万有引力中的能量

1、普渡教育彭老师工作室WWW .pen 同理在2到3的过程中引力做功在rn-1到rn的过程中引力做功W2 =GMmr2r3W2 =-GMm （丄一丄）n5-1所以在1到rn的过程中引力做功W = M +W2 屮=-GMm （丄丄） r1 rn无限远rf （引力势能为零），Ep =W "罟，适用于均匀球体或质点间。注意:Z k占心上述方法也是求r1 1=k（-）r12的常用方法（积分）。物理训练课讲义时间:训练课老师：李武星内容训练目标要求训练内容五.人造卫星、天体的运动1.引力势：质量为m的物体离地心的距离为 r，设地球的质量为 M，则物体的引力势能（严格上是地球

2、和物体共有的,EG m1m2E p = -G且取无限远引力势能为零）Pr证：把物体移到无限远，弓I力做功等于引力势能的减小量，只要求出引力的功，可求出引力势能。把 物体移动过程分为无限段过程，每一过程都为无限小.在ri到2的过程中引力做功W1=_G 罂合=-G 更（2 -） =-GMm （丄-丄）12121 r292.宇宙速度:第一宇宙速度（环绕速度）2V=m一rV得卫星的速度-GM当r=R时，卫星绕地球表面作圆周运动的速度VifGM=jRg3=7.9x10 m/s.1 2 -mv2 2-G 如 Jmv2-G 如R 2r第二宇宙速度（脱离速度），由机械能守恒: 卫星脱离地球的条件是当 f 时，

3、V边，得V2至少为，V2T聲刃两=1侮103m/s.第三宇宙速度（逃逸速度），已知 M日=2>dO30kg,r日地=1.5<1011m.-mv32飞船脱离太阳条件（太阳和飞船组成的系统）：2日地=1 mv2 -G2M日m>0r2GM日v3 =J即脱离地球后相对太阳的速度至少'日地=42.2x103m/s.注意：发射卫星时发射的方向、地点和时间的选择？3 地球绕太阳公转的线速度v=2町日地/T=29.8>c10 m/s.3脱离地球时，相对地球的速度v3”=v3'-v=12.4x10 m/s.即在地球上发射的速度3=?时，才能使脱离地球时相对地球的速度3V3

4、”=12.4X10 m/s。-mv2 G由机械能守恒定律（地球和飞船组成的系统）：2风地,2G M 地 m _ 12 因R地 Wmv2，所以 v3 =Jv；+v3“2 =j11.22 +12.42)<103=316.7X10 m/s3.天体运动的轨道与能量从理论上可以证明行星的运动（或卫星绕地球的运动）轨道为三种圆锥曲线，即椭圆 双曲线。它们的运动轨道跟哪些因素有关呢？（1）.椭圆轨道（包括圆）、抛物线和2 2X-+X-=12 2椭圆方程为a b，长半轴为c =7,-，质量为M的太阳在其焦点S（C, 0）处，如图所示。a、短半轴为 b，半焦距质量为m的行星绕太阳做椭圆轨道运动时，L 12

5、 MmE = mv -G2r。设行星在椭圆轨道顶点时的速率分别为v1和v2，行星绕太阳运动时机械能守恒，即1 2 _ Mm 12_ MmE =mv -G =- mv1 -G 2 2a-c，要求出行星的能量，（即v1用M、G、a、c来表示）。v1可用二种方法求解，另一种是根据机械能守恒定律和曲线运动向心力公式求得。我们先根据机械能守恒定律和开普勒第二定律求解。1 2 - Mm 12 -mv1 G = mv2 G2 a -c 2行星和太阳构成的引力势能和动能之和（以下简称能量）为:必须先求出行星在椭圆轨道的顶点1处的速率Vi一种是根据机械能守恒定律和开普勒第二定律求得，根据机械能守恒定律:Mma+

6、c。根据开普勒第二定律: v1 (a -c) =V2(a +c)。由上述二式解得:+cv1 =,Ja2 -c2浮v2占呼。则行星做椭圆轨道运动时具有的能量:1 2 Mm1r a+c !'GM )MmMmE = mv1 G= m I JG = G 芝 02 a_c2a 丿ac-2a我们再根据机械能守恒定律和曲线运动向心力公式求解。1 2 - Mm 12 - Mmmv1 -G = mv2 -G 2 a-C 2a+c。p1 和 R。贝 U2。根据机械能守恒定律: 设椭圆顶点1和2的曲率半径分别为在顶点1，由曲线运动向心力公式:2Vi=m A。在顶点2，由曲线运动向心力公式:MmG (a +c

