多元函数微分法及其应用近年试题

1、0809 B一、填空题(每小题3分，共18分)2、设 z ln(xy),贝U其全微分 dz .11dx dyxyy2 2x , _ ,、，3、函数u 工的所有间断点是y2 2x，2_ 一(x,y)|y 2x,x R, y R二、选择题(每小题3分，共15分)1、f (x, y)xy,则极限！叫f(x,y)y 0(A)不存在(B) 1(C) 2(D) 0A当点P(x,y)沿曲线y kx趋向(0,0)时,lim f(x, y)x 0 y kx1ym0kx2-2, 2 2x k x2显然，当k取值不同是，极限也不相同。1 k所以|而不存在.(x,y) (0,0) x2 y22、在曲线x t, yt2

2、,zt3所有切线中，与平面 x 3y 3z4平行的切线(A )(A)只有一条；(B)只有两条； (C)至少有3条；(D)不存在2r曲线的切向量T ( (t),(t),(t)=(1, 2t,3t2),平面的法向量n (1,3,3)(1 2t,3t2) (1,3,3) 1 6t 9t20, (3t1)20,得t 1.所以只有一条切线满足条3件.3、点0,0是函数z xy的(B )(A)极值点；(B).驻点但不是极值点；(C)是极值点但不是驻点；(D)以上都不对分析：令zx y 0,zy x 0,得(0,0)是驻点，但点(0,0)是z xy的鞍点，不是极值点四、计算题(每小题8分，共32分)1、设

3、z eusinv,u xy, v x y,求-z 和-zx y解-z -fexy y sin(x y) cos(x y)f u f v u .u一 esinvy e cosveu sin v x eu cosvexyx sin(x y) cos(x y)解答题(每小题分10,共20分)1、要造一个容积为定数 a的长方形无盖容器，如何设计它的尺寸才能使它的表面积最小? 此时最小表面积为多少？解：设长方体的长宽高分别为x, y, z,则问题就是在条件(x, y, z)xyz a 0 下求函数 S xy 2xz2yz(x0,y 0,z 0)的最小值.作拉格朗日函数L(x, y, z)xy 2xz 2

4、yz(xyza),求其对x, y, z,的偏导数,并使之为零，得到y 2zx 2zyzxz0,0,2(xy)xyzxy 0, 0.因为x, y, z都不等于零,，口 11.、得 z - x - y,代入xyz220,得x 3/2a, y 3/2a, z1 3 二一 J2a,这是唯一可能的极值点2.由问题本身可知最小值定存在，所以最小值就在这个可能的极值点处取得.即长宽高为疡，疡,1炎a时,2最小表面积S 33两.0910B一、填空题(每小题2分，共10分)y2 z2 4z给出，则全微分2、设函数z f(x, y)是由方程x2dz .2xdx 2ydy 2zdz 4dz, dz dxydy.2

5、z3、曲面x2 y2z2 14在点P(1,2,3)处的切平面方程为 切平面得法向量 Ing)(2x,2y,2z) (123)(2, 4,6),。,1/,£-,w/切平面方程为 2(x 1)+4( y 2) 6(z 3) 0,或x 2y 3z 14 0.二、选择题(每小题2分，共10分)1、二元函数f(x,y)在点(x0,y。)处可微是两个偏导数fx'(x0,y0),fy'(x0,y0)都存在的(A )(A)充分条件(B)必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件四、计算题(每小题10分，共40分)1、设2 u2lnv,而 u > v 3x 2y,求：-

6、z、 yx一 z 2x解：Win 3x 2y x y3x2z2 )3x 2y y y2xrlny3x 2 y2x27 二 23x 2y y1011B一、填空题(每小题3分，共15分) 设二元函数 z xex y (x 1)ln(1 y),则 dz|(1,0) .dz l(1,o)(ex y xex y ln(1 y) |(1,o)dx (xex y x-) |(1,o)dy1 ydz 2edx (e 2)d y(1,0)(2)旋转抛物面zx2y2 1在点(2,1,4)处的法线方程是r法线的方向向量s (2x,2y, 1)(21与(4,2, 1),(2,1,4)g'E法线方程是4、单项选

