圆与方程知识点总结

1、圆梦教育中心圆与方程知识点总结1.圆的标准方程： 以点C(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程是(X _a)2 +(y -b)2 =r2特例：圆心在坐标原点，半径为 r的圆的方程是：x2+y2=r2.2.点与圆的位置关系:(1).设点到圆心的距离为d，圆半径为a.点在圆内< r ； b.点在圆上 <=>d=r ；c.(2). 给定点 M (x0,y0)及圆 C:(xa)2+(y 4)2t2M在圆C内(X0V)2+(y0)2<r2 M 在圆 C 上 U (xo -a)2 +(yo -b)2 m 2 M 在圆 C 外二(x0-a)2+(y0-b)2>r2(3)涉及最

2、值:讨论PB的最值圆外一点B，圆上一动点P ,思考：过此 A点作最短的弦？(此弦垂直PBPBmax = BM讨论PA的最值PAminPAmaxAC)AM=BC -r=r - AC=r + AC3.Jd2 +e2tf圆的一般方程：X2 + y2+Dx+E y+F =0 .当d'+e'vf >0时，方程表示一个圆，其中圆心当D2先2=0时，方程表示一个点j-D2 2当d+evf <0时，方程不表示任何图形注：方程 Ax2+Bxy+Cy2 +Dx+Ey+F =0表示圆的充要条件是：B =0且A=Ch0且D24e2/AFAo.4. 直线与圆的位置关系:直线 Ax +By +

3、 C =0与圆(X -a)2 +(y -b)2 =r21)2)3)圆心到直线的距离d =涉二直线与圆相离=r U直线与圆相切<r U直线与圆相交Aa +Bb +C二无交点；U只有一个交点；二有两个交点；弦长|AB| =2右2 -d2U - CI=._还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组jAx + By + C = 0t 22lx2 + y2 + Dx + Ey + F求解，通过解的个数来判断:=0(1) 当(2) 当(3) 当 >0时，直线与圆有2个交点，直线与圆相交; =0时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切; <0时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；5. 两圆的位置关

4、系(1)设两圆 C1：(x-a1)2+(y-b,)2与圆 C2： (x-a2)2+(y-b2)2圆心距 d =如-a2)2 +4 -b2)2d An+2 =外离二4条公切线；U外切二3条公切线；h -l <d G 卄2 u相交吕2条公切线；d =1 -2|二 内切二1条公切线；0 <d <1 冷二 内含二无公切线；2 2圆 G : x +y +D1X + E1y + F1=0， 2 2圆 C2: x + y + D2X + E2y + F2 =0 , 则(D, -D2 )x+(巳-E2 )y+(斤-F2 )=0为两相交圆公共弦方程.补充说明:若Ci与C2相切,则表示其中一条公

5、切线方程;若Ci与C2相离,则表示连心线的中垂线方程(3)圆系问题22过两圆C1 : X +y2+ D1X + Ejy+F1 = 0 和 C2 : X2+ y + D2X + E2y + F2 = 0交点的圆系方程为X2 +y2 2+ 加+F,+a(x +y + D2x +E2y+ F2 ) = 0(几工一1)补充:上述圆系不包括C2 ；2)当A = -1时，表示过两圆交点的直线方程(公共弦)过直线 A大2 2B y0 =与 圆 x+y+Dx+Ey + F=0 交点的圆系方程为6.+ y2+ Dx + Ey + F + 几(Ax +By+ C )=0过一点作圆的切线的方程:过圆外一点的切线：

6、k不存在，验证是否成立 k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即”1-y0=k(X1-X0)Jr2+1求解k，得到切线方程【一定两解】 例1.经过点P(1， 2)点作圆(x+1)2+(y2) 2=4的切线，则切线方程为. . . . 2 2 2 . (2)过圆上一点的切线 方程：圆(Xa) +(yb) =r，圆上一点为(x。，y。)，则过此点的切线方程为 (X0a)( Xa) +(y0 b)( yb) = r 2特别地，过圆x2+y2w2上一点P(x0,y0)的切线方程为X0x+y0y=r22 2例2.经过点P( 4， 8)点作圆(x+7) +(y+8) =9的切线，则切线方程为7.切点弦2 2 2 过O C： (x-a) +(y-b) =r外一点P(Xoy。)作O C的两条切线，切点分别为A、B，则切点弦 AB所在直线方程为：(x0 -a)(x - a) +(y0 -b)(y - b) = r28.切线长：若圆的方程为(X)2 (y_b)2=r2，则过圆外一点P(xo,yo)的切线长为d= J(X0 _a)2 + (y。_b)2 _r29.圆心的三个重要几何性质:圆心在过切点且与切线垂直的直线上; 圆心在某一条弦的中垂线上; 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。10.两个圆相