7、) 2=mP2。由上述四式解得:（根据椭圆的半焦距2 件=也_ a1nvia +c J GMa c )GMv2 = J0* a。2 2 2c、长半轴a、短半轴b的关系：c =a -b可得椭圆顶点 1和2的曲率半径b!a，顶点3和4的曲率半径2 2a3nb，证略)E =丄 mv2 -G Mm 则行星做椭圆轨道运动时具有的能量：2即行星的能量小于零时，行星做椭圆轨道运动。（2）抛物线轨道"塑0a Y 2a0?S（ 4a ）处，如 V0,质量为m的行星绕太阳做抛物线 时机械能守恒定律，行星的能量等于在抛物线轨道顶点时的能量，其E =1mv2 -G Mm =1 mv2 -4a G M m21

8、/4a2。机械能守恒定律和开普勒第二定律求行星在抛物线轨道顶点时的速率 面我们根据等效类比法先求抛物线顶点的曲率半径，再根据曲线运动 出行星在抛物线轨道顶点时的速率_ 2抛物线的方程为y二ax，质量为M的太阳在其焦点 行星在抛物线轨道顶点时的速率为05VJf图所示。设 轨道运动 能量为：V0。根据V0比较复杂。下 向心力公式求 因平抛运动的轨迹为抛物线，如图所示。设平抛运动的初速度为V0；则平抛运动的水平位移为x=V0t,竖直高度为4cg21 ,2y =xy =_gty ov"22 ，平抛运动的轨迹为2v0 。比较g 2 y=Tx2v0和2 "六 y =ax，当 2v0，或

9、_c *3g =2av0时平抛运_ 2动的轨迹与抛物线yax的轨迹相同。根据机械能守恒定律，物体在任一点（点P）时的速度大小：v = Jv02+2gy。2C把y MX和g =2avo代入上式得V =v0 Jl +4a2x2在P点物体的法向加速度:V0an =g = V2avo3vo2所以抛物线yax曲率半径与x关系:2P=Van3V32av0_(1 +4a2x2)3/2 2a2抛物线yax顶点(x=0)的曲率半径:a也可直接求顶点的曲率半径：g_ 1-2aO根据曲线运动向心力公式，行星在抛物线2y二ax轨道顶点时的速率由:2MmvoG=m Si(1/4a )P ,得到 Vo =j8aGM o行

10、星做抛物线轨道运动时具有的能量： 即行星的能量等于零时，行星做抛物线轨道运动。(3).双曲线轨道11 E =-mv0 -4aGMm =- m(j8aGM )2 -4aGMm =022o2 2x y 1b"V-TF TF 2 . 2y = X双曲线的方程为a b，实半轴为a、虚半轴为b，半焦距c=a +b ，渐近线方程为a ，质量为M的太阳在其焦点 S (C, 0)处，如图所示。设行星在双曲线轨道顶点时的速率为 太阳做双曲线轨道运动时机械能守恒定律，行星的能量等于在双E-lmv2 -G如2Ca o点时的能量，其能量为:远离太阳时的速率为 V边_b因rsina =SG，又因oED与心OS

11、G全 飞Vo,质量为m的行星绕”舀式话岛0)*曲线轨道顶设行星rsin a =SG =DE =bo根据开普勒第二定律:v£ sin a=v0 (c -a)o12 - Mm-mvo -G根据机械能守恒定律：2c-a1 2=一 mvc2o双曲线的半焦距C、实半轴a、虚半轴b的关系:C2 =a2 +b2o由上述三式解得行星在双曲线轨道顶点时的速率:( C +avo =JGM V a (c-a)o得行星做双曲线轨道运动时具有的能量:c-a 2 艸a(c-a)丿弋c-a2ao即行星的能量大于零时，行星做双曲线轨道运动。J33 gm以"-V2"1 "02 ' R的速度沿地面发射一颗人造卫星，不计空气阻力，求卫星的周期。半径 R=6.4x106m)(答案：1.42咒 104s)宇宙飞船绕地球中心作圆周运动 ，飞船质量为m,轨道半径为2R（R为地 球的半径，已知地球的质量为 M）,现将飞船转移