列方程解决问题

1、方程知识是数学的核心内容，掌握、理解方程思想并应用于解决问题十分有 用。适当设定未知数，把数学问题中已知量和未知量之间的数量关系， 转化为方 程或方程组等数学模型，从而使问题得到解决是重要的思维方法， 这一讲我们研 究这一类问题。例1某校科技节，初中部给六（1）班的学生发放科技读物，如果每人 3本则还剩下23本，若每人4本则还少2本，问六（1）班有多少个学生，共有多少本科 技读物?0a【分析与思考】此题中有两个量是不变的：学生人数和科技读物的本书。我有三种方法：（1）若设有x个学生，以科技读物为等量列方程；（2）若设有x本科技读物，以学生人数为等量列方程；（3）若设有x个学生，有y本科技读物，

2、根据条件可列两个等式。方法一:解：设六（1）班有x个学生。3x +23 =4x -2X =25科技读物：4x25 -2 =98 （本）答：六（1）班有25个学生，共有98本科技读物。方法二:解:设有x本科技读物。X-23 _ X +2344x -92 =3x +6X =98科技读物：98 一23 =25 （人）3答：六（1）班有25个学生，共有98本科技读物。方法三:解：设若设有x个学生，有y本科技读物。J 3x + 23 = y l4x 2 = y解得：爲答：六（1）班有25个学生，共有98本科技读物。例2灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。每生产一个合格品记 4分, 每生产一个不合格

3、品不仅不计分，还要扣除 15分。某工人生产了 1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合格?【分析与思考】 方法一:解：设其中有x个灯泡不合格，有（1000-X）个灯泡合格。4X (1000-x)-15x =35254000 -19x =352519x =475X =25答：其中有25个灯泡不合格。方法二:解：设其中有x个灯泡不合格，有y个灯泡合格。x + y =1000 by - 15x =3525解得：鳥55答：其中有25个灯泡不合格。例3一千零一夜中有这样一段文字，有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌,另一部分在地上觅食，树上一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来 一只，

4、则树下的鸽子就是整个鸽群的三分之一，若从树上飞下去一只，则树上、 树下的鸽子一样多了” ，你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？【分析与思考】I本题的等量关系是：1树下的鸽子数-1=x （树上的鸽子数+树下的鸽子数）；3树上的鸽子数-仁树下的鸽子数+1。解：设树下的鸽子有x只，树下的鸽子有y只。I 1依题意可得x -1 = y +1答：树下的鸽子有7只，树下的鸽子有5只。例4某家庭5月结余5000元，6月结余9500元，已知6月的收入比5月增加了15%而支出比5月减少了 10%这个家庭6月的收入和支出各是多少?【分析与思考】答：这个家庭6月的收入是23000元，支出13500元。例5通讯员要在规定

5、时间内到达某地，他每小时走15千米，则可提前24分钟到 达某地；如果每小时走12千米，则要迟到15分钟。求通讯员到达某地的路程是 多少千米？原定的时间为多少小时?【分析与思考】成反比。通讯员到达某地的路程是一定的，那么他行走的速度和时间2 1解：24分钟=2时，15分钟=-时,54设原定的时间为x小时.15XX-2L12X(X + -】I 5丿 I 4丿解得：x=3215X( 3-2 ) =39 (千米)5答：通讯员到达某地的路程是 39千米，原定的时间为3小时。练一练1. 某人装修房屋，原预算25000元。装修时因材料费下降了 20%,工资涨了 10%,实际用去21500元。求原来材料费及工

6、资各是多少元?2. 游泳者在河中逆流而上，于桥 A下面将水壶遗失被水冲走，继续前游。20分钟后他发现水壶遗失，于是立即返回追寻水壶，在桥A下游距桥A2公里的桥BF面，追到水壶。那么该河水水流的速度是每小时多少公里?3. 甲、乙、丙三人的速度分别是18千米/小时，21千米/小时，24千米/小时,如果甲、乙二人在A地，丙在B地，三人同时出发，相向而行，丙遇到乙后 10分钟才遇到甲，求A、B两地的距离。4. 有一些鸡和兔，共有脚44只，若将鸡数与兔数互换，则共有脚 52只。鸡兔个是多少只?5. 随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童数量每年按逐渐减少的趋势发展。某区2006年和2007年小学入学儿

