考研高数笔记

1、.第一章函数、极限、连续第1节函数a) 反函数和原函数关于 y=x 对称。b) 只有定义域关于原点对称的函数才能讨论奇偶性。c) 多个奇函数之和为奇函数；多个偶函数之和为偶函数。d) 2k 个奇函数的乘积是偶函数； 2k+1 个奇函数的乘积是偶函数；任意个偶函数的乘积还是偶函数。 (k=0,1,2.)。e)如果 f(x)是周期函数，周期为T，则 f(ax+b)也是周期函数，周期为|T/a| 。f) 基本初等函数包括：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。初等函数即上述五大类函数，以及它们有限次的四则运算与复合而成的函数。g) 一切初等函数在其定义域内都是连续的。第2节极限a)左右极

2、限存在且相等极限存在。b)如果函数在 X0 极限为 A，则可以将函数改写为f(X)=A+(x)，其中 lim (x) = 0 。x x0（等价无穷小）c)极限存在极限唯一。（极限唯一性）d)lim f (x)A ，且 A>0，则在 x 的邻域内， f(x)>0。（保号性）x x 0e)函数 f(x)在点 x=x 存在极限， 则存在该点的一个去心邻域U，在 U 内 f(x)有界。（有0界性）f) 当 limf(x)=A ， limg(x)=B ，那么lim(f(x)+g(x)=limf(x)+limg(x)=A+Blim(f(x)-g(x)=limf(x)-limg(x)=A-Bli

3、m(f(x)*g(x)=limf(x)*limg(x)=A*Blim(f(x)/g(x)=limf(x)/limg(x)=A/B limg(x)不等于 0lim(f(x)n=(limf(x)n=Anlim(f(x)g(x)=Ab（极限的四则运算）g) 有限个 无穷小 之和 仍然是无穷小。 有限个 无穷小 之积 仍然是无穷小。 无穷小和 有界量乘积仍然是无穷小。h) lim f ( x) =lg ( x )i. l=0 ， f(x)=o(g(x).;.ii. l= ， f(x) 是 g(x) 低阶 .iii.0<l< 或 - <l<0 ， l 1，同阶 .iv. l=1

4、，等价无穷小，记作f(x) g(x).特别的，如果f ( x)lim g ( x) k =l(l 0) ，则称 f(x)是 g(x) 的 k 阶无穷小。i) 等价无穷小代换：x 0 时， x sinx tanx arcsinx arctanx ex-1 ln(1+x)1-cosx 1 x2= 1-cos x x2221 x -1 1 x = (1 x)-1 x2tanx-x 1 x33x-sinx 1x36特殊的， x 0 时 ax-1 xlnaj) 只有因子才能进行等价无穷小的代换。k) 要注重推广形式。例如【 x 0 时， x sinx 】，如果当 x x0 时， f(x) 0，那么将原式

5、中 x 换成 f(x) 也成立。l) 求极限的方法：i. 利用函数的连续性（极限值等于函数值）。利用极限的四则运算性质。ii. 抓头公式（处理多项式比值的极限）。1. 抓小头公式。（ x 0）2. 抓大头公式。（ x）（分子分母同除最高次项）（极限为【最高次项的系数比】）iii. 两个准则：1. 夹逼准则2. 单调有界必有极限;.iv. 两个重要极限：1.limsinx=1（利用单位圆和夹逼准则进行证明）x 0x112.lim (1) xelim (1 x ) x e（利用单调有界准则进行证明）xxx 0口诀：倒倒抄。（结合抓头公式）v.无穷小的运算性质、等价无穷小的代换1. 有限个无穷小之和