7、择题y 1 z 4.21(每小题3分，共15分)(4) 设 z f(x, y)的全微分为 dz xdx ydy 则点(0,0) ( C )A.不是f(x, y)的连续点；B.不是f(x, y)的极值点;C.是f(x, y)的极小值点；D.是f(x, y)的极大值点分析：zx x,zy y,得 zxx 1,zyy 1,zxy 0,由 AC B2 1 0, A 1 0,则点是f(x, y)的极小值点.三、求偏导数(每小题10分，共20分)22、一 3 , y、 z z z(1)设z x3f(xy,)，其中f具有二阶连续偏导数.求 一； ; .xy y x y(0,0)解：3x2 f x3(yf1

8、x一 V _ 2 -3f2(当)3x f x yf1 xyf2 x31x (xf1f2(-)x42x f1x f22 z2y(x4f1 x2 f2) yx4(f11 x f12,1 f22J) x5 rx f113x 2x f12 xf22一(X4 f1xx%)4x3 f1x4(f11yf12 2xf22 ,x (f21y f22(4x3 f12xf2x4yfn(2)设 zz( x, y)是方程xyz arctan(xy z)在(0,1,1）点确定的隐函数，求 二 及x(0,1, i)解：令 F (x, y,z)xyzarctan(x y z)Fzxy11 (x yz)2Fxyz1 (xFy

9、y z)xz1 (xz)2FxFzyz1 (xy z)2 1(0,1,1)FyFzxy1(x y z)2 1xz1 (x yz)2xy1 (x y z)2 110分六、应用题（本题满分10分）从斜边长为l的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形,并求出最大周长解：设另两边长分别为 x,y,则x222 一.y l ,周长设拉格朗日函数F（x, y,）x y l(x2Fx 1 2x 0令 Fy 12yo222F x y l 02 , 一 .、，斛方程J1信x y 1为唯一驻点，且取大周长一"7E存在2.2,. 一 .10分故当x y 1时，最大周长为C (1 <2)121112

10、B、填空题(每小题2分，共10分).21 . z x y 在点(1,1)处的 dz2dz 2xydx x dy, dz x 1 2dx dy. y 12 .设函数f(x, y) 2x2 ax xy2 2y在点(1, 1)取得极值，则常数a .fx(1, 1) (4x a y2)-0, fy(1, 1) 2xy 2x1 0,所以 a 5.y 1y 1例36设函数f(x,y) 2x2 ax xy2 2y在(1, 1)处取得极值，试求常数 a,并确定极值的类型.分析 这是二元函数求极值的反问题，即知道f(x,y)取得极值，只需要根据可导函数取得极值的必要条件和充分条件即可求解本题.(1, 1)必为驻

11、点，则有解 因为f (x, y)在(x, y)处的偏导数均存在，因此点fx (1, 1)4x a(1, 1)fy(i, i)2xy 2(1, i)0因此有4 a 1 0 ,即a 5.因为22x (1, 1)2flx y|(1,1)2 y(1,1)2,2f2y (1, 1)2x(1, 1)2,ACB2 4 2 ( 2)2 4所以，函数f(x,y)在(1, 1)处取得极小值.、选择题(每小题2分，共10分)3 .在点P处函数f(x, y)的全微分df存在的充分条件为( C )(A)fx,fy均存在(B)f连续(C) f的全部一阶偏导数均连续(D)f连续且fx, fy均存在三、计算题(每小题8分，共

12、40分)1.设z z(x, y)是由方程x2 y2 z2解：设 F(x,y,z) x2 y2 z2 2z,则 Fx2z 2x x z xx 2z 2 1 z， x2x 1 z22z所确定的隐函数，计算卫,7的值. x x22x, Fy 2y , Fz 2z 2, . x1 z xzxz x1 z (1 z)2 x2(1 z)2(1 z)2(1 z)34 .求函数u xy yz zx在点(2,1,3)沿着从该点到点(5,5,15)的方向导数.M七人r/ 仆、U0r 3 4 123412斛万向l(3,4,12)l一,一,.cos，cos,cos一13 13 3131313ux(2,1,3) 4,U

