双曲线导学案及答案

1、2014级高三理科数学导学案 平面解析几何编制：高春芳审阅：厉强第二讲双曲线（2课时）班级 B名【考试说明】1.了双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、）2.理解数形结合的思想.3. 了解双曲线的简单应用.【知识聚焦（必须清楚、必须牢记）1 .双曲线定义平面内与两个定点Fi, F2的 等于常数（小于|FiF2|）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做,两焦点间的距离叫做.集合P= MilMF|MF|=2a, |FE|=2c,其中a, c为常数且a0, c0.（1）当 时，P点的轨迹是双曲线；（2）当 时，P点的轨迹是两条射线；（3）当 时，P 点不存在

2、.2 .双曲线的标准方程和几何性质标准方程22x y - 八， 02 b2= 1 ( a0, b0)2222= 1 ( a0, b0)图形y篆沁性质范围对称性顶点渐近线离心率实虚轴线段AA2叫做双曲线的实轴，它的长| AA2| =;线段BR叫做双曲线的虚轴，它的长 |BB| =; a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c 的关系c2=( ca0, cb0)3实轴和相等的双曲线叫彳等轴双曲线 .离心率e=42是双曲线为等轴双曲线的充要条件，且等轴双曲线两条渐近线互相垂直.一般可设其方程为x2 y2=入（入w 0）.22224.巧设双曲线方程 与双曲线孑一看=1 （ a0, b0）

3、有共同渐近线的方程可表不为02一b2= t（ t吃0）,（2） 过已知两个点的双曲线方程可设为+ yn= i（ mi0, b0）的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为（D. 22 . （2015 安徽）下列双曲线中，渐近线方程为丫=2*的是（）22A . x2-y4= 1-y2= 1C . x2-2= 1-y2= 12014级高三理科数学导学案平面解析几何编制：高春芳审阅：厉强22223 . （2014 广东）若实数k满足0k0）的一个焦点，则点 F到C的一条渐近线的距离为 5 .（教材改编）经过点A（3, 1）,且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为 6 .设双曲线与一y=

4、1（a0）的渐近线方程为 3x2y= 0,则a的值为（）a 92222兀 x yyx-7 （ 2013 湖北）已知 0 e 0,b0）的一条渐近线平行于直线l : y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）匕1 20直=1100应=125总结反思变式题（1）（2015 课标全国n ）已知双曲线过点 （4 , J3）,且渐近线方程为y= 2x,则该双曲线的标准方程为5（2）设椭圆G的离心率为 ,焦点在x轴上且长轴长为26,若曲线G上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值13等于8,则曲线C2的标准方程为 .探究点三双曲线的几何性质22例3 （1）过双曲线勺一=1（a0,

5、 b0）的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A与另一条渐近线交于点B,a b若FB= 2FA则此双曲线的离心率为（）x2 y22(2)(20i5 山东)平面直角坐标系xOy中，双曲线C：孑b2=i(a0, b0)的渐近线与抛物线 G： x2= 2py( p0)交于点O, A, B若AOAB勺垂心为。的焦点，则 。的离心率为总结反思22变式题(i)(20i5 重庆)设双曲线a2-b2=i(a0, b0)的右焦点是F,左，右顶点分别是Ai, A,过F作AA的垂线与双曲线交于B, C两点，若AB AC,则该双曲线的渐近线的斜率为 ().iD. 土 2(2)(2015 湖北)将离心率为ei的双曲线

6、G的实半轴长a和虚半轴长b(awb)同时增加m(m0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2,则(A.对任意的a,b, eib 时，eie2；当 a金C.对任意的a,b, eie2D.当 ab 时，eie2；当 ab 时，ei0)的离心率等于 J2,直线y= kx I与双曲线E的右支交于 A, B两点. a求k的取值范围;若|AB=643,点C是双曲线上一点，且 Oc= mO& OB,求k, m的值.总结反思 变式题已知双曲线C的两个焦点分别为 Fi（2,0） , F2（2, 0）,双曲线C上一点P到Fl, F2的距离差的绝对值等于 2.（1）求双曲线C的标准方程；（2）经过点M（2,1）作