7、童人数之比为 8:7，且2006年入学人数的2倍比2007年入学人数的3倍少1500人，某人估计2008年入学儿童将超过2300人。请你通过计算，判断他的估计是否符合当前的变化趋势。6. 已知直角三角形三边长为三个连续的偶数，求这个直角三角形三边长及面积。例1有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字大 5,并且这个两位数比它的两个数位上的数字之和的8倍还要大5,求这个两位数。【分析与思考】解：设这个两位数的个位数字为 X,十位的数字为（X+5） 0根据位值原理可以列方程如下:10(5 +X )+x =8(x +X +5 )+550+11X =16x +455x =5X =1十位的数字为：1

8、+5=6答：这个两位数为61 0求圆柱（1）的高（图中例2如图，已知圆柱 的体积是圆柱（1）的体积的3 倍,（I）40表示直径为40毫米）【分析与思考】tBSS3瀬SSSSdSI 耳(O我们根据圆柱（2）的体积是圆柱（1）的体积的3倍列等量关系式。解：设圆柱（1）的高为X毫米。3(40-2 2欣=(60弓2丫兀天60X = 45答：圆柱（1）的高为45毫米。例3在甲处施工的人员有54人，在乙处施工的人员有41人，现因工程需要，要 从乙处抽调一部分人员去甲处，使在甲处施工的人数与在乙处施工的人数的比为3:2，问从乙处调多少人去甲处?【分析与思考】解：设从乙处调x人去甲处。根据调整后甲、乙两处施工

9、的人数比为3:2，列方程。(54 + X): (41-x)=3:22x(5 4+ x)=3x(41-x)5x =123 -108X =3答：从乙处调3人去甲处。例4某工程甲独干40天，乙独干30天，丙独干24天可以完成，甲、乙、丙合 做几天后，乙因事离开；3天后丙又因事离开，结果这项工程 14天完成，问乙、丙各离开了多少天?【分析与思考】这题的关键是设适当的未知数，可设甲、乙、丙合做 x天，方法一:可以列等量关系：甲、乙、丙合做的量+甲单独（14-x ）天做的量+丙单独三天做的量=1解：设甲、乙、丙合做X天。d +丄l403024 丿11x + (14 - X)+ x3=140241,7 11

10、 .一 - 一 X 十-=11020 4083 21一x = 一4040x = 7乙离开了（ 14-X）天：14-7=7 （天）；丙离开了（ 14-X-3 ）天:14-7-3=4 （天），答：乙离开了 7天，丙离开了 4天。方法二:解：设乙离开了 X天，丙离开了( X-3 )天。一X14+ x(14-x)+ X 14(x-3) = 1 4030247 丄 141亠 171120 30 3024 24321一X = 一4040X =7丙离开了（ X-3 ）天:7-3=4（天），答：乙离开了 7天，丙离开了 4天。方法三:解：设乙离开了( X+3)天，丙离开了 X天。X14 + 咒 14 (X+

11、3” X(14 X ) = 1 4030247 亠 111 亠 71,20 30 3012 2433X =4010X = 4乙离开了（ X+3）天:4+3=7（天），答：乙离开了 7天，丙离开了 4天。方法四:解：设乙离开了 X天，丙离开了 y天。111勺4 + x(14-x) + 414-y) =1403024X -y =3x = 7解得：ly =4答：乙离开了 7天，丙离开了 4天。例5某种商品的零售价为每件 900元，为了适应市场竟争，商店按零售价的九折降价并让利40元销售，仍可获利10%则进价为每件多少元？等量关系为:A【分析与思考】利润率=利润十进价X 100 00，可设进价为每件X

12、元。解：九折=0.9设进价为每件X元90029一40一500%=10%1.1x =770X =700答：进价为每件700元。练一练1. 一条环行跑道长400米，甲每分钟行550米，乙每分钟行250米.(1)甲、乙两人同时同地反向出发，问多少分钟后他们再相遇?(2)甲、乙两人同时同地同向出发，问多少分钟后他们再相遇？2.某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人 生产螺钉，多少工人生产螺母？3. 一个水池有一出水管和一进水管，单开进水管 5分钟注满水池；单开出水管, 8分钟放完一池水；现注2分钟水后发现出水管未关，立即关上出水管，还需多长时间注满水?4.香蕉的售价为5