13、y(2,1,3)5,Uz(2,1,3)3,z68 ux cos uvcosuz cosl x y z 13证明f(x,y)(x, y)0(x, y)五、证明题(每小题7分，共7分)(0,0)在(0,0)点偏导数存在，但不可微(0,0)证：f(x,0) 0, f (0,y) 0,f (0x,0) f (0,0)fx(0,0)lim -1, lim0 0.x 0xx 0lim f(0,0 y) f(0,0) lim 0 0.yy 0yy 0所以函数f(x, y)在(0,0)处可导 3分lim0zfx(0,0) x fy(0,0) y lim0f( x, y). x ylim -2 20 x y当点

14、P( x, y)沿曲线y kx趋向(0,0)时,k( x)2 x)2 k2( x)2k1 k2显然，当k取值不同是，极限也不相同。所以不存在.yx yx ylim 22 lim 22 lim -0 x y x、( x) ( y) 2xy 2不存在. y 0(这表不当0时，z fx(0,0) x fy(0,0) y o()所以函数f(x, y),在(0,0)点不可微.1213B、填空题(每小题2分，共10分)极限(叫0,2)1 xy 1xy分子有理化设二元函数z exy ,则dz .dz yexydx xexydy二、选择题(每小题2分，共10分)(D) 设函数f (x, y)2xy 2 ,则极

15、限lim f (x, y)x y(x, y) (0.0)不存在.(A) 0.(B)1.(C)2.(D)当点P(x,y)沿曲线ykx趋向(0,0)时,f(x, y) y kx极限也不相同。kx2klim I k； /方显然，当k取值不同是, x 0x2 k2x21 k2所以(x,y)m(0,0) 二元函数f (x, y)在点(x0, y0)处的全微分存在是它在该点连续的 ( A )(A)充分条件.(B)必要条件.(C)充分必要条件.(D)既非充分也非必要条件如果函数在一点可微分，则函数在该点连续三、计算题(每小题8分，共40分)解:3x2y解II :解III22z z 和一2. x y y23y

16、 x,z(x, y)是由方程用隐函数求导公式F x, y,zz x 2 z3x2 3y2,2z2y6xy.ln-所确定的隐函数, y一和二.将z看作x, y的函数，两边对x求导，得:,同理两边对y求导得 y将方程两边求全微分，得:zdx xdz2zdzdy ,解出dz得：dz y2 zy(xz)将z看作2zy(x z)2zy(x z)z dx z xzdyx, y的函数，继续求导，即得二阶偏导数:2z2 x四、应用题(每小题10分,共20分)(1)求旋转抛物面zy2上垂直于直线解：令 F (x, y, z)x2y2yz 15z 30的切平面方程.0z，任取旋转抛物面上一点M(x, y, z),

17、该点的法向量rrn (Fx,Fy,Fz) (2x,2y, 1),已知直线的万向向量 s(3, 4,1)1 2 5因为所求平面的法向量与已知直线的方向向量平行2x 2y 1322 阳 9/25一=一=一，所以 x -，y 2,代入 z x y ,得z 4 341244325所以所求的切平面方程为 3(x 1) 4(y 2) (z 25) 0325或 3x 4y z - 0.4注：已知直线的方向向量也可以按下面的两种方式求1 .把y,z看成是x的函数，在方程组x yx 2yz 15z中对x求导，得则方向向量s (1, 3,3).2 .令 F(x, y,z)dy dx 28 dxdz0dxdz5 -