7、直线l交双曲线C的右支于A, B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程；已知定点Q1,2），点D是双曲线C右支上的动点，求| DF| 十| DG的最小值.2014级高三理科数学导学案平面解析几何编制：高春芳审阅：厉强【课后作业】1. （2015 广东）已知双曲线 C:2x-2 a2y 12=1b的离心率5 一 一 ,1e = 4,且其右焦点为F2（5,0）,则双曲线C的方程为（）24=12.设直线l过双曲线C的一个焦点，且与 C的一条对称轴垂直，l与C交于A, B两点，|AB为C的实轴长的2倍,则C的离心率为（）C. 2D. 3223. （2014 江西）过双曲线C: ,3=1的右顶点作x轴的

8、垂线，与 C的一条渐近线相交于点 A若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A, O两点（O为坐标原点），则双曲线 C的方程为（）122i=i4. （2015 课标全国I ）已知 MX0, y0）是双曲线C:2一y2= 1上的一点，Fi, F2是C的两个焦点，若 前就b10）的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为e2.则ee2等于（）e1；双曲线22x ya2-b2=1 (a20，ba0)B.1D226.已知F为双曲线C: X9七=1的左焦点,P, Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5, 0）在线段PQ上，则 PQFF勺周长为227.

9、已知双曲线X-= 1的一个焦点是（0,2）m 3m 22，椭圆上篙1的焦距等于4则仁28 .若点O和点F（ -2,0）分别为双曲线 条一y2=1（a0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则O?由的取值范围为229 . （2014 浙江）设直线x-3y+m= 0（m0）与双曲线2=1（a0, b0）的两条渐近线分别交于点A, B若点R m,0）满足| PA = | PB ,则该双曲线的离心率是 .、- X2210 .已知椭圆 G的方程为w + y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是 G的左、右顶点，而 C2的左、右顶点分别是 C的左、右焦点.（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l ：

10、y=kx + V2与双曲线G恒有两个不同的交点 A和B,且OA-Ob2（其 中O为原点），求k的取值范围.双曲线参考答案【基础回眸】1.答案A解析由题意得 b=2a,又 a2+b2=c2,，5a22= c2. e2=ae= 5 . . e=J52.答案A解析由双曲线渐近线方程的求法知：双曲线2x2-y4= 1的渐近线方程为 y=2x,故选A.3.答案A解析因为0k0),其渐近线方程为y=等,即四户士(不妨选取右焦点F(43 3, 0)到其中一条渐近线 x- Jmy=。的距离求解，得 d=mm1=3 =，3.5.22x-y=1解析设双曲线的方程为8 82222当y2= 1( a0),把点A(3

11、, 1)代入，得a2= 8,故所求方程为y=1.a a88解:由双曲线方程可知渐近线方程为,3 一一y= -x,又 a0,可知 a= 2.故选 C.a解:易知双曲线 G实轴长为2cos 0 ,虚轴长为12sin ,焦距为2,离心率为右方,双曲线C2实轴长为2sin ,虚轴长为2sin 0 tan 0 ,焦品巨为 2tan7tCOST, 又 00,解得入 V 2【典例精讲】例 1 1.x2 y=1(xW 1)81.解析 如图所示，设动圆 M与圆C1及圆C2分别外切于 A和B根据两圆外切的条件，得 |MC | AC| =| MA, | MC | BC| =|MB, 因为 | MA = | MB,所

12、以 | MC | AC| = | MC| | BC| ,即| MC |MC| = | BC| | AC| =2,所以点M到两定点G、C2的距离的差是常数且小于 | GG| = 6.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与G的距离大，与 C的距离小)，2其中a=1, c= 3,则b2=8.故点M的轨迹方程为 x24= 1(xw- 1).8例2解(1)设双曲线的标准方程为22或 / 一1( a0,b0).由题意知,2b=12, e= - = 7.b= 6, c= 10, a= 8.a 4双曲线的标准方程为64 36=1 或工=1.64 36(2)设双曲线方程为mA ny2= 1(

13、mr0).9m- 28n= 1,72m- 49n= 1,1 75, 解得1n25.22，双曲线的标准方程为25-75= 1.解：由题意可知，双曲线的其中一条渐近线y=bx与直线y= 2x+10平行，b= 2.又双曲线的一个焦点在直线l上,aa，一2c+10=0, c= 5. a2+b2= c2= 25.将 b= 2a 代入上式得 a2 = 5, b2 = 20,故双曲线的方程为 一上=1.5 20I、 生告x 2x y变式 答案(1) 了一 y = 1(2)而一3=1解析(1)由双曲线渐近线方程为1y=2x,可设该双曲线的标准方程为x22-4 y =入(入w0),已知该双曲线过点 (4 ,2/

