抛物线的简单几何性质专题训练

1、全国名校高考数学复习优质专题训练汇编(附详解)抛物线的简单几何性质 专题训练A 基础达标1.已知直线I与抛物线X2 = 2py(p>0)只有一个交点，则直线I与抛物线的位置关系是(B .相切C.相离A .相交D .相交或相切解析：选D.当直线I与y轴平行(重合)时，直线I与抛物线x2 =2py(p>0)有一个交点，此时直线I与抛物线是相交的.当直线I的斜率存在，直线I与抛物线X2 = 2py(p>0)只有一个交点时，直线I与抛物线相切.2.顶点在原点，对称轴是轴,并且顶点与焦点的距离等于 4的抛物线的标准方程是(X2 = ±6yA. y2= ±4xC. y

2、2= ±l6x解析：选C.依题意知抛物线方程为y2 = ±2px(p>0)的形式，又p=4,所以 p = 8, 2p= 16,故方程为 y2=±6x.3 .若抛物线y2= 2x上有两点A, B,且AB垂直于x轴，若|AB|=272,贝拋物线的焦点到直线 AB的距离为()1A.qC.iD.i解析：选A.线段AB所在的直线的方程为x= 1,抛物线的焦点坐1 1 2= 2.(1、 1标为0 0丿，贝y焦点到直线AB的距离为11 =4.过抛物线x2= 4y的焦点F作直线，交抛物线于Pi(xi, yi).P2(x2, y2)两点，若 y1 + y2=6,则 pp?|=

3、()D. 10解析：选C.抛物线x2 = 4y的准线为y= 1,因为Pi(xi,yi) ,P2(x2,y2)两点是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，所以Pi(xi,yi), P2(x2,y2)两点到准线的距离分别是yi+ 1, y2+ 1,所以由抛物线的定义，知IP1P21=1 P1F |+ |P 2FI=y1+ 1 +y2+1 = y1 + y2 + 2= 8.5.已知抛物线y2= 2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()A . x= 1C. x= 2D. x= 2解析：选B.因为抛物线的焦点为F学，0丿,

4、所以过焦点且斜率为1的直线方程为y=x p/ 、,即 x=y+ 2,代入 y2 = 2px 得 y2= 2py+g =y1 + y2py+ p2,即y2 2py p2= 0,由根与系数的关系得= p= 2山,y2分别为点A, B的纵坐标),所以抛物线方程为y2 = 4x,准线方程为x= 1.6. 已知过抛物线y2= 4x的焦点F的直线交抛物线于A, B两点, |AF| = 2,则 |BF| =解析：因为 y2 = 4x,所以 p= 2, F(1, 0).又|AF| = 2,所以 Xa +P= 2,所以Xa+ 1 = 2,所以Xa= 1,即AB丄x轴，F为AB的中点,所以 |BF|= |AF|

5、= 2.答案：27. 已知A(2, 0), B为抛物线y2= x上的一点，贝J |AB|的最小值|AB| = V (x 2) 2 + y2解析：设点B(x, y),则x= y2> 0,所以(x 2) 2+ x = Ajx2 3x+ 4 =x3?7+43曲所以当x= 2时，|AB|取得最小值，且|AB|min =2.答案：爭8. 在抛物线y2= 16x内，过点(2, 1)且被此点平分的弦AB所在直线的方程是解析：显然斜率不存在时的直线不符合题意.设直线斜率为k,y 1 = k (x 2),则直线方程为y 1 = k(x 2)，由 2消去x得ky2Ly2 = 16x1616y+ 16(1 2

6、k) = 0,所以2=匸=2® ,2分别是A, B的纵坐标),所以k= 8.代入得y = 8x15.答案：y= 8x152 29. 抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线 拿古=1(a>0, b>0)的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点 为Aj|,阎，求抛物线与双曲线的方程.解：由题意知，抛物线焦点在x轴上，开口方向向右，可设抛物 线方程为y2 = 2px(p>0),将交点a|, V61弋入得P= 2,故抛物线方程为y2= 4x,因为双曲线的方程为4古=1(a>0, b>0),所以双曲线的焦点坐标为Fi( 1, 0)和F2(1, 0