18、 dxG(x, y,z)dydx dz dx4313x 2y 5z3,直线的方向向量irT)(3, 4,1),(2) 求函数z1在条件8下的最大值与最小值.解令 F(x,y,z) x y 1(x2y2 8),于是由2 一2.即(2,2) , ( 2, 2)为可能的极值点，可能的极值2Fx 12 x 0 x 2Fy 1 2 y 0解得yy 222Fx2y2 8 0z(2,2) 5, z(2,2)3,从而所求函数白最大值是z(2,2) 5 ,最小值是z(2,2)3.五、综合题(每小题10分，共20分)(2)设f(x)是定义在0,)上的连续函数，D是由圆x2 y2 R2和直线y xtan , y 0

19、所围成的区域在第一象限部分( R 0, 0 万).记2F(R, ) f (x y )dxdy,求. DR解：区域D用极坐标表示( , )|0R,0,一 一一R -F(R, )f(x2 y2)dxdyf( 2) d d ° d ° f( 2) dDDR _2_ _2 _R 不(0 d 0 f()d)0 f(R)Rd2f R(0 f(R2)Rd ) f(R2)R.0607高数A一、填空题(每小题4分，共32分)一、 填空题(本题共5小题，每小题4分，满分20分)1. 函数 f (x, y, z) arccos- z的定义域为 .,x2 y2(x,y,z)|z .x2 y2,x2

20、 y2 05.曲面z 4 x2 y2上点P(1,1,2)处的切平面方程为r切平面的法向量 n ( 2x, 2y, 1)|(i,i,2)( 2, 2, 1)切平面方程 2(x 1) 2(y 1) z 2 0 或 2x 2y z 6 0.二、单项选择题 (本题共5小题，每题4分，满分20分)1.考虑二元函数f(x,y)在(xo,yo)点处的下面4条性质：连续，两个偏导数连续，可微，两个偏导数存在若用"P Q”表示可由性质P推出性质Q,则有A (A) ；(C) ；B );(D) .2.坐标原点(0,0)是函数z x2y3 5xy 的B (A)既是驻点也是极值点；(B)驻点但非极值点；(。极

21、值点但非驻点；( D)既非驻点也非极值点AC B xsec 一25 0,所以(0,0)是驻点但非极值点三、计算题一(本题共两小题，满分 15分)xz1. 已知z lntan-,求、 yx22z z j x 1、1 -x 1 2 x (cot)2 COt - 3 CSC -. yxxyy yy y yy y2.已知2x y2 z20 ,求 dz 和 dy.x y z 1 dx dx解：注意y y(x),z z(x).在方程组 x2 y 2z 2 0中对x求导，得 x y z 1xzzyyxzy1dy dz 0dydx dx ,解得 dx dy dz八dz2x2y 2z0一dx dxdx0708高

22、数A一、填空题(本题共 5小题，每小题4分，满分20分)1 .极限 lim *xy 1_1 .(x，y) (0,0) sin xyxy 1 1xy1lim -.(x,y) (0,0) sin(xy) sin(xy)(、xy 1 1) 22 .曲面ezz xy 3上点P(2,1,0) 处的切平面方程为.设 F (x, y,z)ezz xy 3,，一 r切平面的法向量 n(y,x,ez 1)|(2,1,0) (1,2,0)切平面方程(x 2)2(y 1) 0或x 2y 40.二、单项选择题(本题共5小题，每题4分，满分20分)321.设z x 3x y，则匕在点(1,0)处(B ).(A)取得极大

23、值；(B )无极值；(C)取得极小值；(D)无法判定是否有极值2斛: zx |(1,0) 3x3| (1,0) 0 , zy 1(1,0) 2y 1(1,0) 0 .zxx |(1,0) 6x |(1,0) 6, Czyy 1(1,0)2 B zxy |(1,0) 0 ,一一 _ 2AC B 12 0,所以函数在点(1,0)处无极值.三、计算题(本题共两小题，满分 14分)21. (7分)设函数z f(xy,x y),其中f具有二阶连续偏导数，求一.x1(7 分)解：yf1f23分x2z-2x2y 3 2yf12f222.(7 分)设函数x2y2z2解：令 F(x, y, z)2z,Fx2x,

