直角三角形(一)教学设计

1、第一章 证明（二）2直角三角形（一）一、学生知识状况分析 直角三角形全等的条件和勾股定理及其逆定理在前面已由学生通过一些直观的方法进 行了探索，所以学生对这些结论已经有所了解，对于它们，教科书努力将证明的思路展现出 来例如以前我们曾用割补法验证过勾股定理，而此处对勾股定理的证明应以我们认定的几 条公理和由此推出的定理为依据进行，虽然证明的方法有多种，但对学生来说，这些都有难 度，因此教科书将其两种证明方法放在 “读一读 '中'，供有兴趣的学生阅读，不要求所有学生 掌握，其逆定理的证明方法对学生来说也是有一定难度的二、教学任务分析本节课的教学目标是：1知识目标：（1）经历和了解勾

2、股定理及其逆定理的证明方法，进一步理解证明的必要性.（2）结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命 题不一定成立2能力目标： （1）进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感， 发展抽象思维（2）进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力 3情感与价值观要求 在数学活动中，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心 积极参与数学活动，对数学命题的获得产生好奇心和求知欲.4教学重点、难点重点 了解勾股定理及其逆定理的证明方法 结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立难点勾股定理及其逆定理的

3、证明方法.对不是“如果那么”形式的逆命题的叙述.三、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：讲述新课；第三环节：议一议；第四环节：想一想；第五环节：.随堂练习；第六环节：课时小结；第七 环节：课后作业 第一环节：创设情境，引入新课通过问题1,让学生在解决问题的同时，回顾直角三角形的一般性质。问题1 一个直角三角形房梁如图所示，其中BC丄AC, / BAC=30 , AB=10 cm ,CBi丄AB , BiC丄ACi,垂足分别是Bi、Ci,那么BC的长是多少？ BiCi呢？B解：在 Rt ABC 中，/ CAB=30°, AB=i0 cm , i

4、i BC = 2 AB = 2 乂0= 5 cm.CBi 丄 AB，/ B+Z BCBi = 90°又/ A+ Z B = 90° Z BCBi =Z A = 30°ii5在 RtAACBi 中，BBi = 2 BC = 2 冷=2 cm = 2. 5 cm. ABi = AB = BBi= i0 2.5= 7.5(cm).在 RtACiABi 中，Z A = 30°rii BiCi = 2 ABi = 2 X7.5= 3.75(cm).解决这个问题，主要利用了上节课已经证明的“ 30°角的直角三角形的性质”.由此提问:'般的直角三角形

5、具有什么样的性质呢？ ”从而引入勾股定理及其证明。教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理.如果利用公理及由其推导出的 定理，能够证明勾股定理吗？请同学们打开课本Pi8,阅读 读一读”，了解一下利用教科书给出的公理和推导出的定理, 证明勾股定理的方法.第二环节：讲述新课阅读完毕后，针对“读一读”中使用的两种证明方法，着重讨论第一种，第二种方法请 有兴趣的同学课后阅读.i.勾股定理及其逆定理的证明.已知：如图，在 ABC 中，/ C= 90°° BC = a, AC = b, AB = c.求证：a2+b2 = c2.证明：延长 CB至D，使BD= b,作/ EBD

6、= Z A，并取BE= c,连接ED、AE(如图),则厶 ABC BED ./ BDE = 90°, ED = a(全等三角形的对应角相等，对应边相等). 四边形ACDE是直角梯形.1 1 2二 S 梯形 acde = 2 (a+b)(a+b) = 2 (a+b)./ ABE = 180° (/ ABC + Z EBD) = 180° 90°= 90°, AB = BE.1 2 SA ABE = 2 c2T S 梯形 ACDE = Ssbe+Ssbc +Sbed ,1/x 21211-2 (a+b) = 2 c + 2 ab + 2 ab,即2

7、 a2 + ab + 1 b2 = 2 c2 + ab,二 a2+b两干多年来，人们对勾股定理进行了大量的研究，给出了多达数百种的证明方法.如果 学生有兴趣，鼓励他们查阅有关资料，了解勾股定理的其他证明方法.教师用多媒体显示勾股定理内容，用课件演示勾股定理的条件和结论，并强调.具体如 下：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的 方法得出 这个三角形是直角三角形”的结论.你能证明此结论吗？这对同学们来说也是具有一定难度的.于是师生共同来完成.已知：如图：在厶ABC中，AB2+AC2= BC2求证： ABC是

