专题2立方和公式、和(差)的立方公式(必讲)(张俊)

1、For personal use only in study and research; not forcommercial use专题二 立方和（差）公式、和（差）的立方公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:（1）平方差公式2 2(a b)(a -b) =a -b ；）完全平方公式（a _ b）2二a2 _ 2ab - b2。我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式（2）立方差公式（3）三数和平方公式（4）两数和立方公式（5）两数差立方公式2233(a b)(a -ab b Ha b ；(a _ b)(a2 ab b2) = a3 _ b3 ；2 2 2 2(a b c

2、)二 a bc2(ab bc ac)；(a b)3 = a3 3a2b 3ab2 b3 ；(a - b)3 二 a3 - 3a2b 3ab2 - b3。对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明。反过来，就可以利用上述公式对多项式进行因式分解。例1计算:2(1) (32y)(9 -6y 4y )；1 51(2) (5xy)(2 5x2xyy2)；42(3) (2x 1)(4x 2x 1)。分析：两项式与三项式相乘，先观察其是否满足立方和（差）公式，然后再计算 解: （ 1）原式=33 （2y）27 8y3 ；313313（2）原式=（5x） -（ y） =125x y ；2 8（3） 原

3、式=8x3 4x2 2x 4x2 2x 1 =8x3 8x2 4x 1。说明：第（1）、（ 2）两题直接利用公式计算.第（3）题不能直接利用公式计算，只好用多项 式乘法法则计算，若将此题第一个因式中“+T改成“-1 ”则利用公式计算；若将第二个因式中“，2x ”改成“ -2x ”则利用公式计算；若将第二个因式 中“，2x ”改成“ ，4x ”, 可先用完全平方公式分解因式，然后再用和的立方公式计算(2x 1)(2x 1)2 =(2x 1)3 =(2x)3 3(2x)2 1 3(2 R 1 2 1 3 =8 x3 12 x2 6 x 1。例2计算：(1) (x3 -1)(x6 x3 1)(x9

4、1)；(2) (X 1)(x-1)(x2 - x 1)(x2 -X 1)；(3) (x 2y)2(x2 -2xy 4y2)2 ；分析：禾U用乘法的交换律、积的乘方，找出满足立方和（差）的两个因式，是计算的关键.解: （1）原式工（X9 1）（x91）=X18 1 ；（2）解法一：原式珂（x1）（X2X 1）（X 1）（X2x 1） =（X31）（x3-1）-1 ；2 2解法二：原式 =（x 1）（x-1）（x1）x（ x 1）-x(3)原式=(x 2y)(x2 -2xy 4y2)2=x616x3y3 64 y6。说明：第（2）、（ 3）题往往先用立方和（差）公式计算简捷.相反，如第（2）题的第

5、二种解法就比较麻烦.（1）（2）（3）分析:因式。例3因式分解：x3y3 125 ；a -27 a4 ；6 6x - y。对照立方和（差）公式，正确找出对应的a,b是解题关键，然后再利用立方公式分解解：（1）原式=（xy）3 53 = （xy 5）（x2y2 -5xy 25）；3332(2)原式二 a(1 -27a ) =a1 -(3a)二 a(1 - 3a)(1 3a 9a )（3）原式= （x3）2 -（y3）2 =（X3 y3）（x3 -y3） =（x y）（x2 -xy y2）（x- y）（x2 xy y2）。说明：我们可尝试一下，第（3）题先用立方差公式分解就比较复杂，会导致有的同学

6、分解不 彻底。例4设x y = 5, xy - -1 ,试求x3 y3的值。分析：对于立方和公式 a3 b3 =（a，b）（a2 -ab b2），我们不难把它变成: a3 b3 =(a b)(a b)2 _3ab，即 a3 b3 二 a b )3-3b a b )，再应用两数和、 两数积解题较为方便。解：x3 y3 =(x y)3 -3xy(x y) =53 -3 (-1) 5 =140。说明：立方和(差)与和(差)的立方之间可以相互转化。322223例5 如果 ABC的三边a, b,c满足a - a b ab - ac bc -b = 0 ,试判断 ABC的 形状。分析：直接看不出三角形边之

7、间的关系，可把左边的多项式分解因式，变形后再找出三角形三边之间的关系。解: 因为 a3 -a2b ab2 -ac2 be2 -b3 二 0，所以 a3 -b3 (-a2b ab2) (-ac2 be2) =0 ,即(a -b)(a2 ab b2) -ab(a -b) -c2(a -b) = 0 ,(a -b)(a2 b2 -c2) = 0 ,所以 a = b 或 a2 b2 =c2，因此 ABC是等腰三角形或直角三角形 .说明：此类题型，通常是把等式一边化为零，另一边利用因式分解进行恒等变形练习1. 计算：2(1) (4a)(16 -4a a )；(2) (2ab)(4a2 ?ab 丄b2)；

8、3 39(3) ( -x -1)(x2 -x 1)；(4) x(x -2)2 -(x2 -2x 4)(x 2)。2. 计算：(1) (x 2)(x -2)2(x2 -2x - 4)(x2 2x 4)；(2) (2x 3y)3 ；(3) (5 -b)3 ；3(4) (m -1)3(m2 m 1)3。3.分解因式:(1)33(2 x 1) x(2)27x3 -8y3 ；(3)3132x3- y3 ；4(4)m6 - 64。4.化简:a -b a a -b、b oa -、b a 、ab b5若 a b c = 0 ,求证：a3 a2c b2c - abc b3 = 0。6. (1)已知 m n =

9、-2，求 m3 n3 -6mn 的值；(2) 已知：xy=1,求 x3y3 -3xy 的值.37. 已知两个正方体，其棱长之总和为48cm,体积之和为28cm ,求两个正方体的棱长.8. 已知 a b =1，求 a3 - 3ab - b3 的值。9. 已知 a -b =2, ab =48，求 a4 b4 的值。10. 已知实数 a, b,c满足 abc 0, a b c = 1,a2 b2 c 2, a3 b3 c3，求 abc的值。答案：3313321 (1) 64 a ； (2) 8a b ； (3) -x -1 ； (4) -4x 4x-8。 272. (1) x6 -64 ；(2) 8

10、x3 36x2y 54xy2 27 y3 ；51(3) 125 -25b -b2 b3 ； (4) m9 - 3m6 3m3 -1。3273. ( 1) (3x 1)(3x2 3x 1) ；(2) (3x-2y)(9x2 6xy 4y2)；(3)丄(2 x - y)(4 x2 2xy y2) ； (4) (m 2)( m - 2)(m2 - 2m 4)( m2 2m 4)。 44. 2 . b5. 提示：a3 a2c b2c - abc b3 = (a b c)(a2 - ab b2) = 0。6. ( 1) -8 (2) 17.两个正方体的棱长分别为1cm和3cm.8.19.539210.（兴化市第一中学张俊）仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l ' e tude et la recherch