24、Fy2y,Fz2zFxFzFy将z看作x, y的函数，继续求导，得xy(1 z)30809A一、填空题（每小题2分，满分10分)1.极限lim(x,y) (1,0)xy 1 1xy(*(1,0)xy 1 1xy2.曲面z设 F(x, y,z)xy2x2x切平面方程2（x二、选择题（每题2 , ,y 在点(1,1,2)处的切平面方程为rz,切平面的法向量n （2x,2y, 1）|1) 2( y 1) (z 2) 0 或 2x 2y z 2(1,1,2) (2,2, 1) 0.2分，茜分10分）1.函数f （x, y）在（x°, y°）可微是它在该点两个一阶偏导数都存在的(A

25、).（A）充分条件；（B ）必要条件；（C）2.设 z xy 在点（0,0）处（C ）.（A）取得极大值；（B ）取得极小值；（充要条件；（D）C）无极值；（D）、求偏导数或全微分（每小题8分，满分24分）非充分亦非必要条件.无法判定是否有极值.i.设函数z x42y4 4x2y2,求 dz 和一2 . x解:4x3dz3(4x8xy2, 4y3 8x2y, yc 2、，/3 c 2、，8xy )dx (4 y 8x y)dy,一(4 x3 8xy2) i2x2 8y2. x2.设zu2 ln v,u3x 2 y,解： x当n 3x y2y3x3x2-T2，2y y2x2 .一 一3- ln

26、3x 2 y y3x2x22y y2z(x, y)由 zf (xyz, xz）确定,有一阶连续偏导，求解:设 F(x,y, z) zf(xyz,xz).则Fx(fiyz f2),Fy(fixz f2),Fz1 (fi xy f2)FxFzyzfi六、(8分)解:1 (xyfif2)'求函数f (x, y)fx(x, y)(6解方程组x' ,“,FyFzxzf1 f2i (xyfifz)(6x)(4yy2）的极值2x)(4 yfy(x, y) (6x x2)(4y2)2y) x 3 x 0求得以下五组解；y 2 y 0x0xy4； y64,于是驻点(0,0)；(0,4);(6,0

27、);(6,4);(3,2)，又.,、_2 ,fxx(x,y) 2y 8y;fxy(x, y) 4(x 3)(y2)； fyy(x,y)2x2i2x,所以i.在(0,0)处 Afxx(0,0)0,B fxy(0,0)24,Cfyy(0,0)0,AC B2_ _ 2240,故f(0,0)不是极值;2.在(0,4)处 Afxx(0,4) 0,Bfxy(0,4)24,Cfyy(0,4) 0AC B2242 0,故 f (0,0)不是极值；3 .在(6,0)处 A fxx(6,0)0,Bfxy(6,0)24,C fyy(6,0)0AC B2242 0,故 f (6,0)不是极值；4 .在(6,4)处 A

28、 fxx(6,4) 0,Bfxy(6,4) 24,C fyy(6,4)0_22AC B 240,故f (6,0)不是极值；5 .在(3,2)处 A fxx(3,2)8 0,B fxy(3,2)0,C fyy(3,2)18_2AC B 144 0,故函数在（3, 2）点取得极大值，极大值为36.综上所述，函数的极大值为36,无极小值.0910高数A一、填空题（每小题3分，共18分）1.设 ez xyz 0 ,贝ij -zxz yz. zx e xy3.函数z x2 y2的全微分为 2xdx 2ydy二、选择题（每小题3分，共18分）4.曲面 瓦 亚 丘 73在任一点处的切平面与坐标轴的截距之和为

29、 B （A）内；（B） 3 ;（三、计算题（每小题8分，共32分）21.设z sin二，求. y x y2加 z 1 xz斛：一 一cos 一；x y yx y四、应用题（每小题8分，共16分）2221.在已给的椭球面与44a b cC) 9;( D) 1.1x x . xcos rSin y2y y3 y1内的一切内接长方体（各边分别平行于坐标轴)中，求其体积最大者.解：此题是条件极值，约束条件是内接于椭球面由椭球的对称性，不妨设 (x, y,z)是该球面上位于第I卦限的任一点，则约束条件为2 y_ b21,本题不易变为一元函数,采用拉格朗日数乘法解之。设内接长方体的相邻边长为2x,2y,2