14、y = 1.#)，所以44(m)2=入，即入2x=1,故所求双曲线的标准方程为-(2)由题意知椭圆 G的焦点坐标为F1( 5,0) , F2(5,0),设曲线G上的一点P,则| PF|PF2| =8.2222由双曲线的定义知：a=4, b= 3.故曲线C2的标准方程为 一y2= 1.即2一y = 1. 43169例 3 答案(1)C (2) 3解析(1)如图，FB= 2Fa,.A为线段BF的中点，/ 2=/3.又/ 1 = / 2,，/ 2 = 60 ,= tan 60 =、的,e2= 1 + (才2= 4,e= 2.,”一 ，、一，、一r ,b j ,，、一r ,b ,(2)由题意，不妨设直

15、线 OA的方程为y=-x,直线OB勺方程为y=-x.由 aaby=yax2= 2py,2- b得 x = 2p - -x, a_22Pb2Pb . x =, y = -2-aa2Ap-,警.设抛物线G的焦点为F,则F 0,号，.2pb2 p-a22 kAFr |_ .2pbaF, AR OBkAF k0B= 1 ,2pb2 p22pb= -1, ,b25皿2 c2孑=4. 设。的离心率为e,则e =孑=a2 + b22-a.5 93= 1 + 4=4. - =2.变式答案(1)C(2)B2. .一x解析 (1)如图，双曲线fa2yb2=1的右焦点 F(c, 0),左，右顶点分别b2易求B c,

16、 1 aCc,b2a ，生 a则 kA?C= a- cb2 a _. 一一.,kAB=，又AiB与AC垂直, a+c为 Ai( a, 0), A2( a, 0),b2 a 则有 kA1B- kA2C= 1,即，a+ cbb4一-2aa22口 =T，=1，b，即a=b, .渐近线斜率bk= 一= 1.ab+ m 2b b+ m1+2.不妨令 e1e2,化间得一0),得 bnfam 得a+ ma a+ mba时，有b b+m .b b+m .aaZm 即 e1e2；当 ba 时,有 aaTm即 e1/3._= V2 a= i,(2)解由a 得2_2a2 = c2 i，故双曲线E的方程为x2y2=

17、1.设A(xi,y = kx i, yi), Rx2, v* ,由 x2_y2_i得(1 k2)x2+2kx 2=0.(*)直线与双曲线右支交于 A B两点,ki, =2k 24 i -k2 x -2 0,ki,即 所以ikJ2. -A/2kA/2,故k的取值范围是kikV2由(*)得xi + x2=2kk2-i，xix2= k2- i，I AB =寸i + k ,7 xi + x2 /- 4xix2 = 2i + k22 k2-k2_ i 2= 6V3,整理得28k4 55k之 +25= 0,k?=7或k?=4,又 ik| GF|+2,当且仅当 G D, F2三点共线时取等+ 22 = ,所

18、以 | DE| + | D（P + 2| GF| +2 =木+2,故 | DF| 十 | DG 的最小值为，5+2.【必做题】1. C解析因为所求双曲线的右焦点为F2(5,0)且离心率为e= -7,所以 c= 5, a = 4, b2=c2a2 = 9,所以所求 a 4双曲线方程为16y=1,故选C. 92.答案 B22解析 设双曲线的标准方程为 |z-b2=1(a0, b0),由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程x2 y22,2c2b4为：x=c或x=一c, 代入孑一$= 1得 y =b （孑1）=孑b2 皿2b2_ 2b2，,y=/故1AB =，依题意高=4a，b2,

19、c2a2-2= 2 ） . 2aa=e 1=2, e= 3J33 .答案 A解析x= a,由 by = - -x, a ，x= a.得，Na, - b).由题意知右焦点到原点的距离为c=4,y=- b,2一a 42+二b2 =4,即（a4）2 + b2= 16.而 a2+b2= 16,，a= 2, b=23.，双曲线 C的方程为2 法1.4 .答案 A解析 由题意知 a= b= 1, c=V3, . . Fi（ -/3, 0）, F2（V3, 0）,，前=（-V3-x0,y。，Mfe= （V3-x0,-y0）.IMF -Mfe0,，（ 一 # x）（m一x。）+ y20,即 x03+y20.丁点 Mx, y）在双曲线上，0-y0= 1,即 x0=2+ 2y2, 2+2y23+y00,椭圆的焦距为 4,所以c2=n1=4或 1- n=4,解得n=