6、为无穷小。 有限个无穷小之积为无穷小。 无穷小与有界量乘积为无穷小。2. 12 种等价无穷小的代换。vi. 左右极限：求分段函数分段点的极限值。vii. 利用导数的定义求极限。导数定义：增量比，取极限。构造出“增量比”的形式，则极限就是导数。viii. 定积分的定义求极限。（处理多项求和的形式）ix. 泰勒公式1. 泰勒公式中系数表达式：2. 当 =0 的时候，泰勒公式则称为麦克劳林公式。常用的麦克劳林公式：exsinxcosxln(x+1)(1+x)mx. 洛必达法则使用前提：（ 1）分子分母都趋向于 0。（ 2）分子分母的极限都存在。（ 3）分子分母导数的比值为一个定值或为无穷。第一层次第

7、二层次0* ：转换成或 - ：通分化为 （常用换元的方法求解）第三层次;.使用进行转化。第 3节 连续与间断a) 连续某点：极限值 =函数值函数在该点连续开区间：在该区间中每个点都是连续的，则在开区间连续。闭区间：开区间连续切在端点连续b) 间断第一类间断点（左右极限都存在）可去间断点：左右极限相等跳跃间断点：左右极限不相等第二类间断点（左右极限至少有一个不存在）无穷间断点：因趋于无穷而造成的不存在。振荡间断点：因振荡而不存在。c) 初等函数的连续性i. 基本初等函数在相应的定义域内连续。ii.区间 I 上的连续函数做四则运算形成的新函数在I 上仍然是连续函数。iii. 连续函数经过有限次的复

8、合仍为连续函数。iv. 原函数连续且单调，反函数必为连续且单调。v. 一切初等函数在相应定义区间内连续。d) 闭区间连续函数的性质如果 f(x)在 a,b 连续，则：1. f(x)在 a,b 有界。2. 有最大最小值3. 介值定理4. 零点定理： f(a)*f(b)<0 ， a、 b 之间必有零点。第二章一元函数微分学第 1节 导数与微分1 导数a) 导数定义：增量比，取极限。b) 左导数和右导数存在且相等导数存在;.c) 函数在某点的导数值即函数在该点的切线的斜率。d)导数的物理意义：对路程函数中的t 求导为瞬时速度.etce) 导数的经济意义：边际成本、边际收益、边际利润。f) 函数

9、的相对变化率（弹性）：g) 可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导。h) 偶函数的导数是奇函数。2 微分微分定义：自变量沿着切线方向的增量。3 求导法则a) 导数微分表（ 4 组 16 个）。b) 导数的四则运算。c) 反函数的导数：原函数导数的倒数。d) 复合函数求导法则。e) 参数方程求导：f)隐函数求导：左右两侧同时求导，y 当作 x 的函数处理。g) 对数求导法i.幂指函数：先将等式两边同时化为ln 的真数，再运用隐函数求导法则。ii. 连乘函数：先将等式两边同事化为 ln 的真数，变成连加，再运用隐函数求导法则。4 高阶导数a) 莱布尼茨公式：b) 反函数的二阶导数：c) 参数

10、方程的二阶导数：;.第 2节 微分中值定理1 罗尔中值定理条件：（ 1） f(x)在 a,b 连续。（ 2） f(x)在 (a,b)可导。（ 3） f(a)=f(b) 。结论：在 a 和 b 之间必有一个值使得 f ( )=0。几何意义：在该条件下的函数，必可在在其区间内找到一点使得切线斜率为0。引申 - 费马引理y=f(x)，若 x0 为 y=f(x)的极值点，则f(x0)=0。2 拉格朗日中值定理条件：（ 1） f(x)在 a,b 连续。（ 2）f(x) 在(a,b)可导。结论：在 a 和 b 之间必有一个值使得 f ( )=。几何意义： 在该条件下的函数， 必可在其区间内找到一点使得切线

