、4y 24 = 0的最小距离为9，则实数t的值是.1510. ( 2013年江苏卷第17题改编)在平面直角坐标系 xOy中，已知点0(0, 0) , A(0, 3)如果 圆C :(x_a)2 ( y 2a - 4)2 =1上总存在点M使得MA二2MO ,则圆心C的横坐标a的 取值范围是.0, 12 511. 已知向量 a、b、c 满足 a = 2 , b =a b = 3，若(c -2a)(2 b ；C) =0，贝U b -c 的最大值是. 1 212. 设点A, B是圆x +y = 4上的两点，点C(1, 0)，如果ZACB = 90 ，则线段AB长度的取值范围为. 7 -1, 7113. 在JABC中，BC = 2, AC = 1,以AB为边作等腰直角三角形 ABD (B为直角顶点，C、D两点在直线AB的两侧).当/ C变化时，线段 CD长的最大值为 . 32 214. ( 2016年南通三模)在平面直角坐标系xOy中，圆