7、),即c= 1.3、又点Alq, V6也在双曲线上，因此由定义可得2a = IAF1I IAF2I=寸(|+ 1了+(60)2 寸§-* +(v6 0)2=22=1,所以 a=2, b=J12因此，双曲线的方程为4x2 誉=1.110 .斜率为k的直线I经过抛物线y=1x2的焦点F，且与抛物线相交于A, B两点，若线段AB的长为8.(1)求抛物线的焦点F的坐标和准线方程;求直线的斜率k.1解：(1)化y = 4X2为标准方程x2 = 4y,由此，可知抛物线的焦点F的坐标为(0,1),准线方程为y=1.(2)设 A(xi, yd, B(X2 , y2),由抛物线的定义知 AF|= yi

8、 + 1, |BF|= y2+ 1,于是 |AB| = y1 + y2 + 2,又|AB|= 8,所以 y1 + y2 = 6,由(1)得到抛物线的焦点为(0, 1),所以直线I的方程为y= kx+1,所以 kx1 + 1 + kx2+ 1 = 6, k(x1 + X2)=4,2由直线l的方程与抛物线方程联立得kx+ 1 = X,即 x2 4kx 4= 0,所以捲 + x2= 4k,代入 k(x1 + x2) = 4,得 k2= 1, k=±.B能力提升1.等腰RtAAOB内接于抛物线y2 = 2px(p>0), O为抛物线的顶点，OA丄OB,则 AOB的面积是()B. 4p2

9、D. p2A . 8p2C. 2p2全国名校高考数学复习优质专题训练汇编（附详解）解析：选B.因为抛物线的对称轴为x轴，内接 AOB为等腰直x= 0, 得Ly= 0,角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂f y= x, 直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.由方程组 2ly = 2px,rx= 2p, 或Ly= 2p.所以A，B两点的坐标分别为（2p, 2p）和（2p,2p）.所以 |AB| = 4p.所以 SKOB =4pX 2p= 4p2.2 .在直角坐标系xOy中任给一条直线，它与抛物线y2= 2x交于A、B两点，则OA oB的取值范围为.解析：设直线方程

10、为x= ty+ b,代入抛物线y2= 2x,得y2 2ty2b= 0,设 A(xi, yi), B(x2, y2),则 yi + y2 = 2t, yiy2= 2b.所以 OA OB = X1X2 + yiy2 = (tyi + b)(ty2 + b) + yiy2= b2 2b = (b 1）2 1,所以OAOB的取值范围为1, +P.答案：1,+乂）3.设点P（X, y）（y>0）为平面直角坐标系xOy内的一个动点（其中O为坐标原点），点P到定点M（0, 2的距离比点P到x轴的距离大2（1）求点P的轨迹方程;若直线I: y= kx+ 1与点P的轨迹相交于A, B两点，且|AB|=2/

11、6,求实数k的值.全国名校高考数学复习优质专题训练汇编(附详解)解：(1)过点P作x轴的垂线且垂足为点 N,则PN|= y,由题意知|PM| |PN| = 2,所以、/x2 + y11f 佯 1< 2 丿=y+ 2,故点P的轨迹方程为X2 = 2y.由题意设 A(xi, yi), B(X2 , y2),r y= kx+ 1联立,消去y化简得x2 2kx 2= 0,lx2 = 2y所以 xi + X2 = 2k, XiX2 = 2. 因为 |AB|=P 1+ k2寸 =yj 1 + k2 寸 4k2 + 8=2晶(Xi + X2)2 4xiX2所以 k4 + 3k2 4 = 0,又 k2A0,所以 k2= 1,所以 k=±.4.(选做题)已知A, B是抛物线y2 = 2px(p>0)上的两点，满足OA OB=o(0是原点).求证:(1)A, B两点的横坐标之积、纵坐标之积均为定值;(2)直线AB过定点.证明：由题意设 A(xi, yi), B(x2, y2),(1)因为OAOB= 0,所以OA丄ob,所以业X1X2y2，所以 xiX2= yiy2.y1 = 2px1因为 2,I y2 = 2px2 所以（yiy2）2=4p2（xiX2）.由得yiy2= 4p2且xiX2=4p2,所以结论成立.在（1）中一