同步讲义8导数及其应用复习课(文)

1、国 华罗庚数学为全国学生提供优质教育导数及其应用复习课殍习目标】1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等的问题.2.掌握初等函数的求导公式，并能够综合运用求导法则求函数的导数.3.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值.4.会用导数解决一些简单的实际应用问题.知识梳理知识点一在x=xo处的导数函数 y = f(x)在 x= xo处的瞬时变化率是 lim ?= lim fx0+ )一f-x0-,我们称它为函数y=f(x)在Ax-0 瓜 M 04x= xo处的导数.2.几何意义：函数y=f(x)在x=xo处的导数是函数图象在点(xo, f(xo)处的切线斜率.知识点

2、二导函数当x变化时，f (x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数),f x+ Ax f xf (x)=y = limZ.氏一02知识点三基本初等函数的导数公式原函数导函数y= c(c为常数)y =0y=x(aC Q*)y = a 1 1y= sin xy = cos_xy= cos xy = sin_x_x y= ay，= axln_a(a0)_x y= e_x y = ey= logaxy =xln a(a0 且kDy = ln x1y =J x知识点四导数的运算法则和差的导数f(x)力(x)= fx) 力，x)积的导数f(x) g(x) =f x)g(x)+f(x)gz

3、x)商的导数f x , f xgxfxg x；2(g(x)卞 0)g xg x 2即，知识点五 函数的单调性、极值与导数1 .函数的单调性与导数在某个区间(a, b)内，如果f (x)0,那么函数y = f(x)在这个区间内单调递增；如果f (x)f(x),当x0,当xa时，f (x)0,则点a 叫做函数的极大值点，f(a)叫做函数的极大值；(2)极小值：在点x=a附近，满足f(a)wf(x),当xa时，f (x)a时，f (x)0,则点a叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值.知识点六 求函数y=f(x)在a, b上的最大值与最小值的步骤1 .求函数y=f(x)在(a, b)内的极值.

4、2 .将函数y= f(x)的各极值与端点处函数值f(a). f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.题型探究类型一导数几何意义的应用1 一例1设函数f(x) = 1x3+ax2-9x- 1(a0),直线l是曲线y=f(x)的一条切线，当l的斜率最小时，直 3线l与直线10x+y= 6平行.(1)求a的值;(2)求f(x)在x= 3处的切线方程.反思与感悟 利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出.常见的类型有两种,类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为

5、Q(Xi,yi),由y二义=f (Xi)X0 xi和yi = f(xi)求出xi, yi的值，转化为第一种类型.跟踪训练1已知直线y=kx是曲线y=ex的切线，则实数k的值为()A.1B. -C.eD.eee类型二函数的单调性与导数4 .例2已知函数f(x)= ax3+x2(aC R)在x= 同处取得极值.3(1)确定a的值；(2)若g(x) = f(x)ex,讨论g (x)的单调性.反思与感悟(1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间.(2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价.(3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集.(4)求参数的范围时常用到分离参数法.跟踪训练2

6、 已知函数f(x)=x3ax1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求a的取值范围；(2)是否存在实数a,使f(x)在(1,1)上单调递减，若存在，求出 a的取值范围，若不存在，请说 明理由.类型三函数的极值、最值与导数 例3 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,过曲线y=f(x)上的点P(1, f(1)的切线方程为 y= 3x+ 1, y = f(x)在x= - 2时有极值.求f(x)的表达式；(2)求y = f(x)在3,1上的单调区间和最大值.反思与感悟(1)已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义.(2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即 f (x)的正负

7、.(3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者.跟踪训练3已知函数=4+a-ln x-2,其中aCR,且曲线y=f(x)在点(1, f)处的切线垂直于直线y=2x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值.类型四分类讨论思想聪明在于勤奋，天才在于积累4国华罗庚数学为全国学生提供优质教育例4已知函数f(x) = ln31. x(1)试判断函数f(x)的单调性；(2)设m0,求f(x)在m,2m上的最大值；(3)试证明：对？ nC N*,不等式ln(士产)豆产反思与感悟(1)分类讨论即分别归类再进行讨论，是一种重要的数学思想，也是一种逻辑方法，同时又

8、是一种重要的解题策略.(2)解题时首先要思考为什么分类，即分类依据是什么，一般的分类依据如：方程类型、根的个数及 与区间的关系、不等号的方向等；其次考虑分几类，每一类中是否还需要分类.(3)分类讨论的基本原则是不重不漏.跟踪训练4 已知函数f(x)= (4x2+4ax+a2)以,其中a0.(1)当a=4时，求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)在区间1,4上的最小值为8,求a的值.当堂训练)1曲线y=sn言政一2在点M 4 0处的切线的斜率为(1r 1八 .眨A . - 2B.2C. - 23.体积为16兀的圆柱，它的半径为圆柱的表面积最小.2.如果函数f(x)的图象如图所示，那么导函数

9、y=f4 .已知函数f(x) = x3+x,对任意的mC 2,2,f(mx 2) +f(x)0的解集为(4.已知函数f(x)= + 2ax2+3x(a0)的导数f (x)的最大值为5,则在函数f(x)图象上的点(1, f(1)处的切线方程是()D. 3x-y+1 = 0A. 3x-15y+ 4= 0B. 15x-3y-2 = 0C. 15x3y+2=0一 一一一，一 一一一 3 c5,函数f(x)= ax3+bx2+cx+d的图象如图，则函数 y= ax2+；bx+1的单倜递23增区间是()/合、：iA. ( 8, 2 B. 2, + ) C. -2,3 D.卓 +8)-6 .设函数y=f(x)在(a, b)上的导函数为fz (x), f (x)在(a, b)上的导函数为f (x),若在(a, b)上，f (x)0)在1, +8)上的最大值为 卷,则a的值为 X 十 a、310,若函数f(x) = (mx 1)ex在(0, +)上单调递增，则实数 m的取值范围是 .三、解答题11 .已知曲线y=x3+x2在点Po处的切线li与直线4xy1 = 0平行，且点Po在第三象限.求Po的坐标；(2)若直线1,11,且l也过切点Po,求直线l的方程.12 .已知函数f(x)= ax3+bx22x+c在x= - 2时有极大值6,在x= 1时有极小值.(1)求a, b, c的值；(2)