11、斜率与端点连线斜率相等。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广。证明：使用曲线减去两端点连线得出一个函数，再对该函数应用罗尔中值定理。使用该定理的信号：要求证的式子中有一个端点处函数值之差。3 柯西中值定理条件：（ 1） f(x)、 g(x)在 a,b 连续。（ 2）f(x)、 g(x)在 (a,b)可导。且 g(x)0结论：在 a 和 b 之间必有一个值使得。柯西中值定理是拉格朗日中值定理推广。证明：使用参数方程， 将 f(x)和 g(x)作为参数表示。 证明过程与拉格朗日中值定理相同。使用该定理的信号：要求证的式子中有两个端点处函数值之差。4 泰勒中值定理泰勒中值定理即带有拉格朗日余项的泰勒

12、公式。;.拉格朗日中值定理是带有拉格朗日余项的泰勒中值定理的特例。使用该定理的信号：高阶导数。使用方法： （ 1）确认 n 的取值，一般根据高阶导数的阶数选取。 （ 2）确认 x0 的取值，一般选取题中已知导数值的点。（ 3）确认 x 的取值，一般为题中所给已知值的点或端点和极值点。第 3节 微分学的应用1 单调性、极值单调性：f (x)>0的区间， f(x)单调增的区间；f (x)<0的区间， f(x)单调减的区间。极值：极值点和导数为零的点没有充要条件关系。可导函数 的极值点，对应的导数值为0。（费马引理）驻点（导数为0 的点）不一定是极值点。第一判定法：若在的邻域内，左右导数

13、异号，则是一个极值点。第二判定法：为驻点，且在处， f(x)的二阶导数存在。通过二阶导数的符号进行判定。2 最值（闭区间）最值可能出现在（1）极值点（ 2）区间端点。3凹凸、拐点凹凸：视觉定位：俯视凹函数：凸函数：凹函数： f >0(x) 凸函数： f (x)<0拐点：可能出现在f =0(x)或 f 不(x)存在的点， 但不一定是 。4渐近线;.水平渐近线：当f(x)趋向于时，极限存在，则该极限为水平渐近线。铅直渐近线：当f(x)趋向于时，极限趋向于，则为该函数的铅直渐近线。斜渐近线： 当 f(x)趋向于时，f(x)-(kx+b)=0 ，则 (kx+b)为该函数的斜渐近线。其中，k

14、=，b=。5 函数图像的描绘利用极值点、拐点、与坐标轴交点、单调性、凹凸性、渐近线进行描绘。6 曲率弧微分： ds=曲率即：角度在单位弧长的变化。曲率：K=曲率半径：=曲率圆：从弧上某点出发，向凹侧沿法线方向移动即得到曲率圆的圆心。第三章一元函数积分学第 1节 不定积分(一) 定义1.F (x)=f(x)，称F(x)为 f(x)的原函数。 F(x)+C =f(x)，称 F(x)+C 为 f(x)的原函数组。2.为 f(x)的不定积分。(二) 性质1.2.;.3.4.(三 ) 基本几分公式24 个公式 =13（基本导数表）+11（常用公式）(四 ) 积分方法1.凑微分法（第一换元法）C有 13

15、个常用公式。2.换元法（第二换元法）=F(t)+C=F可导且存在反函数。（根式换元、三角换元、倒代换）3.分部积分法口诀：反对幂指三，谁先出现谁留下。第 2节 定积分(一 ) 定义：分割，近似，求和，取极限。几何意义：曲线与x 轴所围面积的代数和。(二 ) 性质：1.2.3.4.5.6.若 f(x) 0，x a,b ，则;.7. 若 f(x) g(x) ， x a,b ，则8.mf(x) M， x a,b ，则 m(b-a) M(b-a)(三 ) 基本定理1.积分中值定理：f(x)在 a,b 连续，则在 a,b 中存在一点，使得常把 f(称为积分平均值。2.变限积分：函数变上限变下限3.牛顿