30、z(x, y, z 0),其体积为:V 8xyz.构造拉格朗日函数L(x, y,z, ) 8xyz2 (土 1 2a2 y_ b2求得(x, y, z)Q 8abcV 8xyz =33六、(8分)设函数f (u)在(0,+ 2z f(Jx2 y2)满足等式z x)内具有二阶偏导数，且2 z-2y0.验证f (u)工蚂0; u0, f 1,求函数f (u)的表达式.解：x2(u)；2 z-2" x(-)2 fu(u)f (u)2x3 f (u) .23u同理,2 z-2 y(u)If u(u)2由"x(u)1f u(u)0.设f (u)p,f (u)dp du则原方程化为:d

31、pdudppduuf (u)由f1,得C=1.是 f (u) ln | u | Ci代入 f(1)0得：C=0.函数f(u)的表达式为：f(u) ln|u|81011高数A一、填空题(每小题3分，共15分).,sin(xy)1 、lim .(x,y) (0,2) x2二、选择题(每小题3分，共15分)fy(X0,y0) 0 则(B1、设可导函数f (x, y)满足fx(x0, y0)A、(x0,y0)是f(x, y)的极值点B、(x°, y°)是 f (x, y)的驻点C、(x0,y。)是 f(x,y)的三、求下列函数的导数(每小题D、f (x,y)在(x0,y0)处可微分

32、6分，共18分)0y, z z1、已知z arctan ,求, x x yy_1解：工 x2匕二 x x.22 ,.22x 1 (y)2 x y y 1 山2 x y xx2、已知 ez xyz 0,求一z,-z x' y解：设 F(x,y, z) ez xyz.则 Fx yz,Fyxz, Fzez xy ,zFxyzzFyxzz 'xFze xy yFze xy3、已知zf(xy,x22、 ， zzy )，求，一xy解： 卫 yf1 2xf2,卫 xf1 2yf2. xy1112高数A一、填空题(每小题2分，共10分) 极限,吗01、选择题(每小题2分，共10分)(1)函数f

33、 (x, y)在点(x0, y0)处的全微分存在的充分条件是(x2Zsin y ,求一， x解：解方程组求得解12,于1C )(A) f(x,y)在点(x0,y0)处的两个一阶偏导数都存在.(B) f(x,y)在点(x0,yo)处连续.(C) f(x,y)在点(xo,yo)处的两个一阶偏导数都连续.(D) f(x,y)在点(x0,y0)处连续并且两个一阶偏导数都存在.(2)设z x2 y3,则它在点(0,0)处 (B)(A)取得极大值.(B) 无极值.(C)取得极小值.(D)无法判定是否有极值.,、一,Zx 2x 0 一 x 0解：解万程组2，求得解.于是驻点(0,0),又Zy 3y 0y 0

34、fxx(x, y) 2;fxy(x, y) 0; fyy(x, y) 6y,所以在(0,0)处 A fxx(0,0)2, B fxy(0,0)0,C fyy(0,0)0,AC B2242 0, (0,0)可能是极值点，也可能不是极值点但是在(0,0)附近函数有大于0的点也有小于0的点.所以在(0,0)处无极值 三、计算题(每小题10分，共40分)22二和一.y x y yZZ2(1) 解： 2xsin y , x cosyxy22ZZ 22xcosy, 2x sin y 10分x yy求函数f (x, y) e2x(xy22y)的极值.fx(x, y) e2x(2x 2y2 4y 1) 0fy(x,y) e2x(2y 2) 0八、，1是得唯一驻点(,，1),又2一 .、 2x .2 一 、一2x一一 2xfxx(x,y) e (4x 4y 8y 4); fxy(x,y