8、直角三角形.分析：要从边的关系，推出/ A = 90°是不容易的，如果 能借助于厶ABC与一个直角三角形全等，而得到/ A与对应角 （构造的三角形的直角）相等，可证.证明：作 Rt A B',使/ A'= 90°, A BAB , A C AC（如图）, 则A B'+ A 0.（勾股定理）. AB2 + AC2= BC2, A 养 AB , A CABC' BC2= B' C:.BC = B' C ABC A B' (SSS) Z A = Z A = 90° (全等三角形的对应角相等) 因此， ABC是直角三

9、角形.教师用多媒体显示定理内容：定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2 互逆命题和互逆定理.观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系 ？在前面的学习中还有类似的命 题吗？通过观察，学生会发现：上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论 是第二个定理的条件.这样的情况，在前面也曾遇到过例如两直线平行，内错角相等”，交换条件和结论，就得到 内错角相等，两直线平行”.又如 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°,那么它 所对的直角边就等于斜边的一半”.交换此定理的条件和结论就可得“在直角三角形中，如果 一条

10、直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30。”。第三环节：议一议：活动内容：观察下面三组命题：学生以分组讨论形式进行，最后在教师的引导下得出命 题与逆命题的区别与联系。活动目的：让学生畅所欲言，体会逆命题与命题之间的区别与联系，要能够清晰地分别 出一个命题的题设和结论，能够将一个命题写出“如果；那么”的形式，以及能够 写出一个命题的逆命题。活动效果与注意事项：活动中，教师应注意给予适度的引导，学生若出现语言上不严谨 时，要先让这个疑问交给学生来剖析，然后再总结。活动时可以先让学生观察下面三组命题： 如果两个角是对顶角，那么它们相等.如果两个角相等，那么它们是对顶角.如果小明患了肺炎

11、，那么他一定发烧.如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.三角形中相等的边所对的角相等三角形中相等的角所对的边相等 上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗 ?与同伴交流 不难发现，每组第二个命题的条件是第一个命题的结论，第二个命题的结论是第一个命 题的条件在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个 命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就 为原命题再来看 “议一议 ”中的三组命题，它们就称为互逆命题，如果称每组的第一个命题为原命 题，另一个则为逆命题请同学们判断 i 每组原命题的真假逆命题呢 ?在第一组中，原命题是真命

12、题，而逆命题是假命题 在第二组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题 在第三组中，原命题和逆命题都是真命题 由此我们可以发现：原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题第四环节：想一想 要写出原命题的逆命题，需先弄清楚原命题的条件和结论，然后把结论变换成条件，条 件变换成结论，就得到了逆命题请学生写出命题 “如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 ”的逆命题吗 ?它们都是真命 题吗？从而引导学生思考：原命题是真命题吗 ?逆命题一定是真命题吗 ? 并通过具体的实例说 明。如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理 . 其中逆命题成为原命题 (即原定理 )的逆定理能举例说出

13、我们已学过的互逆定理 ?如我们刚证过的勾股定理及其逆定理， “两直线平行，内错角相等 ”与“内错角相等，两直 线平行”“全等三角形对应边相等 ”和“三边对应相等的三角形全等 ”、“等边对等角 ”和“等角对 等边”等第五环节：随堂练习说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假 ;(1) 四边形是多边形；(2) 两直线平行，内旁内角互补；(3) 如果 ab= 0,那么 a= 0, b = 0 分析 互逆命题和互逆定理的概念，学生接受起来应不会有什么困难，尤其是对以“如果那么”形式给出的命题，写出其逆命题较为容易，但对于那些不是以这种形式给出 的命题,叙述其逆命题有一定困难可先分析命题的条件和结论,然后写出逆命题解： (1)多边形是四边形原命题是真命题，而逆命题是假命题(2) 同旁内角互补，两直线平行原命题与逆命题同为正(3) 如果a= 0, 6 = 0,那么ab= 0.原命题是假命题，而逆命题是真命题. 第六环节：课时小结这节课我们了解了勾股定理及逆定理的证明方法，并结合数学和生活中的例子了解逆命 题的概念，会识别两个互逆命题，知道，原命题成立，其逆命题不一定成立，掌握了证明方 法，进一步发展了演绎推理能力.第七环节：课后作业习题 1. 4第 1、3题四、教学反思学生对于命题和逆命题中题设和结论分析和把握不是太准， 部分学