16、-莱布尼茨公式:F (x)=f(x)则第 3节 反常积分（广义积分）定积分：（ 1）有限区间。（2）区间内有界。(一 ) 无穷区间上的广义积分，若极限存在， 称广义积分是收敛的。若极限不存在，称广义积分是发散的。，若极限存在，称广义积分是收敛的。若极限不;.存在，称广义积分是发散的。，若两个广义积分极限都存在，称原广义积分是收敛的。若至少有一个广义积分极限不存在，称原广义积分是发散的。常用公式：当 P>0 时收敛，值为。当 p>1 时发散。(二 ) 无界函数的广义积分（瑕积分）f(x)在 a 点无界：，若极限存在，称积分收敛。若极限不存在，称积分发散。f(x)在 b 点无界：，若极

17、限存在，称积分收敛。若极限不存在，称积分发散。f(x)在 c 点无界：，若两个广义积分极限都存在，称原广义积分是收敛的。若至少有一个广义积分极限不存在，称原广义积分是发散的。第 4节 定积分的应用(一 ) 微元法： U1.确定变量x，确定 x 的范围 a,b 。2.dxDu=f(x)dx3.U=(二 ) 几何问题1.面积：（ 1）直角坐标系（ 2）极坐标系： S=极坐标系转化为直角坐标系：,2.体积：（1）截面面积已知的几何体的体积：V=;.（ 2 ）旋转体的体积：绕x 轴转： V=；绕y 轴转： V=V=3.曲线的弧长（1）参数方程：S=dt（2）直角坐标系：S=dx（3）极坐标系：S=d(

18、三 ) 物理问题运用微元法三步求解。第四章多元函数微分学第 1节 基本概念（1）多元函数：二元函数： z=f(x,y)D 定义域几何意义：曲面（2）二元函数的极限：趋向方式有无数种， 若不同趋向方式得到的极限不同，则极限不存在 （极限唯一性） 。（ 3） 二元函数的连续极限值等于函数值，则函数在该点连续。闭区域上连续函数的性质：D 为闭区域， f(x,y)在 D 上连续，则：1. f(x,y) 在 D 上有界。2. 存在最大最小值。3. 可应用 介值定理 。4. 可应用 零点定理。第 2节 偏导数与全微分（ 1） 偏导数： z=f(x,y);.对 x 的偏导数：对 y 的偏导数：二阶偏导数：若

19、和连续，则等于。（ 2） 全微分： z=f(x,y)若=A+B+o(则 z 可微。dz=Adx+Bdy+ o()=+dy（ 3） 偏导数与全微分的关系全微分存在 函数连续全微分存在、存在、连续可微（4）偏导数的计算直接计算：对不求导的变量当作常量处理（二元一元）。多元复合函数求导（链式法则）1.z=f(u,v)u=u(x,y)v=v(x,y)+画树状图找到求导路径隐函数的偏导数左右同时求导多元隐函数求导公式：=第 3节 多元函数微分学的应用（数二只要求极值、最值问题）（1）二元函数的极值问题（无条件）;.极值点： 可能是 一阶偏导数为零或不存在的点。判定极值点：当求出某点可能为极值点()，带入

20、=、=、=。计算。当其小于零：为极小值点为极大值点大于零：不是极值点等于零：无法判断（ 2） 条件极值先构造拉格朗日函数，再求各值的偏导数。（ 3） 闭区域上的最值1. 先找极值。2. 边界点（条件极值）。3. 比较，选出最大最小值。第五章重积分第 1节 二重积分（1）几何意义： f(x,y)>0，以 D 为底，以 f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积。（2）计算a)直角坐标系下：口诀：后积先定限b) 极坐标系下：先积 r 后积坐标系选择：极坐标系：1. D：圆（环）、扇（环）2.f(x,y)：、除此之外一般选择直角坐标系。;.第六章常微分方程第 1节 基本概念1. 常微分方程含未知函数的导数的方程。2. 阶未知函数有几阶导，就是几阶的微分方程。3. 解通解：含有任意常数的个数与阶数相同。特解：通解中的任意常数确定。初始条件： y(=，=， ，=4. 线性方程y